第01讲 正数和负数、有理数5个知识点+3个考点+5个易错分析（解析版）

第01讲正数和负数、有理数(5个知识点+3个考点+5个易错

分析）

模块一思维导图串知识1.借助生活中的实例体会引入负数的必要性，并能用

模块二基础知识全梳理（吃透教材）正、负数表示生活中具有相反意义的量。

模块三核心考点举一反三2.会判断一个数是正数是负数

模块四小试牛刀过关测3.理解有理数的意义，并能对有理数进行分类。

4.能用正、负数解决有关实际问题，增强应用意识。

知识点1：正数、负数的定义（重点）

1.正数

像2%,4,3.5这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如+2,+0.7。

2.负数

像-3,-2.7%,-4.5这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数

3.“0”的特性

0既不是正数,也不是负数.0是正数与负数的分界

【例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？

12549

3.2，-，，-1，+2.009，-108，+，81．

23625

第1页共20页.

24915

【答案】正数有：3.2，，+2.009，+，81；负数有：-，-1，

32526-108

【分析】根据正数，负数的定义进行判断作答即可．

24915

【详解】解：由题意知，正数有：3.2，，+2.009，+，81；负数有：-，-1，-108．

32526

【点睛】本题考查了正数、负数．解题的关键在于对知识的熟练掌握．

【变式】任意写出个正数和个负数，并分别把它们填入相应的集合里．

【答案】5个正数：1、2、3、4、5；5个负数：-1、-2、-3、-4、-5；

方法总结：对于正数和负数不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数，要看其本

质是正数还是负数.0既不是正数也不是负数，后面会学到＋(－3)不是正数，－(－2)不是负数．

知识点2：用正数和负数表示具有相反意义的量（重点）

1.日常生活中,表示相反意义的量的常用词语:

收入盈利上升零上增加向东(南)…

支出亏损下降零下减少向西(北)…

2.具有相反意义的量的规定

为了区别具有相反意义的量,用正数和负数分别表示具有相反意义的量,若规定其中的一种量为正(可任意

选择),则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收人、零上”等规定为正,把“后退、下降、支

出、零下”等规定为负.

【例2】.下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（）

A购进50kg苹果与卖出-50kg苹果

B高出海平面786m与低于海平面230m

C向东走-9m和向西走10m

D飞机上升100m与飞机前进100m

【答案】B

【易错总结】向东走-9米实际意义是向西走9米。“-”本身就是意义相反的意思

【变式】如果某水库警戒水位150米记作0米，那么151米记作，148米记作．

第2页共20页.

【答案】+1米-2米

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

【详解】解：如果某水库警戒水位150米记作0米，

那么151米记作+1米，148米记作-2米．

故答案为：+1米；-2米．

【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．

方法总结：用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少

记为“－”的多少．另外，通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反

的量表示为负．

知识点3：对“0”的认识

1.表示没有

例如,0个苹果,意思是没有苹果

2.表示数时起到占位的作用

如10605中的两个0,分别占的是十位和千位

3.表示某种量的基准

例如,0℃不是表示没有温度,而是表示在标准大气压下,水开始结冰的温度

4.表示某些数量的分界

0既不是正数,也不是负数,是正数和负数的分界.例如在摄氏温度计上，“0”是零上温度与零下温度的分界

5.表示起点

例如,在米尺上,刻度的起点为“0”

【例3】下列对“0”的说法正确的个数是()

①0是正数和负数的分界点；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；

⑤0是自然数．

A．3B．4C．5D．0

【详解】：0除了表示“无”的意义，还表示其他的意义，所以②不正确；0既不是正数也不是负数，所以

④不正确；其他的都正确．故选A.

【变式】判断题

（l）0是自然数，也是偶数（）。

（2）0可以看成是正数，也可以看成是负数（）。

（3）温度0℃就是没有温度（）。

【答案】√××

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方法总结：“0”的意义不要单纯地认为表示“没有”的含义，其实“0”表示的意义非常广泛，比如：冰水

混合物的温度就是0℃，0是正、负数的分界点等．

知识点4：有理数的相关概念（重点）

1.整数

正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等

2.分数

正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有

限小数和限循环小数又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数.

