北师大版八年级下册数学期末试卷

北师大版八年级下册数学期末试卷一.选择题:(本题共10道小题,每题3分,共30分)1．（3分）下列四个图形，中心对称图形的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（3分）下列式子从左到右的变形一定正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．（3分）平面直角坐标系中，将点A（﹣2，1）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点A'，则点A′的坐标为（）A．（1，3） B．（﹣5，1） C．（﹣5，﹣1） D．（1，﹣1）4．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC，若AB＝AC＝4，则BD的长为（）A．8 B．4 C．2 D．45．（3分）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．50°6．（3分）若关于x的分式方程﹣＝1有增根，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣47．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边长向正方形外作等边△CDE，AC与BE相交于点F，则∠AFD的度数为（）A．65° B．60° C．50° D．45°8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是AB边上一点，且AD：BD＝1：2，将△ACD绕点C顺时针旋转至△BCE，连接DE，则线段DE的长为（）A．3 B．2 C． D．29．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，连接EF交对角线AC于点M，连接BM．若∠BAD＝120°，AE＝2，则BM的长为（）A． B．2 C．4 D．310．（3分）如图，已知直线l1：y＝﹣3x+6与直线l2：y＝kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（）A．﹣3＜k＜0 B．﹣3＜k＜3 C．0＜k＜3 D．0＜k＜6二、填空题(每题3分,共12分)11．（3分）分解因式：a3﹣a＝．12．（3分）已知正多边形的一个外角等于45°，则该正多边形的内角和为．13．（3分）如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E．已知∠EAD＝3∠BAE，且AC＝8，则AE的长为．14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E是矩形内一个动点，且满足S△BCE＝S矩形ABCD，点P是△EBC内一个点，则PE+PB+PC的最小值为．三、解答题(共10道题,计78分)15．（5分）解不等式组．16．（8分）计算：（1）﹣；（2）（﹣）÷．17．（10分）解分式方程：（1）﹣1＝；（2）＝﹣2．18．（5分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，请用尺规在AC边上作一个点P，使得PA＝2PC．（保留作图痕迹，不写作法）19．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，EF过点O且与AD、BC分别交于点E，F，猜想线段AF、CE的关系，并说明理由．20．（8分）今年是中国共产党成立100周年，全国上下掀起了学习党史的热潮．某书店为了满足广大读者的阅读需求，准备购进A、B两种党史学习书籍．已知购进A、B两种书各1本需86元，购进A种书5本、B种书2本需340元．（1）求A、B两种书的进价；（2）书店决定A种书以每本80元出售，B种书以每本58元出售，为满足市场需求，现书店准备购进A、B两种书共100本，且A种书的数量不少于B种书数量的3倍，请问书店老板如何进货，可获利最大？并求出最大利润．21．（6分）某市为鼓励居民节约用水，从今年5月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨，王老师家今年3月份的水费是12元，5月份的水费是25.6元．已知王老师家5月份的用水量比3月份的用水量多3m3，求该市调整后居民用水的价格．22．（8分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD的垂直平分线分别交边AD、BC于点E、F，连接BE、DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BOC＝120°，AB＝6，求FC的长．23．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x、y轴分别相交于点A、B．点C的坐标为（0，﹣2），经过A、C作直线．（1）求直线AC的解析式；（2）若点P是直线AB上的动点，点Q是直线AC上的动点，当以点O，A、P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．24．（12分）已知正方形ABCD的边长为8，点E在边AD上，点F在边DC的延长线上，且AE＝CF．（1）如图1，分别连接BE、BF、EF，则△BEF的形状是；（2）如图2，连接EF交对角线AC于点M，若AE＝2，求DM的长；（3）如图3，若点G、H分别在AB、CD上，且GH＝4，连接EF交GH于点O，当EF与GH的夹角为45°时，求AE的长．参考答案与试题解析一.选择题:(本题共10道小题,每题3分,共30分)1．【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：第一、三、四共3个图形均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；第二个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故选：B．2．【分析】根据分式的基本性质去判断即可．