2025版高中数学第2章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式课时作业案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1课时等比数列的概念与通项公式A级基础巩固一、选择题1．已知{an}是等比数列，a3＝2，a6＝eq\f(1,4)，则公比q＝(D)A．－eq\f(1,2) B．－2C．2 D．eq\f(1,2)[解析]由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝2,a1q5＝\f(1,4)))，∵a1≠0，q≠0，∴q3＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2).故选D．2．数列m，m，m，…肯定(C)A．是等差数列，但不是等比数列B．是等比数列，但不是等差数列C．是等差数列，但不肯定是等比数列D．既是等差数列，又是等比数列[解析]当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列．当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C．3．(2024·湖南武冈二中高二月考)在等比数列{an}中，a1＝eq\f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项是(B)A．±4 B．4C．±eq\f(1,4) D．eq\f(1,4)[解析]由题意，得a4＝a1q3＝eq\f(1,8)×23＝1，a8＝a1q7＝eq\f(1,8)×27＝16，∴a4与a8的等比中项为a6＝4.4．一批设备价值a万元，由于运用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(C)A．na(1－b%)B．a(1－nb%)C．a(1－b%)nD．a[1－(b%)n][解析]依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，其次年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.故选C．5．(2024·山东菏泽一中高二月考)已知等比数列{an}的公比为q，若a2，a5的等差中项为4，a5，a8的等差中项为8eq\r(2)，则logeq\f(1,2)q的值为(A)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．2[解析]由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝8,a5＋a8＝16\r(2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＋a1q4＝8,a1q4＋a1q7＝16\r(2)))，解得q＝eq\r(2)，∴eqlog\s\do8(\f(1,2))q＝eqlog\s\do8(\f(1,2))eq\r(2)＝log2－12eq\s\up7(\f(1,2))＝－eq\f(1,2).6．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是(D)A．eq\f(\r(5),2) B．eq\f(1－\r(5),2)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5)－1,2)[解析]由已知得an＝an＋1＋an＋2，即a1qn－1＝a1qn＋a1qn＋1，∴q2＋q＝1，解得q＝eq\f(－1±\r(5),2).又q>0，∴q＝eq\f(\r(5)－1,2).二、填空题7．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是__eq\f(\r(5)－1,2)__.[解析]设该直角三角形的三边分别为a，aq，aq2(q>1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝eq\f(\r(5)＋1,2).较小锐角记为θ，则sinθ＝eq\f(1,q2)＝eq\f(\r(5)－1,2).8．已知等比数列前3项为eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，则其第8项是__－eq\f(1,256)__.[解析]∵a1＝eq\f(1,2)，a2＝a1q＝eq\f(1,2)q＝－eq\f(1,4)，∴q＝－eq\f(1,2)，∴a8＝a1q7＝eq\f(1,2)×(－eq\f(1,2))7＝－eq\f(1,256).三、解答题9．(2024·山东菏泽一中高二月考)已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2,2a2＋a3(1)求an；(2)若数列{bn}满意bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.[解析](1)设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30∴4q＋2q2＝30，∴q2＋2q－15＝0，∴q＝3或－5.∵an＞0，∴q＝3.∴an＝a1qn－1＝2·3n－1.(2)∵b1＝a2，∴b1＝6.又bn＋1＝bn＋an，∴bn＋1＝bn＋2·3n－1.∴b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，b4＝b3＋2×32＝14＋18＝32，b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86.10．(2024·全国卷Ⅰ文，17)已知数列{an}满意a1＝1，nan＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))an，设bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)推断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．[解析](1)由条件可得an＋1＝eq\f(2n＋1,n)an.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由条件可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得eq\f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.B级素养提升一、选择题1．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是(C)A．m>kB．m＝kC．m<kD．m与k的大小随q的值而改变[解析]m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)＝(a5－a4)－(a7－a6)＝a4(q－1)－a6(q－1)＝(q－1)(a4－a6)＝(q－1)·a4·(1－q2)＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0，q≠1)．2．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为(C)A．eq\r(2) B．4C．2 D．eq\f(1,2)[解析]∵a1、a3、a7为等比数列{bn}中的连续三项，∴aeq\o\al(2,3)＝a1·a7，设{an}的公差为d，则d≠0，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴公比q＝eq\f(a3,a1)＝eq\f(4d,2d)＝2，故选C．3．已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则(A)A．a1＋a8>a4＋a5B．a1＋a8<a4＋a5C．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8与a4＋a5大小不定[解析]由条件知，(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1[(1－q3)＋q4(q3－1)]＝a1(1－q3)(1－q4)＝a1(1－q)(1＋q＋q2)·(1－q2)(1＋q2)＝a1(1－q)2(1＋q)(1＋q2)(1＋q＋q2)．∵q>0且q≠1，a1>0，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)>0，∴a1＋a8>a4＋a5.4．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为(D)120.51abcA．1 B．2C．3 D．eq\f(9,8)[解析]按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，12340.511.520.250.50.7510.1250.250.3750.50.06250.1250.18750.25故a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(3,8)，c＝eq\f(1,4)，则a＋b＋c＝eq\f(9,8).故选D．二、填空题5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金eq\f(1,2)，第2关收税金eq\f(1,3)，第3关收税金eq\f(1,4)，第4关收税金eq\f(1,5)，第5关收税金eq\f(1,6)，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x，按此规律通关第8关”，则第8关需收税金为__eq\f(1,72)__x.[解析]第1关收税金：eq\f(1,2)x；第2关收税金：eq\f(1,3)(1－eq\f(1,2))x＝eq\f(1,2×3)x；第3关收税金：eq\f(1,4)(1－eq\f(1,2)－eq\f(1,6))x＝eq\f(1,3×4)x；…，可得第8关收税金：eq\f(1,8×9)x，即eq\f(1,72)x.6．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an＝__2n－1__.[解析]设等比数列的公比为q(q>0)，由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，所以a1＝eq\f(1,q－1).a3＝a1q2＝eq\f(q2,q－1)＝eq\f(1,－\f(1,q2)＋\f(1,q))(q>0)，而－eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＝－(eq\f(1,q)－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)，①当q＝2时①式有最大值eq\f(1,4)，所以当q＝2时a3有最小值4.此时a1＝eq\f(1,q－1)＝eq\f(1,2－1)＝1.所以数列{an}的通项公式an＝2n－1.故答案为2n－1.三、解答题7．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3、a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.[解析](1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，设{bn}的公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8,b1＋4d＝32))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝－16,d＝12)).从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，∴数列{bn}的前n项和Sn＝eq\f(n－16＋12n－28,2)＝6n2－22n.8．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解析](1)证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此数