2025届北京市西城区第三中学高三六校第一次联考数学试卷含解析

2025届北京市西城区第三中学高三六校第一次联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．2．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（）A． B．9 C．7 D．3．为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位4．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm5．在中，，则=（）A． B．C． D．6．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（）A． B． C． D．8．设集合，，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为()A． B． C． D．10．已知数列中，，()，则等于（）A． B． C． D．211．正项等差数列的前和为，已知，则=（）A．35 B．36 C．45 D．5412．已知集合，，则集合子集的个数为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，点，B均在抛物线上，等腰直角的斜边为BC，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标是________.14．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为_____．15．已知，是互相垂直的单位向量，若与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__．16．已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)证明：()；(Ⅲ)证明：.18．（12分）已知，（其中）.(1)求；(2)求证：当时，．19．（12分）某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析，按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.年龄（单位：岁）保费（单位：元）（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求精确到整数时的最小值；（2）经调查，年龄在之间的老人每人中有人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为元，如果参保，保险公司补贴治疗费元.某老人年龄岁，若购买该项保险(取中的).针对此疾病所支付的费用为元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？20．（12分）已知函数.（1）若函数不存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）若函数的两个极值点为，，求的最小值.21．（12分）在四棱锥中，底面是平行四边形，为其中心，为锐角三角形，且平面底面，为的中点，.（1）求证:平面；（2）求证:.22．（10分）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.【详解】对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.故选：C.【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.2、B【解析】试题分析：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是．要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，，故的最大值为，故选B．考点：圆与圆的位置关系及其判定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求式子的最大值．3、D【解析】，所以要的函数的图象，只需将函数的图象向左平移个长度单位得到，故选D4、D【解析】

过点做正方形边的垂线，如图，设，利用直线三角形中的边角关系，将用表示出来，根据，列方程求出，进而可得正方形的边长.【详解】过点做正方形边的垂线，如图，设，则，，则，因为，则，整理化简得，又，得，.即该正方形的边长为.故选：D.【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.5、B【解析】

在上分别取点,使得,可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案．【详解】如下图，，在上分别取点,使得,则为平行四边形，故,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．6、B【解析】

或，从而明确充分性与必要性.【详解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分条件故选【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.7、C【解析】

先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有：种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：，共种，所以目标事件的概率.故选：C.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.8、C【解析】

由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.【详解】，且，，.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.9、D【解析】

设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为，所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.10、A【解析】

分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决.【详解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴数列是以3为周期的周期数列，

，

，

故选：A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.11、C【解析】

由等差数列通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出.【详解】正项等差数列的前项和，，，解得或（舍），，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.12、B【解析】

首先求出，再根据含有个元素的集合有个子集，计算可得.【详解】解：，，，子集的个数为.故选：.【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设出两点的坐标，结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程，解方程求得的坐标.【详解】设，由于在抛物线上，所以.由于三角形是等腰直角三角形，，所以.由得，化为，可得，所以，解得，则.所以.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．14、【解析】

利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可.【详解】解：复数为纯虚数,解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.15、【解析】

根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设（1，0），（0，1），则（，﹣1），λ（1，λ）；又夹角为60°，∴（）•（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．16、【解析】

构造函数，再根据条件确定为奇函数且在上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果.【详解】依题意，，令，则，故函数为奇函数，故函数在上单调递减，则，即，故，则x的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】

运用数学归纳法证明即可得到结果化简，运用累加法得出结果运用放缩法和累加法进行求证【详解】（Ⅰ）数学归纳法证明时，①当时，成立；②当时，假设成立，则时所以时，成立综上①②可知，时，（Ⅱ）由得所以；；故，又所以(Ⅲ)由累加法得：所以故【点睛】本题考查了数列的综合，运用数学归纳法证明不等式的成立，结合已知条件进行化简求出化简后的结果，利用放缩法求出不等式，然后两边同时取对数再进行证明，本题较为困难。18、（1）（2）见解析【解析】

(1)取，则；取，则，∴；(2)要证，只需证，当时，；假设当时，结论成立，即，两边同乘以3得：而∴，即时结论也成立，∴当时，成立.综上原不等式获证.19、（1）30；（2），比较划算.【解析】

（1）由频率和为1求出，根据的值求出保费的平均值，然后解一元一次不等式即可求出结果，最后取近似值即可；（2）分别计算参保与不参保时的期望，，比较大小即可.【详解】解:（1）由，解得.保险公司每年收取的保费为:∴要使公司不亏本，则，即解得∴.（2）①若该老人购买了此项保险，则的取值为∴(元).②若该老人没有购买此项保险，则的取值为.∴(元).∴年龄为的该老人购买此项保险比较划算.【点睛】本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数的另一种数学语言，为容易题.20、（1）（2）【解析】分析：（1）先求导，再令在上恒成立，得到上恒成立，利用基本不等式得到m的取值范围.(2)先由得到，再求得，再构造函数再利用导数求其最小值.详解：（1）由函数有意义，则由且不存在单调递减区间，则在上恒成立，上恒成立（2）由知，令，即由有两个极值点故为方程的两根，，，则由由，则上单调递减，即由知综上所述，的最小值为.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个，其一是求出,其二是构造函数再利用导数求其最小值.21、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）通过证明，即可证明线面平行；（2）通过证明平面，即可证明线线垂直.【详解】（1）连，因为为平行四边形，为其中心，所以，为中点，又因为为中点，所以，又平面，平面所以，平面；（2）作于因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面又平面，所以又，，平面，平面所以，平面，又平面，所以，.【点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在