函数的应用基础解答题(含答案)

第1页（共1页）3.4函数的应用基础解答题一．解答题（共30小题）1．（2016•山东模拟）已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%（不考虑其他因素）．（1）若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；（2）如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年（精确到1年）？2．（2015秋•菏泽期末）已知函数f（x）=，求下列各式的值：（1）f（﹣1）+f（0）+f（1）；（2）f（6）+f（8）；（3）f（f（4））．3．（2015春•宁波校级期中）已知实数x，y满足：+=1．（Ⅰ）解关于x的不等式：y＞x+1；（Ⅱ）若x＞0，y＞0，求2x+y的最值．4．（2015秋•台中市校级期中）已知函数f（x）=（1）在给定的直角坐标系内画出f（x）的图象（2）写出f（x）的单调递增区间与减区间．5．（2015秋•文昌校级期中）已知f（x）=（1）求f（），f[f（﹣）]值；（2）若f（x）=，求x值；（3）作出该函数简图（画在如图坐标系内）；（4）求函数的单调增区间与值域．6．（2015春•常德校级期中）已知f（x）=（1）求f[f（0）]；（2）若f（a）=3，求a．7．（2015秋•天津校级月考）已知函数f（x）=x2+（a+2）x+b满足f（﹣1）=﹣2（1）若方程f（x）=2x有唯一的解；求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数，求实数a的取值范围．8．（2015秋•西安校级月考）若函数f（x）=x2+（2a﹣1）x+1﹣2a在（﹣1，0）及（0，）内各有一个零点，求实数a的范围．9．（2015秋•漳州校级月考）若2a=5b=m，且，求m的值．10．（2015秋•岳阳校级月考）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元．（1）写出飞机票价格y元与旅行团人数x之间的函数关系式；（2）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．11．（2015秋•海南校级月考）海南华侨中学三亚学校高三7班拟制定奖励条例，对在学习中取得优异成绩的学生实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生月考成绩的高低对该学生进行奖励的．奖励公式为f（n）=k（n）（n﹣10），n＞10（其中n是该学生月考平均成绩与重点班平均分之差，f（n）的单位为元），而．现有甲、乙两位学生，甲学生月考平均分超出重点班平均分18分，而乙学生月考平均分超出重点班平均分21分．问乙所获得奖励比甲所获得奖励多几元？12．（2014•赣州二模）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=．则f（1）的值为．13．（2014•谢家集区校级一模）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．（1）写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）14．（2014春•榆阳区校级期中）已知直线y=（a+1）x﹣1与曲线y2=ax恰有一个公共点，求实数a的值．15．（2014•岳麓区校级模拟）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？（用线性规划求解要画出规范的图形）16．（2014秋•开县期末）已知函数f（x）=x2﹣2x+a有且仅有一个零点．（1）求实数a的值；（2）当x∈[1，4]时，求f（x）的取值范围．17．（2014春•石嘴山校级期末）已知函数函f（x）=x|x|﹣2x（x∈R）（1）判断函数的奇偶性，并用定义证明；（2）作出函数f（x）=x|x|﹣2x的图象；（3）讨论方程x|x|﹣2x=a根的情况．18．（2014秋•常熟市校级期末）已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）记函数g（x）=10f（x）+3x，求函数g（x）的值域；（3）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．19．（2013秋•资阳期末）经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80﹣2t（件），价格近似满足f（t）=20﹣|t﹣10|（元）．（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．20．（2014春•鞍山期末）某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为8万元/辆，出厂价为10万元/辆，年销售量为12万辆．本年度为节能减排，对产品进行升级换代．