3.有理数

整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式，

4.几个常用数学名词的含义

(1)正整数:既是正数,又是整数的数

(2)负整数:既是负数,又是整数的数

(3)正分数:既是正数,又是分数的数

(4)负分数:既是负数,又是分数的数

(5)非负数:正数和0.

(6)非正数:负数和0.

(7)非负整数(也叫自然数):正整数和0.

(8)非正整数:负整数和0.

(9)正有理数:正整数和正分数

(10)负有理数:负整数和负分数

(11)非正有理数:0、负整数和负分数

(12)非负有理数:0、正整数和正分数

452

【例4】下列各数：－，1，8.6，－7，0，，－4，＋101，－0.05，－9中，()

563

A．只有1，－7，＋101，－9是整数

B．其中有三个数是正整数

C．非负数有1，8.6，＋101，0

44

D．只有－，－4，－0.05是负分数

55

【解析】根据有理数的有关概念，整数包括：1，－7，0，＋101，－9，故选项A错误；正整数只有两个，

54

即1和＋101，故选项B错误；非负数包括有1，8.6，＋101，0，，故选项C错误；负分数包括－，－

65

2

4，－0.05，故选项D正确．故选D.

3

方法总结：当有理数只含有单个符号时，带负号的数即为负数．然后再区分是整数还是分数．

【变式】下列说法中正确的是（）

第4页共20页.

A．0不是有理数B．有理数不是整数就是分数

C．在有理数中有最小的数D．若a是有理数，则-a一定是负数

【答案】B

【详解】解：A、0是有理数，错误；

B、有理数不是整数就是分数，正确；

C、在有理数中没有最小的数，错误；

D、a是有理数，则-a不一定是负数，如a=0时，-a=0，故错误；

知识点5：有理数的分类（重点、难点）

1.有理数的分类：

ìì正整数ìì正整数

ïïï正有理数í

ï整数í零ïî正分数

ïïï

按意义分：有理数íî负整数；按符号分：有理数í零．

ïï

ì正分数ì负整数

ï分数ï负有理数

ïíïí

îî负分数îî负分数

注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；

（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．

（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环

小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理

数．

2.集合

把满足一定条件的所有数放在一起,就组成了一个集合,简称数集

1333

【例5】把下列各数填入相应的集合内．－10，8，－7，3，－10%，，2，0，3.14，－67，，0.618，

241017

－1，0.3080080008…

正数集合{…}；

负数集合{…}；

整数集合{…}；

分数集合{…}．

【分析】要将各数填入相应的集合里，首先要弄清楚有理数的分类标准，其次要弄清楚每个数的特征．在

填入相应的集合时，要注意每个有理数，身兼不同的身份，所以解答时不要顾此失彼．

333

【详解】正数集合{8，3，，2，3.14，，0.618，0.3080080008……}；

41017

1

负数集合{－10，－7，－10%，－67，－1…}；

2

第5页共20页.

整数集合{－10，8，2，0，－67，－1…}；

1333

分数集合{－7，3，－10%，，3.14，，0.618，0.3080080008……}．

241017

1522

【变式1】把以下各数填入相应的集合里：-3.14，4.3，+72，0，，-6，-7.3，-12，0.4，-，，

367

26．

(1)正数集合：{…}；

(2)负数集合：{…}；

(3)正整数集合：{…}；

(4)负整数集合：{…}；

(5)非负数集合：{…}．

122

【答案】(1)4.3，+72，，0.4，，26

37

5

(2)-3.14，-6，-7.3，-12，-

6

(3)+72，26

(4)-6，-12

122

(5)4.3，+72，0，，0.4，，26

37

【分析】（1）根据正数的定义：像+3、+1.5、+584等大于0的数叫做正数即可解答；

1

（2）根据负数的定义：像-3、-1.5、-、-584等在正数前面加“-”号的数叫做负数即可解答；

2

（3）根据正整数的定义：除了0以外的自然数叫做正整数即可解答；

（4）根据负整数的定义：在自然数前面加上负号所得的数叫做负整数即可解答；

（5）根据非负整数的定义：正整数和零统称非负整数即可解答．

122

【详解】（1）解：正数集合：{4.3，+72，，0.4，，26…}；

37

122

故答案为：4.3，+72，，0.4，，26；

37

5

（2）解：负数集合：{-3.14，-6，-7.3，-12，-…}；

6

5

故答案为：-3.14，-6，-7.3，-12，-；

6

（3）解：正整数集合：{+72，26…}；

故答案为：+72，26；

（4）解：负整数集合：{-6，-12…}；

故答案为：-6，-12；

第6页共20页.

