组合数(3)课件高二下学期数学人教A版选择性

6.2.4组合数

(3)探究一：多面手问题例1：某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解：由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.方法一分两类：第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法.第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法.所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法.例1：某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解：方法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.第一类：甲入选.(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种).第二类：甲不入选.可分两步.第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法.由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法.综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法.解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理.反思归纳现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？练习解：可以分三类：总结：平均分成的每一组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以组数的全排列，即例2：

把abcd分成平均两组，共有_____种分法.abcdacbdadbccdbdbcadacab这两个在分组时只能算一个，故分组方法有3变式：把6人分成平均三组，共有_____种分法.15探究二：分组、分配问题完全均匀分组问题角度1：不同元素分组、分配问题1.均匀分组不安排任务的问题例3：现有12本不同的书.（1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？

（2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？解：先从12本不同的书中选4本有

种选法；再从余下的8本书中选4本有

种选法；最后从余下的4本书中选4本有

种选法.根据分步乘法计数原理,共有

种选法.完全均匀分组问题例3：现有12本不同的书.（2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？解：先从12本不同的书中选2本有

种选法；再从余下的10本书中选2本有

种选法；再从余下的8本书中选2本有

种选法；根据分步乘法计数原理,共有

种选法.最后从余下的6本书中选6本有

种选法.部分均匀分组问题1.均匀分组不安排任务的问题例4：（1）6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？（2）12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五个人有多少种不同的分法？解：（1）先将6本不同的书分为3组，有

种选法，再将3组分给甲、乙、丙三个人有

种选法.均匀分组、分配问题2.均匀分组安排任务的问题例4：（2）12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五个人有多少种不同的分法？解：先将12支笔按3：3分为2组，有

种选法；再将余下的6支笔按2：2：2分为3组，有

种选法；最后将5组分给A、B、C、D、E五个人，有

种选法.部分均匀分组、分配问题例5：现有6本不同的书.(1)按1:2:3分成三堆有多少种不同的分法？(2)按1:2:3分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法？3.非均匀分组问题解：（1）分三步：先从6本不同的书中选1本，有

种选法；再从其余的5本书中选2本，有

种选法最后从余下的3本书中选3本，有

种选法.根据分步乘法计数原理,共有

种选法.完全非均匀分组问题解：首先考虑分组.分三步：先从6本不同的书中选1本，有

种选法；再从其余的5本书中选2本，有

种选法；最后从余下的3本书中选3本，有

种选法.由于甲、乙、丙是不同的三个人，所以在上述分组的基础上考虑再分配，因此，根据分步乘法计数原理,共有

种选法.完全非均匀分组、分配问题其次考虑再分配.例5：现有6本不同的书.(2)按1:2:3分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法？反思归纳“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成m组，最后必须除以m！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有m组均匀，最后必须除以m！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种不同的分法？（1）每人各得两本；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）一人一本，一人两本，一人三本；（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；（5）一人四本，另两人各一本·解：练习角度2：相同元素分配问题例6：将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数.(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子.隔板法反思归纳相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.反思归纳相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.1.编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有(

)A.10种

B.12种 C.15种 D.18种练习2.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？1.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（

）A.56种B.68种C.74种D.92种随堂检测2.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是（

）A.30 B.60

C.120D.2403.假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为(

)A.30B.21C.10 D.15解析：用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有

＝15(种)分配方法.4.将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？解：(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法.4.将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？(2)5名同学站成一排，要求甲、乙