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.5x．（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）当投入成本增加的比例x为何值时，本年度比上年度利润增加最多？最多为多少？21．（2014秋•吉州区校级期中）计算下列各式．（1）解方程：log2（4x﹣3）=x+1；（2）化简求值：（0.064）+[（﹣2）﹣3]+16﹣0.75﹣lg﹣log29×log32．22．（2014秋•扶余县校级期中）若函数f（x）=mx2﹣2x+3只有一个零点，求实数m的取值范围．23．（2014春•龙泉驿区校级期中）已知一物体的运动方程如下：s=，其中s单位：m；t单位：s．求：（1）物体在t∈[2，3]时的平均速度．（2）物体在t=5时的瞬时速度．24．（2014秋•高邮市期中）已知函数f（x）=|x|（x﹣4），x∈R．（1）将函数f（x）写成分段函数的形式，并作出函数的大致的简图（作图要求：①要求列表；②先用铅笔作出图象，再用0.5mm的黑色签字笔将图象描黑）；（2）根据函数的图象写出函数的单调区间，并写出函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值．25．（2014秋•故城县校级月考）（文做）已知函数f（x）=x2﹣k（x+1）+x的一个零点在（2，3）内，求实数k的取值范围．26．（2014秋•台山市校级月考）若函数f（x）=log2（x﹣1）的定义域记为A，函数g（x）=log2（5﹣x）的定义域记为B．（1）求A∩B；（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的零点．27．（2014秋•月湖区校级月考）据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．28．（2013秋•赫山区校级期中）某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？29．（2013春•江门期末）已知指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（﹣1，2）．（1）求a；（2）若g（x）=f（x）﹣4，求函数g（x）的零点．30．（2013秋•榆树市校级期末）已知函数f（x）=，求f（3）+f（﹣3）f（）的值．

3.4函数的应用基础解答题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•山东模拟）已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%（不考虑其他因素）．（1）若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；（2）如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年（精确到1年）？【分析】（1）利用指数型增长模型得出函数关系式；（2）令y=210，计算x即可．【解答】解：（1）y=200（1+1%）x．（2）令y=210，即200（1+1%）x=210，解得x=log1.011.05≈5．答：约经过5年该城市人口总数达到210万．【点评】本题考查了指数型函数增长模型的应用，属于基础题．2．（2015秋•菏泽期末）已知函数f（x）=，求下列各式的值：（1）f（﹣1）+f（0）+f（1）；（2）f（6）+f（8）；（3）f（f（4））．【分析】（1）运用分段函数的解析式，由第二段的解析式，计算即可得到；（2）由第二段的解析式，计算即可得到所求；（3）先求f（4）=8，再求f（f（4））=f（8），计算即可得到所求值．【解答】解：函数f（x）=，（1）f（﹣1）+f（0）+f（1）=2﹣2+20﹣1+21﹣1=++1=；（2）f（6）+f（8）=log2（6﹣4）+log2（8﹣4）=1+2=3；（3）f（4）=24﹣1=8，f（f（4））=f（8）=log2（8﹣4）=2．【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，注意运用各段的解析式，考查运算能力，属于基础题．3．（2015春•宁波校级期中）已知实数x，y满足：+=1．（Ⅰ）解关于x的不等式：y＞x+1；（Ⅱ）若x＞0，y＞0，求2x+y的最值．【分析】（Ⅰ）由+=1可化得y=；从而解不等式即可；（Ⅱ）化简2x+y=2x+=2x++1≥2+1；注意不等式等号成立的条件即可．【解答】解：（Ⅰ）∵+=1，∴y=；∴＞x+1，解得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；（Ⅱ）∵x＞0，y＞0，y=，∴2x+y=2x+=2x++1≥2+1；（当且仅当2x=，x=时，等号成立）；2x+y的最小值为2+1，没有最大值．【点评】本题考查了不等式的解法与基本不等式的应用，属于基础题．4．