2025届浙江省萧山三中高考冲刺模拟数学试题含解析

2025届浙江省萧山三中高考冲刺模拟数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为A． B． C． D．2．复数（为虚数单位），则等于（）A．3 B．C．2 D．3．函数在的图象大致为()A． B．C． D．4．（）A． B． C．1 D．5．当时，函数的图象大致是（）A． B．C． D．6．下列不等式正确的是（）A． B．C． D．7．下列判断错误的是()A．若随机变量服从正态分布，则B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件C．若随机变量服从二项分布：，则D．是的充分不必要条件8．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（）A． B． C． D．9．已知随机变量服从正态分布，，（）A． B． C． D．10．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（）A． B． C． D．11．已知集合，，若，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．设为锐角，若，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数为奇函数，则_______.14．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是______.15．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．16．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知六面体如图所示，平面，，，，，，是棱上的点，且满足.（1）求证：直线平面；（2）求二面角的正弦值.18．（12分）已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．19．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若的面积为，，求的周长.20．（12分）在中，内角的对边分别是，满足条件．（1）求角；（2）若边上的高为，求的长．21．（12分）已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程.22．（10分）如图，三棱锥中，，，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个，基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，∴6和28恰好在同一组的概率．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2、D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解.【详解】，所以，，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.3、C【解析】

先根据函数奇偶性排除B，再根据函数极值排除A；结合特殊值即可排除D，即可得解.【详解】函数，则，所以为奇函数，排除B选项；当时，，所以排除A选项；当时，，排除D选项；综上可知，C为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.4、A【解析】

利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.【详解】，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.5、B【解析】由，解得，即或，函数有两个零点，，不正确，设，则，由，解得或，由，解得：，即是函数的一个极大值点，不成立，排除，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.6、D【解析】

根据，利用排除法，即可求解．【详解】由，可排除A、B、C选项，又由，所以．故选D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7、D【解析】

根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解.【详解】对于选项，若随机变量服从正态分布，根据正态分布曲线的对称性，有，故选项正确，不符合题意；对于选项，已知直线平面，直线平面，则当时一定有，充分性成立，而当时，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项正确，不符合题意；对于选项，若随机变量服从二项分布：，则，故选项正确，不符合题意；对于选项，，仅当时有，当时，不成立，故充分性不成立；若，仅当时有，当时，不成立，故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确，符合题意.故选：D【点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.8、A【解析】

根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.【详解】因为双曲线（），所以，又因为渐近线方程为，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9、B【解析】

利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果.【详解】，所以，.故选：B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.10、C【解析】

利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，直角三角形的斜边长为，利用等面积法，可得其内切圆的半径为，所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为.故选：C.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.11、B【解析】

解出,分别代入选项中的值进行验证.【详解】解：，.当时,，此时不成立.当时,，此时成立，符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.12、D【解析】

用诱导公式和二倍角公式计算．【详解】．故选：D．【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-2【解析】

由是定义在上的奇函数,可知对任意的,都成立,代入函数式可求得的值.【详解】由题意,的定义域为,,是奇函数,则,即对任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.14、【解析】

由切线的性质，可知，切由直角三角形PAO，PBO，即可设，进而表示，由图像观察可知进而求出x的范围，再用的式子表示，整理后利用换元法与双勾函数求出最小值.【详解】由题可知，，设，由切线的性质可知，则显然，则或（舍去）因为令，则，由双勾函数单调性可知其在区间上单调递增，所以故答案为：【点睛】本题考查在以直线与圆的位置关系为背景下求向量数量积的最值问题，应用函数形式表示所求式子，进而利用分析函数单调性或基本不等式求得最值，属于较难题.15、1【解析】

根据程序框图直接计算得到答案.【详解】程序在运行过程中各变量的取值如下所示：是否继续循环ix循环前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1故答案为：1．【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.16、【解析】

利用正弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，根据同角三角函数的基本关系表示出，最后利用面积公式得到，由基本不等式求出的取值范围，即可得到面积的最值；【详解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，当且仅当时等号成立，∴，∴面积的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）连接，设，连接.通过证明，证得直线平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的正弦值.【详解】（1）连接，设，连接，因为，所以，所以，在中，因为，所以，且平面，故平面.（2）因为，，，，，所以，因为，平面，所以平面，所以，，取所在直线为轴，取所在直线为轴，取所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，，，，所以，因为，所以，所以点的坐标为，所以，，设为平面的法向量，则，令，解得，，所以，即为平面的一个法向量.，同理可求得平面的一个法向量为所以所以二面角的正弦值为【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18、（I）；（II）最大值为，最小值为.【解析】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设，得椭圆的参数方程为，消去参数即得直线的普通方程为；（II）关键是处理好与角的关系．过点作与垂直的直线，垂足为，则在中，，故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点，到定直线的最大值与最小值问题处理．试题解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．（II）曲线C上任意一点到的距离为．则．其中为锐角，且．当时，取到最大值，最大值为．当时，取到最小值，最小值为．【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形．19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果；（2）由面积公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，结合即可求得周长.【详解】（1）由题设得.由正弦定理得∵∴，所以或.当，（舍）故，解得.（2），从而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周长为.【点睛】本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题.20、（1）．（2）【解析】

（1）利用正弦定理的边角互化可得，再根据，利用两角和的正弦公式即可求解.（2）已知，由知，在中，解出即可.【详解】（1）由正弦定理知由己知，而∴，（2）已知，则由知先求∴∴∴【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式，需熟记定理与公式，属于基础题.21、（1）；（2）或.【解析】

（1）由抛物线的准线方程求出的值，确定左焦点坐标，再由点F到直线l：的距离为4，求出即可；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数关系和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程.【详解】（1）抛物线的准线方程为，，直线，点F到直线l的距离为，，所以椭圆的标准方程为；（2）依题意斜率不为0，又过点，设方程为，联立，消去得，，，设，，，，线段AB的中垂线交直线l于点Q，所以横坐标为3，，，，平方整理得，解得或（舍去），，所求的直线方程为或.【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式，合理运用两点间的距离公式，考