122

（5）解：非负数集合：{4.3，+72，0，，0.4，，26…}．

37

122

故答案为：4.3，+72，0，，0.4，，26．

37

【点睛】本题考查了正数的定义，负数的定义，正整数的定义，负整数的定义，非负整数的定义，熟记对

应定义是解题的关键．

122

【变式2】把下列的数填入相应的集合中：7，0.618，-3，-1，0，30%，+1006，

27

正分数集合：（）；

非负整数集合：（）；

负分数集合：（）．

221

【答案】0.618，30%，；7，0，+1006；-3

72

22

【详解】解：正分数集合：（0.618，30%，）；

7

非负整数集合：（7，0，+1006）；

1

负分数集合：（-3）．

2

【变式3】把下列各数分别填入相应的集合里．

1

1，－0.20，3，325，－789，0，－23.13，0.618，－2004．

5

非正数集合：{…}；

非负数集合：{}；

非正整数集合：{…}；

非负整数集合：{}；

非正有理数集合：{…}；

非负有理数集合：{}．

【详解】解：非正数集合：{-0.20，-789，0，-23.13，-2004…}；

1

非负数集合：{1，3，325，0，0.618，…}；

5

1

非正整数集合：{－0.20，3，－789，0，－23.13，0.618，－2004…}；

5

1

非负整数集合：{1，－0.20，3，325，0，－23.13，0.618，…}；

5

非正有理数集合：{-0.20，-789，0，-23.13，-2004…}；

1

非负有理数集合：{1，3，325，0，0.618，…}．

5

第7页共20页.

方法总结：在填数时要注意以下两种方法：

(1)逐个考察给出的每一个数，看它是什么数，是否属于某一集合；(2)逐个填写相应集合，从给出的数中找

出属于这个集合的数，避免出现漏数的现象．

易错点01对“0”的含义理解不准确

小学阶段开始学习数的时候,0表示没有,学习了负数后,0除了表示“没有”外,还是正数与负数的分界

易错点02对负数表示的意义理解不清

具有相反意义的两个量,若一个量规定为正,用正数表示,则另个量就为负，用负数表示

易错点03用正数、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位

易错点04误认为凡带有正号的数就是正数，凡带有负号的数就是负数

正数前面的“+”号有时可以省略,省略“+”号后仍是正数;但是带有“+”号或省略“+”号的数不一定是

正数,带有“-”号的数不一定是负数.

易错点05不能正确理解有理数的分类而出错

有理数的两种分类不能混淆,要特别注意避免因忽略0而引起

考点一：正数、负数的实际应用

考查题型一：用正数、负数记录成绩

例1.某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，

不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣

8、+1、5、+10．这10名同学中，

(1)最高分是多少？

(2)最低分是多少？

(3)10名同学的平均成绩是多少？

【答案】(1)92分

(2)70分

(3)80.5分

【分析】（1）根据正负数的意义，可得答案；

（2）根据正负数的意义，可得答案；

（3）根据平均数的意义，可得答案．

【详解】（1）最高分是80+12=92分；

（2）最低分是80-10=70分；

第8页共20页.