【解答】解：A选项，分式没有这样的性质，故该选项不符合题意；B选项，题中没有说c≠0，故该选项不符合题意；C选项，∵bc≠0，∴c≠0，故该选项符合题意；D选项，分式没有这样的性质，故该选项不符合题意；故选：C．3．【分析】利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加3，纵坐标减2即可得到点A′的坐标．【解答】解：将点A（﹣2，1）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点A'，则点A′的坐标是（﹣2+3，1﹣2），即A′（1，﹣1）．故选：D．4．【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AB⊥AC，AB＝AC＝4，∴AO＝2，∴BO＝＝＝2，∴BD＝2BO＝4．故选：D．5．【分析】根据三角形中位线定理得到PF＝BC，PE＝AD，进而证明PF＝PE，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：∵P、F分别是BD、CD的中点，∴PF＝BC，同理可得：PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，∵∠EPF＝130°，∴∠PEF＝∠PFE＝×（180°﹣130°）＝25°，故选：A．6．【分析】先求出分式方程的解，根据分式方程有增根，得到x＝2，从而得到a的值．【解答】解：去分母得：x+x﹣a＝x﹣2，∴x＝a﹣2，∵分式方程有增根，∴x＝2，∴a﹣2＝2，∴a＝4，故选：C．7．【分析】由“SAS”可证△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＝∠DAF＝45°，在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴∠AFD＝∠AFB．∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB．∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，∴∠CBE＝15°．∵∠ACB＝45°，∴∠AFB＝∠ACB+∠CBE＝60°．∴∠AFD＝60°，故选：B．8．【分析】由旋转的性质可知：△ACD≌△BCE，得∠A＝∠CBE＝45°，从而∠DBE＝90°，利用勾股定理可求出DE的长．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝3，∠A＝∠ABC＝45°，∵AD：BD＝1：2，∴AD＝，BD＝，由旋转的性质可知：△ACD≌△BCE，∴∠ACD＝∠BCE，AD＝BE＝，∠A＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴DE＝＝，故选：C．9．【分析】因为四边形ABCD是菱形，可知AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，进而可知∠BAC＝60°，又因为点E、F分别为AB、AD的中点，可得AB，利用两次勾股定理可求BM．【解答】解：如图，连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝DAC＝∠BAD＝60°，∵点E、F分别为AB、AD的中点，四边形ABCD是菱形，∴AE＝EB，AF＝FD，AM＝MO，AC⊥BD，∵AE＝2，∴AB＝2AE＝4，在Rt△AOB中，∠ABO＝30°，∴AO＝AB＝2，∴BO＝＝2，∴MO＝AM＝AO＝1，在Rt△BOM中，BM＝＝．故选：A．10．【分析】利用直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），求出k与b的关系，即b＝2k．联立方程组求出点M的坐标，再利用点M在第一象限，列出不等式组，从而求出k的取值范围．【解答】解：由题意得：当x＝﹣2时，y＝﹣2k+b＝0．∴b＝2k．∴直线l2的解析式为y＝kx+2k（k≠0）．由得：∴M（，）．又∵M在第一象限，∴＞0且＞0．∴（﹣2k+6）（k+3）＞0且12k（k+3）＞0．令g＝（﹣2k+6）（k+3），则该二次函数图象开口向下且与x轴的交点为（﹣3，0）、（3，0）∴若g＝（﹣2k+6）（k+3）＞0，则﹣3＜k＜3．令h＝12k（k+3），则该二次函数的图象开口向上且与x轴交点为（0，0）、（﹣3，0）．∴若h＝12k（k+3）＞0，则k＜﹣3或k＞0∴0＜k＜3．故选：C．二、填空题(每题3分,共12分)11．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：a3﹣a，＝a（a2﹣1），＝a（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a+1）（a﹣1）．12．【分析】先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．【解答】解：正多边形的边数为：360°÷45°＝8，则这个多边形是正八边形，所以该多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°．故答案为：1080°．13．【分析】由矩形的性质和∠EAD＝3∠BAE可求出∠BAE＝22.5°，∠EAO＝45°，由AC＝8，＝可求出OA＝4，进而求得AE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OB＝AC＝×8＝4，∵∠EAD＝3∠BAE，∴∠BAE+3∠BAE＝90°，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠OAB＝67.5°，∴∠OAE＝67.5°﹣22.5°＝45°，∴△OAE为等腰直角三角形，∴AE＝OAsin45°＝4×＝2，故答案为：2．14．【分析】作EF⊥BC交BC于点F，根据＝，得EF＝2，可知点E在与BC平行，且距离BC为2的直线上运动，将△BCP绕点C逆时针旋转60°得△B'CP'，则当B'、P'、P、E共线，且B'P'⊥BC时，PE+PB+PC最小，其值为B'E'的长，根据图形求出B'H的长即可．