高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质与图像素养练含解析新人教B版必修第三册

PAGEPAGE57.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质与图像课后篇巩固提升基础巩固1.函数y=1sinx的定义域为(A.R B.{x|x≠kπ,k∈Z}C.[-1,0)∪(0,1] D.{x|x≠0}答案B2.函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(-a)=2,则f(a)的值为()A.3 B.0 C.-1 D.-2答案B3.已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图像不行能是()解析当a=0时,f(x)=1,选项C符合;当0<|a|<1时,T>2π,f(x)的最大值小于2,选项A符合;当|a|>1时,T<2π,选项B符合.解除选项A,B,C,故选D.答案D4.函数y=sinx+π4的一个单调增区间是()A.[-π,0] B.0,π4C.π4,π2 D.π2,解析对于A选项,当x∈[-π,0]时,-3π4≤x+π4≤π4,所以函数y=sinx+π4在区间[对于B选项,当x∈0,π4时,π4≤x+π4≤π2,所以函数y=sinx+π4在区间0,π4对于C选项,当x∈π4,π2时,π2≤x+π4≤3π4,所以函数y=sinx+π对于D选项,当x∈π2,π时,3π4≤x+π4≤5π4,所以函数y=sinx+π4在区间π2,π上单调递减答案B5.(多选)下列函数图像相同的是()A.y=sinx与y=sin(π-x)B.y=sinx-π2与C.y=sinx与y=sin(-x)D.y=sin(2π+x)与y=sinx解析依据诱导公式,y=sin(π-x)=sinx,故选A;y=sin(2π+x)=sinx,故选D.答案AD6.比较大小:(1)sin74cos53(2)cos-π18cos-解析(1)因为cos53=sinπ又π2<74<π2+53所以sin74>sinπ2+5即sin74>cos5(2)因为-π2<-π10<-π18<0,且y=cosx在-π2,0上是增函数,答案(1)>(2)>7.设f(x)是定义域为R,最小正周期为3π2的周期函数,若f(x)=cosx,-π2≤解析由题意,得f15π4=f3π+3π4=f3π4=答案28.推断函数f(x)=xsin(π+x)的奇偶性.解函数的定义域R关于原点对称.∵f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,f(-x)=(-x)sin(π-x)=-xsinx=f(x),∴f(x)是偶函数.9.用“五点法”作出函数y=2-sinx,x∈[0,2π]的图像.解列表如下:x0ππ32πsinx010-102-sinx21232描点,用光滑曲线连起来,图像如图所示.实力提升1.已知a=2sin59°,b=sin15°+cos15°,c=22sin31°·cos31°,则实数a,b,c的大小关系是()A.a<c<b B.a<b<cC.a≥c≥b D.a≥b≥c解析a=2sin59°,b=sin15°+cos15°=2sin60°,c=22sin31°cos31°=2sin62°.因为y=sinx在[0°,90°]内单调递增,所以a<b<c.答案B2.函数y=lgx与y=sinx的图像交点个数为()A.0 B.1 C.2 D.3解析在同一坐标系中作出函数y=lgx与y=sinx的图像,如图所示.由图像可知,它们有三个交点.答案D3.(多选)函数y=sinx与y=sin(-x)的图像关于()对称.A.x轴 B.y轴C.直线y=x D.直线x=π解析∵函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于y轴对称,∴函数y=sinx与y=sin(-x)的图像关于y轴对称.∵函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于x轴对称,y=sin(-x)=-sinx,∴函数y=sinx与y=sin(-x)的图像关于x轴对称.答案AB4.已知函数f(x)=2sinx,对随意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为()A.π4 B.π2 C.π D.解析由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对随意x∈R恒成立,不难发觉f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=2sinx的半个周期.因为f(x)=2sinx的周期为2π,所以|x1-x2|的最小值为π.答案C5.函数y=sin2x+2cos2x-sinx-3的最大值是()A.34 B.-34 C.3 D.解析令t=sinx,t∈[-1,1],则y=sin2x+2cos2x-sinx-3=-t2-t-1=-t+122-34,ymax=-34,故选B答案B6.若f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x2-sinx,则当x<0时,f(x)=.

解析当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)=-x2-sinx.答案-x2-sinx7.已知方程cos2x+4sinx-a=0有解,则a的取值范围是.

答案[-4,4]8.求函数f(x)=sinx-12+lg(25-x解由题意可知sin作出函数y=sinx的图像如图.满意sinx-12≥0的x的集合为2kπ+π6又25-x2>0,即-5<x<5,故该函数的定义域为-59.若函数y=a-bsinx的最大值为32,最小值为-12,求函数f(x)=-4absinx解①当b>0时,由题意,得a+b所以f(x)=-2sinx,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.②当b<0时,由题意,得a解得a=12,b=-1.所以f(x)=2sinx,此时f10.设函数f(x)=1sin(1)请指出函数y=f(x)的定义域、周期性和奇偶性;(不必证明)(2)请以正弦函数y=sinx的性质为依据,并运用函数的单调性定义证明:y=f(x)在区间0,π2上单调递减.(1)解∵函数f(x)=1sinx,∴sinx≠0,x≠kπ,k∈故函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.明显,f(x)的周期,即y=sinx的周期为2π.由于满意f(