（3）10名同学的平均成绩是80+8-3+12-7-10-3-8+1+5+10¸10=80.5分．

【点睛】本题考查了正数和负数，利用正负数的意义超出的分数记为正数，不足的分数记为负数是解题关

键．

【变式1-1】某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为

负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名

同学中，

(1)最高分是多少？

(2)最低分是多少？

【答案】(1)92分

(2)70分

【分析】（1）根据正负数的意义，可得答案；

（2）根据正负数的意义，可得答案；

【详解】（1）最高分是80+12=92分；

（2）最低分是80-10=70分；

【点睛】本题考查了正数和负数，利用正负数的意义超出的分数记为正数，不足的分数记为负数是解题关

键．

【变式1-2】某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为

负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学

中，

(1)最高分是多少？

(2)最低分是多少？

(3)10名同学的平均成绩是多少？

【答案】(1)92分

(2)70分

(3)80.5分

【分析】（1）根据正负数的意义，可得答案；

（2）根据正负数的意义，可得答案；

（3）根据平均数的意义，可得答案．

【详解】（1）最高分是80+12=92分；

（2）最低分是80-10=70分；

（3）10名同学的平均成绩是80+8-3+12-7-10-3-8+1+5+10¸10=80.5分．

【点睛】本题考查了正数和负数，利用正负数的意义超出的分数记为正数，不足的分数记为负数是解题关

键．

第9页共20页.

【变式1-3】下表是某班5名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题：

姓名王芳刘兵张沂李聪江文

成绩8984

与全班平均分之差+20-6-2

(1)把表格补充完整；

(2)若不低于平均分的成绩是合格，求5名同学的合格率?

【答案】(1)86，78，82，+5

(2)60%

【分析】根据有理数加减法在实际问题中的应用，可知高于基准为正，低于基准为负，有张沂可知，平均

分为84分，由此即可求出其他同学的成绩，由合格人数除以总人数乘以百分比即可求出答案．

【详解】（1）解：由表格中张沂的信息可得出，平均分为84分，

∴刘兵成绩：84+2=86（分），李聪成绩：84-6=78（分），江文成绩：84-2=82（分），王芳成绩：

89-84=+5，

故答案是：86，78，82，+5；

（2）解：平均分为84分，合格有刘兵，张沂，王芳，

∴合格率是：(3¸5)´100%=60%，

故答案是：60%．

【点睛】本题主要考查有理数的加减法的应用，以及合格率的计算，解题的关键的找出“基准”，且“高于基

准为正，低于基准为负”．

考查题型二：用正数、负数表示误差范围

例2.如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±0.02表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实

际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（）

A．30mmB．30.03mmC．30.3mmD．30.04mm

【答案】B

0.03

【详解】解：由零件标注Φ30±0.02可知，零件的直径范围最大30+0.03mm，最小30-0.02mm，

∴最大可以是30+0.03=30.03（mm）．

.

【变式2-1】一种面粉的质量标识为“25±0.25kg”，则下列面粉中合格的是（）

第10页共20页.

A．25.30kgB．24.80kgC．25.51kgD．24.70kg

【解答】解：一种面粉的质量标识为“25±0.25kg”

则面粉的质量范围在25﹣0.25＝24.75kg到25+0.25＝25.25kg之间的都合格．

各选项只有选项B，24.80kg在这个范围之内．

故选：B．

【变式2-2】“牛牛”饮料公司的一种饮料包装上有“500±30mL”字样，其中500表示标准容量是500m

L，+30表示最多不超过30mL，那么-30表示．

【答案】最少不少于30mL

【详解】解：500表示标准容量是500mL，+30表示最多不超过30mL，那么-30表示最少不少于30mL

【变式2-3】某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30(mL)”字样，请问“500±30(mL)”是什么含

义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，问抽查产品的容量是否

合格？

【分析】＋30mL表示比标准容量多30mL，－30mL表示比标准容量少30mL.则合格范围是指容量在470～

530(mL)之间．

【详解】“500±30(mL)”是500mL为标准容量，470～530(mL)是合格范围，503mL，511mL，489mL，

473mL，527mL，抽查产品的容量是合格的．

方法总结：解决此类问题的关键是理解“500±30(mL)”的含义，即500是标准，“＋”表示比标准多，

“－”表示比标准少．

考点二：与正数、负数相关的表格信息题

例3.某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下：

美国德国英国中国日本意大利

-3.4%-0.9%-5.3%2.8%-7.3%7.0%

这一年，上述六国中哪些国家的服务出口额增长了？哪些国家的服务出口额减少了？哪国增长率最高？哪

国增长率最低？

【答案】中国、意大利的服务出口额增长了，美国、德国、英国、日本的服务出口额减少了，意大利的增

长率最高，日本的增长率最低．

【详解】解：服务出口额增长的国家：中国，意大利；

国家的服务出口额减少的国家：美国、德国、英国、日本；

增长率最高的是意大利；

增长率最低的是日本．

【变式3-1】（2023秋•台州期末）近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能

减排的政策，王老师家买了一辆新能源汽车．王老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以20km为基

第11页共20页.