【解答】解：如图，作EF⊥BC交BC于点F，由题意得：＝，∴EF＝2，∴点E在与BC平行，且距离BC为2的直线上运动，将△BCP绕点C逆时针旋转60°得△B'CP'，连接PP'，则△PCP'是等边三角形，∴PC＝PP'，B'P'＝BP，∴当B'、P'、P、E共线，且B'P'⊥BC时，PE+PB+PC最小，其值为B'E'的长，设B'E'交BC于H点，∵∠BCB'＝60°，B'C＝BC＝6，∴B'H＝sin60°×B'C＝3，∴B'E'＝B'H+HE'＝3+2，∴PE+PB+PC最小值为3+2，故答案为：3+2．三、解答题(共10道题,计78分)15．【分析】先分别解两个不等式得到x＜2和x≥﹣1，然后根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集．【解答】解：，解①得x＜2，解②得x≥﹣1，所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2．16．【分析】（1）先通分，然后根据同分母分式的加法的法则计算即可；（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．【解答】解：（1）﹣＝＝＝＝；（2）（﹣）÷＝＝＝＝．17．【分析】（1）先分解因式、再去分母、去括号、移项、合并同类项、把x系数化为一，最后一定检验；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、把x系数化为一，最后一定检验．【解答】（1）解：﹣1＝，﹣1＝，x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝6，x2+2x﹣x2+4＝6，2x＝2，x＝1，检验：把x＝1代入（x+2）（x﹣2）≠0，∴原方程的解是x＝1．（2）＝﹣2，＝﹣2，2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3），2﹣x＝﹣1﹣2x+6，﹣x+2x＝﹣1+6﹣2，x＝3，检验：把x＝3代入（x﹣3）＝0，x＝3不是原方程的解，∴原方程无解．18．【分析】根据含30°角的直角三角形的性质画出图形解答即可．【解答】解：如图所示：点P即为所求：19．【分析】根据平行四边形的性质得OA＝OC，AD∥BC，则，然后证明△AOE≌△COF得到AF＝CE．【解答】解：AF＝CF且AF∥CE，证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF＝CE且AF∥CE（平行四边形的对边相等且平行）．20．【分析】（1）设A种书的进价为x元，B种书的进价为y元，由购进A、B两种书各1本需86元，购进A种书5本、B种书2本需340元列出方程组求解即可；（2）设购进A种书a本，购进B种书（100﹣a）本，获利为w元，根据总利润等于A，B两种书的利润之和列出函数关系式，再根据函数的性质以及a的范围求出最大利润．【解答】解：（1）设A种书的进价为x元，B种书的进价为y元，由题意得：，解得：，答：A，B两种书的进价分别为56元，30元；（2）设购进A种书a本，购进B种书（100﹣a）本，获利为w元，由题意得：w＝（80﹣56）a+（58﹣30）（100﹣a）＝﹣4a+2800，∵a≥3（100﹣a），∴a≥75，∵﹣4＜0，∵w随a增大而减小，∴当a＝75时，w最大，最大值为2500元，此时100﹣a＝100﹣75＝25（本）．答：购进A种书75本，B种书25本时总获利最大，最大利润为2500元．21．【分析】设调整前该市居民用水的价格为x元/立方米，根据王老师今年5月份的用水量比3月份的用水量多3m3，列出分式方程解之即可．【解答】解：设调整前该市居民用水的价格为x元/立方米，则调整后用水价格为（1+）x元/立方米．根据题意得﹣＝3，解得x＝2.4．经检验，x＝2.4是原方程的根．所以（1+）x＝3.2．答：该市调整后居民用水的价格是3.2元/立方米．22．【分析】（1）由EF垂直平分BD可得EB＝ED，FB＝FD，再由△EOD≌△FOB可得DE＝BF，得出EB＝ED＝FB＝FD，即可得出结论；（2）由∠BOC＝120°结合矩形的性质可求出∠OBC＝30°，CD＝6，根据菱形的性质可求出∠DFC＝60°，根据直角三角形的性质即可求出FC的长．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，FB＝FD，BO＝DO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠OBF＝∠ODE，∵∠DOE＝∠BOF，∴△EOD≌△FOB（AAS），∴DE＝BF，∴EB＝ED＝FB＝FD，∴四边形BEDF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，CD＝AB＝6，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝120°，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∵四边形EBFD为菱形，∴FB＝FD，∴∠FBD＝∠FDB＝30°，∴∠DFC＝60°，∴∠FDC＝30°，设CF＝x，则FD＝2x，根据勾股定理得：（2x）2﹣x2＝62，解得：x＝2，∴FC的长为2．23．【分析】（1）由y＝﹣x+4得A（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（3，0）、C（0，﹣2）代入即得直线AC的解析式为y＝x﹣2；（2）设P（m，﹣m+4），Q（n，n﹣2），而A（3，0），O（0，0），①以PQ、AO为对角线，则PQ、AO的中点重合，可得，解得；故P（2，）；②以PA、QO为对角线，则PA、QO的中点重合，同理得P（2，）；③以PO、QA为对角线，则PO、QA的中点重合，可得P（4，﹣）．【解答】解：（1）在y＝﹣x+4中，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（3，0）、C（0，﹣2）代入得：，解得，∴直线AC的解析式为y＝x﹣2；（2）设P（m，﹣m+4），Q（n，n﹣2），而A（3，0），O（0，0），①以PQ、AO为对角线，则PQ、AO的中点重合，∴，解得；∴P（2，）；②以