2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用章末复习提升课学案新人教B版选修1-1

PAGEPAGE1章末复习提升课[学生用书P66][学生用书P67]1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．2．导数与函数的单调性函数y＝f(x)在某个区间内有导数．假如f′(x)＞0，那么函数f(x)在这个区间上是增函数，该区间是函数f(x)的单调增区间；假如f′(x)＜0，那么函数f(x)在这个区间上是减函数，该区间是函数f(x)的单调减区间．3．由导数与函数的单调性的关系可得的结论(1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)随意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．(2)f′(x)＞0(＜0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件．4．函数的极值极大值与微小值：一般地，设可导函数f(x)在点x0及旁边有定义，若x0满意f′(x0)＝0，且在x0的两侧f′(x)的值异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值．并且假如f′(x)在x0两侧满意“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；假如f′(x)在x0两侧满意“左负右正”，则x0是f(x)的微小值点，f(x0)是微小值．[留意]在定义中，取得极值的点称为极值点．极值点是自变量的值，极值指的是函数值．5．函数的最值一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．特殊地，若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．1．利用导数的几何意义探讨曲线的切线问题时，要留意区分“在某点处的切线方程”与“过某点的切线方程”的区分．2．利用导数探讨函数的单调性需留意的几个问题(1)确定函数的定义域．解决问题的过程中，只能在函数的定义域内进行，通过探讨导数值的符号，来推断函数的单调区间．(2)在划分函数的单调区间时，除了必需确定使导数等于0的点外，还要留意定义区间内的不连续点或不行导点．(3)假如一个函数单调性相同的区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”连接，只能用逗号或“和”字隔开，如把增区间写为(－∞，－2)∪(1，＋∞)是不正确的，因为(－∞，－2)∪(1，＋∞)不是一个全区间，该函数在(－∞，－2)∪(1，＋∞)上不肯定是单调递增的．3．极值与最值的区分(1)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点旁边的函数值得出的．(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个都没有，且极大值并不肯定比微小值大．(3)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．导数的几何意义[学生用书P67]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；【解】(1)由f(x)＝x3＋x－16，可得f′(x)＝3x2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，故切线的方程为y＋6＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)设切点为P(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，直线l的方程为y－y0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)，即y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16.又因直线l过点(0，0)，所以(3xeq\o\al(2,0)＋1)(0－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16＝0，解得x0＝－2.代入f(x)＝x3＋x－16中可得y0＝－26，斜率为3xeq\o\al(2,0)＋1＝13.所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．利用导数探讨函数的单调区间[学生用书P68]已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当t＞0时，求f(x)的单调区间．【解】(1)当t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6.所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.(2)f′(x)＝12x2＋6tx－6t2.令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝eq\f(t,2).因t＞0，则－t＜eq\f(t,2).当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x(－∞，－t)(－t，eq\f(t,2))(eq\f(t,2)，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－t)，(eq\f(t,2)，＋∞)；f(x)的单调递减区间是(－t，eq\f(t,2))．利用导数探讨函数的极值和最值[学生用书P68]已知函数f(x)＝x3－3x2－2.若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．【解】对函数f(x)求导，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增极大值－2减微小值－6增对a分四种状况探讨：①当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无微小值；②当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；③当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有微小值f(2)＝－6，无极大值；④当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上可得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无微小值；当1<a<3时，f(x)有微小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．导数在实际中的应用问题[学生用书P68]甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝eq\f(1,19200)v4－eq\f(1,160)v3＋15v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．【解】(1)Q＝P·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v4－\f(1,160)v3＋15v))·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v3－\f(1,160)v2＋15))·400＝eq\f(v3,48)－eq\f(5,2)v2＋6000(0＜v≤100)．(2)由(1)得Q′＝eq\f(v2,16)－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，当0＜v＜80时，Q′＜0；当80＜v≤100时，Q′＞0，所以v＝80千米/时时，全程运输成本取得微小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝eq\f(2000,3)(元)．1．已知函数f(x)＝xm－n(m，n∈Q)的导数为f′(x)＝nx3，则m＋n＝()A．12 B．11C．10 D．9解析：选A.因为f(x)＝xm－n，所以f′(x)＝(m－n)xm－n－1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＝n，,m－n－1＝3，))解得m＝8，n＝4，所以m＋n＝12.2．若曲线y＝x3－2ax2＋2ax上随意点处切线的倾斜角都是锐角，则整数a的值为________．解析：f′(x)＝3x2－4ax＋2a，由题意知f′(x)>0恒成立，则Δ＝16a2－24a<0，得0<a<eq\f(3,2)，故a的值取为1.答案：13．抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为________．解析：设直线x－y＋m＝0与抛物线y＝x2相切，切点为(x0，xeq\o\al(2,0))，y′＝2x，故k＝2x0＝1，则x0＝eq\f(1,2)，所以切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，又eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＋m＝0，得m＝－eq\f(1,4)，所以直线x－y－2＝0与x－y－eq\f(1,4)＝0间的距离为d＝eq\f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2＋\f(1,4)))),\r(2))＝eq\f(7\r(2),8).答案：eq\f(7\r(2),8)4．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满意f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b