准，超出记为正，不足记为负），如表：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

路程(km)-3-4+20+7+35+23

（1）该汽车行驶路程最多的一天是，这一天的实际行驶路程是km．

（2）若该新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的

电费．

【分析】（1）根据题意及正数与负数的含义进行分析求解即可；

（2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解．

【解答】解：（1）七天中，行驶路程最多的一天是星期六，

这一天的实际行驶路程是：20+35=55km，

故答案为：星期六，55；

（2）15´0.5´(20´7-3-4+2+0+7+35+23)¸100=15元，

答：小明家这一星期的汽车的电费为15元．

【点评】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键．

【变式3-2】今年的“十•一”黄金周是7天的长假，徐州市吕梁风景区在7天假期中每天旅游人数变化如

表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少）

日期1日2日3日4日5日6日7日

人数变化+1.1﹣0.6+0.2﹣0.4﹣0.2+0.4﹣0.5

单位：万人

若9月30日的游客人数为0.1万人，问：

（1）10月4日的旅客人数为万人；

（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多万人？

（3）如果每万人带来的经济收入为50万元，则黄金周七天的旅游总收入为多少万元？

【解答】解：（1）根据题意列得：0.1+（+1.1﹣0.6+0.2﹣0.4）＝0.4；

故答案是：0.4；

（2）10月1日有游客：0.1+1.1＝1.2（万），

10月2日有游客：1.2﹣0.6＝0.6（万），

10月3日有游客：0.6+0.2＝0.8（万），

10月4日有游客：0.8﹣0.4＝0.4（万），

10月5日有游客：0.4﹣0.2＝0.2（万），

10月6日有游客：0.2+0.4＝0.6（万），

10月7日有游客：0.6﹣0.5＝0.1（万）；

7天中旅客最多的是1日为1.2万人，最少的是7日为0.1万人，

第12页共20页.

则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多1.2﹣0.1＝1.1（万人）；

故答案为：1.1；

（3）黄金周七天游客：1.2+0.6+0.8+0.4+0.2+0.6+0.1＝3.9（万人），

3.9×50＝195（万元），

答：黄金周七天的旅游总收入约为195万元．

【变式3-3】“十一”黄金周期间，某超市家电部大力促销，收银情况如下表，下表为当天与前一天的营业

额的涨跌情况（上涨为正，下跌为负，单位：万元）．已知9月30日的营业额为26万元：

10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日

+4+3+20﹣1﹣3﹣5

（1）家电部黄金周内哪天收入最高，为多少万元？哪天收入最低，为多少万元？

（2）家电部黄金周内平均每天的营业额是多少万元？（精确到0.01万元）

【解答】解：（1）∵9月30日的营业额为26万元，

∴10月1日的营业额为26+4＝30万元，

10月2日营业额为30+3＝33万元，

10月3日营业额为33+2＝35万元，

10月4日营业额为35+0＝35万元，

10月5日营业额为35﹣1＝34万元，

10月6日营业额为34﹣3＝31万元，

10月7日营业额为31﹣5＝26万元，

∴10月7日最低，营业额为26万元；10月3日、4日为最高，营业额为35万元；

（2）（30+33+35+35+34+31+26）÷7＝32.00（万元），

∴家电部黄金周内平均每天的营业额是32.00万元．

考点三：正数、负数的规律探究题

例4.观察下列数列，填上空缺的数．

（1）1，，2，，3，______，______，______；

（2）1，，3，，5，______，______，______．

【答案】（1）-3，4，-4；（2）-6，7，-8．

【解析】（1）从举出的数可以看出，两数之间互为相反数即可；

（2）数字是1、2、3、4、5、6、7、8，偶数前面是负号，奇数前面是正号．

14．桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转次能使所有硬币都反面朝

上．

【答案】3

【详解】解：用“”表示正面朝上，用“”表示正面朝下，

第13页共20页.

