数学-2025届河南省天一小高考高三第二次考试

小高考2024—2025学年(上)高三第二次考试数学.答案一、单项选择题:本题共8小题'每小题5分'共40分.1.C2.D3.C4.A5.B6.B7.D8.A二、多项选择题:本题共3小题'每小题6分'共18分.每小题全部选对的得6分'部分选对的得部分分'有选错的得0分.9.BC10.ACD11.ACD三、填空题:本题共3小题'每小题5分'共15分.四、解答题:本题共5小题'共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解析(I)由余弦定理得b2=a2+C2-2aCcosB,22,…………………… 所以b=2\5a.………………(4分)由余弦定理得cosC=.……………(")由正弦定理知=2R,其中R为△ABC外接圆的半径.…………(7分)因为cosC=-所以sinC=,………………………2.…………………于是有…………………………(13分)16.解析(I)如图,连接BC1与B1C交于点N,连接MN.因为四边形BCC1B1为平行四边形,所以N为BC1的中点,………………(2分)又M为AB的中点,则在△ABC1中,有MN"AC1,…………(4分)又MNC平面B1CM,AC1丈平面B1CM,所以AC1"平面B1CM.………………………(6分)(")由勾股定理的逆定理知BC丄AC,又由侧面ACC1A1,BCC1B1均垂直于底面ABC,可得CC1丄平面ABC,所以CA,CB,CC1两两垂直,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示.…………(7分)由已知得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,\13),B1(0,4,\13),M(1,2,0).………………(8分)设平面CMC1的法向量为m=(x,y,z),则,,可取m=.………………→CB=(0,4,\13),设平面CMB1的法向量为n=(a,b,C)→则0,可取n=(2\,-\,4).……………(12分),………所以二面角C1-CM-B1的正弦值为.…………………(15分)17.解析(I)由题意知,解得{,故E的方程为=1.………………… (")由条件知A(-2,0),B(2,0),C(0,\3).如图,则=1,整理得6-2n2=.…………由直线PC:y=\,得T.………………将直线AP:y=(x+2)与直线BC:y=-\x+\的方程联立,可解得xQ=2(22\\++\\+-22nn).(12分)所以.=2(2\+\m-2n)×\m=12m故.为定值4.………………………(15分)18.解析(I)由已知得g’(x)=lnx+1.……………………(1分)g’(e)=2,且g(e)=1+e,故所求的切线方程为y=2(x-e)+1+e,即y=2x+1-e.………………(3分)(")f’(x)=ex-1-x,f”(x)=ex-1,………………………(4分)当x>0时,f”(x)>0,当x<0时,f”(x)<0,所以f’(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f’(x)≥f’(0)=0,当且仅当x=0时取等号,…………(6分)所以f(x)在R上单调递增.…………………(7分)(Ⅲ)g’(x)=lnx+1,由g’(x)>0得x>,由g’(x)<0得0<x<,所以g(x)在(0,上单调递减,在,+∞)上单调递增,故g(x)≥g=1->0.………………(9分)易证x-1≥lnx,又x>0,所以x2-xlnx=x(x-lnx)>0.所以L(x)=>0.…………………(10分)1x2-xlnxx-lnx.由题意得L(x)=x2-xlnxx-lnx.对任意m>0,取x0=e,则L(x0)==,……………(12分)m注:此处x0的值不唯一,取em,em等均可.因为e-<1,再由(")可知f>f(0),即e->1+>0,……(14分)于是有又因为-1=<0,即<1,所以L(x0)<m.4故存在x0=em,使得L(x0)<m.…………(17分)注:用极限x∞=0表达,不给分.19.解析(I)一共有6个.……………………(2分)=127.…………………(5分)理由:由题可知am,k=(3m+1)+(k-1)(2m+1)=m+k+2mk.由m+k+2mk=127,得2m+2k+4mk=254,所以(2m+1)(2k+1)=255=3×85=5×51=15×17,故2m+1与2k+1的值有6种情况,即am,k有6种情况.注:没写理由不扣分,只写出全部结果没有说明共有6个,扣2分.由于2x+1是奇数,所以a,b都是奇数,,则2x+1=(2t+1)(2s+1)=2t+2s+4ts+1,所以x=t+s+2ts=at,s,这与x不在数表中相矛盾,故假设不成立,原结论成立,即2x+1是质数.……………(10分)(Ⅲ)因为am,k=m+k+2mk,a2i-1,2j-1=2i+2j-2+2(2i-1)(2j-1),即奇数行、奇数列一定是偶数,a2i-1,2j=2i+2j+4(2i-1)j-1,即奇数行、偶数列一定是奇数.从而每个奇数行的前(2j-1)列中,共有j个偶数,(j-1)个奇数.………(11分)a2i,2j-1=2i+2j+4(2j-1)i-1,即偶数行、奇数列一定是奇数,a2i,2j=2i+2j+8ij,即偶数行、偶数列一定是偶数.从而每个偶数行的前(2j-1)列中,共有(j-1)个偶数,j个奇数.………(12分)所以前2i行、前(2j-1)列中共有2i(2j-1)个数,其中偶数和奇数均有i(2j-1)个.…(13分)x的所有可能取值为0,1,2,3.P(x=0)=P(x=3)==,P(x=1)=P(x=2)=Cij-iCij-i=3(2ij-i)………(15分)Cij-2i