开始时，

第一次，

第二次，

第三次，

至少翻转3次能使所有硬币都反面朝上，

【变式4-1】．观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数．

（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，，；

（2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16，，；

（3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，，.

【答案】1,-1;18,-20;-1,0.

【详解】(1)在该数列中，1与-1交替出现，故后面的两个数分别为1，-1.

(2)该数列可以看作是先将正整数中的偶数从小到大逐个排列起来再从第二个数开始每隔一个数在原数前

面添加负号而得到的.根据这一规律，后面的两个数分别为：18，-20.

(3)该数列可以看作是以1，0，-1，0为一个基本单元并不断重复而得到的.根据这一规律，后面的两个数

分别为：-1，0.

【变式4-2】（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个数分别

是，，；

1234

（2）有一列数：，，，，…．那么接下来的第7个数是．

251017

7

【答案】-9,10,-11;

50

【详解】(1)这一列数可以看作是先将正整数从小到大逐个排列起来再从第二个数开始每隔一个数在原数前

面添加负号而得到的.根据这一规律，接下来的3个数分别为：-9，10，-11.

(2)对这一列数的分子与分母的规律分别进行讨论.

①这一列数的分子可以看作是将正整数从小到大逐个排列起来而得到的.

②观察这列数的分母可以看出，2=1´1+1，5=2´2+1，10=3´3+1，17=4´4+1，…

因此，这列数的分母可以看作是该分数的分子与其自身之积再加上1而得到的.

7

根据上述规律，第7个数的分子应为7，第7个数的分母应为7´7+1=50，即第7个数应为.

50

【变式4-3】观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第105个数、

第2015个数吗？

(1)一列数：1，－2，3，－4，5，－6，______，______，______，…；

111

(2)一列数：－1，，－3，，－5，，____，____，____，….

246

【分析】(1)第n个数，当n为奇数时，此数为n；当n为偶数时，此数为－n；(2)第n个数，当n为奇数

第14页共20页.

1

时，此数为－n；当n为偶数时，此数为.

n

【详解】(1)7，－8，9；第10个数为－10，第105个数是105，第2015个数是2015；

11

(2)－7，，－9；第10个数为，第105个数是－105，第2015个数是－2015.

810

方法总结：解答探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数字排列

的特征．

一、单选题

2

1．（23-24七年级上·广东汕头·期末）在-2，+3.5，0，-，-0.7中分数有（）个．

3

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】本题考查有理数，根据分数的定义进行判断即可．

22

【详解】解：在-2，+3.5，0，-，-0.7中，分数有+3.5，-，-0.7，共3个，

33

故选：C．

2．（23-24七年级上·河南许昌·期中）在十月份结束的杭州亚运会女子举重49公斤级比赛中，朝鲜选手

李盛金创造该组赛会记录和世界记录，以总成绩216公斤夺冠，中国选手蒋惠花以总成绩213公斤拿到银

牌，泰国选手素乍龙以总成绩199公斤获得铜牌．若将216公斤记为+1，则199公斤可记为（）

A．+1B．-17C．-16D．+17

【答案】C

【分析】本题考查的是正负数的实际应用，理解基准的确定是解本题的关键，先确定基准为215公斤是解本

题的关键．

【详解】解：将216公斤记为+1，则215公斤记为0，

那么，199公斤可记为199-215=-16，

故选C

3．（23-24七年级上·广东广州·期中）初中一年级女生仰卧起坐满分标准为50个，个数为54个记为+4

个，则个数为46个应记为（）

A．-8个B．-4个C．4个D．+46个

【答案】B

【分析】本题考查了正负数的意义，理解题意是解题关键．根据正负数的意义即可得．

【详解】解：初中一年级女生仰卧起坐满分标准为50个，

则个数为46个应记为-4个，

第15页共20页.

故选：B．

二、填空题

4．大米包装袋上10±0.1kg的标识表示此袋大米重量的范围是．

【答案】9.9~10.1kg

【分析】本题考查正负数的知识，解题的关键是掌握正数和负数在题目中的实际意义，根据大米包装袋上

的质量标识，求出大米质量范围，即可．

【详解】∵大米包装袋上的质量标识为10±0.1kg，

∴大米的重量范围为：9.9~10.1kg．

故答案为：9.9~10.1kg．

5．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）某厂家生产一种袋装食品的标准重量是500克，质检员把每袋超

出的部分记作正数，不足的部分记作负数，质检员随机测得袋食品质量为501克，则记作．

【答案】+1

【分析】本题考查了正负数的意义，根据“超出的部分记作正数，不足的部分记作负数”即可作答．

【详解】解：由题意可知：501=500+1，应记作+1．

故答案为：+1．

6．（23-24七年级下·福建福州·期中）某蓄水池的标准水位记为0m，若+0.08m表示水面高于标准水位

0.08m，则水面低于标准水位1.2m，可记为m．

【答案】-1.2

【分析】此题主要考查了正负数的意义，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意

作答．

【详解】解：若+0.08m表示水面高于标准水位0.08m，则水面低于标准水位1.2m，可记为-1.2m．

故答案为：-1.2．

三、解答题

2

7．如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从-3，9，0，-10%，3.14，，1300这些数中，选择适

7

当的数填入图中相应的位置．

【答案】见解析

【分析】本题考查了有理数的分类．正数集合与整数集合的交集是正整数集合．注意数字0，它不属于正数

和负数，是整数．根据正数及整数的概念进行区分判断，两个集合里都含有的数就是符合条件的数．

第16页共20页.

2

【详解】解：-3，9，0，-10%，3.14，，1300中，

7

2

属于正数的有：9，3.14，，1300；

7

属于整数的有：-3，9，0，1300．

所以既是正数也是整数的是9，1300．

填入数字如下图所示：

3

8．把下列各数按要求分类填在相应的大括号内：-11，-，-9，0，+12，-6.2，-p，-4%．

5

(1)整数集合：｛｝

(2)分数集合：｛｝

(3)非负整数集合：｛｝

(4)负有理数集合：｛｝

【答案】(1)-11，-9，0，+12

3

(2)-，-6.2，-4%

5

(3)0，+12

3

(4)-11，-，-9，-6.2，-4%

5

【分析】本题主要考查了有理数的分类：

（1）根据整数的定义求解即可；

（2）根据分数的定义求解即可；

（3）根据非负整数是大于等于0的整数进行求解即可；

（4）根据负有理数是小于0的整数和分数进行求解即可．

【详解】（1）解：整数集合：｛-11，-9，0，+12｝，

故答案为：-11，-9，0，+12；

3

（2）解：分数集合：｛-，-6.2，-4%｝，

5

3

故答案为：-，-6.2，-4%；

5

第17页共20页.

（3）解：非负整数集合：｛0，+12｝，

故答案为：0，+12；

3

（4）解：负有理数集合：｛-11，-，-9，-6.2，-4%｝，

5

3

故答案为：-11，-，-9，-6.2，-4%．

5

9．（2023秋•荔湾区期末）某学校校运会开幕式上举行火炬传递仪式，共安排了12名火炬手跑完全程，平

均每人传递里程为60米．以60米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并

将其称为里程波动值．下表记录了部分火炬手的里程波动值．

棒次123456789101112

里程26-53-20-5-841

波动

值

（1）第2棒火炬手的实际里程为66米，第6棒火炬手的实际里程为米；

（2）若第4棒火炬手的实际里程为61米，求第10棒火炬手的实际里程．

【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；

（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可．

【解答】解：（1）60+6=66（米)，60-2=58（米)，

即第2棒火炬手的实际里程为66米，第6棒火炬手的实际里程为58米，

故答案为：66；58；

（2）Q第4棒火炬手的实际里程为61米，

\第4棒火炬手的里程波动值为1，

则60+0-(2+6-5+