（2015秋•台中市校级期中）已知函数f（x）=（1）在给定的直角坐标系内画出f（x）的图象（2）写出f（x）的单调递增区间与减区间．【分析】（1）结合二次函数和一次函数的图象和性质，及已知中函数的解析式，可得函数的图象；（2）结合（1）中函数图象，可得函数的单调区间．【解答】解：（1）函数f（x）的图象如下图（6分）（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）=3﹣x2，知f（x）在[﹣1，0]上递增；在[0，2]上递减，又f（x）=x﹣3在（2，5]上是增函数，因此函数f（x）的增区间是[﹣1，0]和（2，5]；减区间是[0，2]．（12分）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调区间，难度不大，属于基础题．5．（2015秋•文昌校级期中）已知f（x）=（1）求f（），f[f（﹣）]值；（2）若f（x）=，求x值；（3）作出该函数简图（画在如图坐标系内）；（4）求函数的单调增区间与值域．【分析】（1）由分段函数，运用代入法，计算即可得到所求值；（2）分别对分段函数的每一段考虑，解方程即可得到所求值；（3）运用一次函数和二次函数的画法，即可得到所求图象；（4）由图象可得增区间和值域．【解答】解：（1）f（x）=，可得f（）=f（﹣）=，即有f[f（﹣）]=f（）=．（2）当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣x=，可得x=﹣符合题意，当0≤x＜1时，f（x）=x2=，可得x=或x=﹣（不合，舍去），当1≤x≤2时，f（x）=x=（不合题意，舍去）综上：x=﹣或．（3）见右图：（4）由图象可得函数的增区间为[0，2]，函数的值域为[0，2]．【点评】本题考查分段函数的运用：求自变量和函数值，以及单调区间和值域，考查运算能力，属于基础题．6．（2015春•常德校级期中）已知f（x）=（1）求f[f（0）]；（2）若f（a）=3，求a．【分析】（1）先求f（0）=2，再求f（2）=2，即可得到结论；（2）讨论a＜2，a≥2，由分段函数，解方程即可得到所求a的值．【解答】解：（1）由分段函数可得f（0）=0+2=2，则f[f（0）]=f（2）==2．（2）①若a＜2，则a+2=3，解得a=1；②若a≥2，则=3，解得a=±（舍去负值）．综上，a=1或．【点评】本题考查分段函数及运用，主要考查分段函数值和已知函数值，求自变量，属于基础题．7．（2015秋•天津校级月考）已知函数f（x）=x2+（a+2）x+b满足f（﹣1）=﹣2（1）若方程f（x）=2x有唯一的解；求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据f（﹣1）=﹣2，以及方程f（x）=2x有唯一的解建立关于a与b的方程组，解之即可；（2）根据函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数，可得其对称轴在区间[﹣2，2]上，从而可求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=﹣2∴1﹣（a+2）+b=﹣2即b﹣a=﹣1①∵方程f（x）=2x有唯一的解即x2+ax+b=0唯一的解∴△=a2﹣4b=0②由①②可得a=2，b=1（2）由（1）可知b=a﹣1∴f（x）=x2+（a+2）x+b=x2+（a+2）x+a﹣1其对称轴为x=﹣∵函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数∴﹣2＜﹣＜2解得﹣6＜a＜2∴实数a的取值范围为﹣6＜a＜2．【点评】本题主要考查了函数的单调性，以及方程解与判别式的关系，同时考查了计算能力，属于基础题．8．（2015秋•西安校级月考）若函数f（x）=x2+（2a﹣1）x+1﹣2a在（﹣1，0）及（0，）内各有一个零点，求实数a的范围．【分析】根据二次函数零点与方程之间的关系即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）在（﹣1，0）及（0，）各有一个零点，只需，即，解得＜a＜．【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据一元二次函数根的分布建立条件关系是解决本题的关键．9．（2015秋•漳州校级月考）若2a=5b=m，且，求m的值．【分析】利用指数式与对数式互化，求出关于m的方程，求解即可．【解答】解：2a=5b=m，则=logm2，，因为，所以logm2+logm5=2，∴2=logm10，解得m=．【点评】本题考查对数运算法则的应用，函数的零点与方程根的关系，考查计算能力．10．（2015秋•岳阳校级月考）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元．（1）写出飞机票价格y元与旅行团人数x之间的函数关系式；（2）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．【分析】（1）依题意得，当1≤x≤35时，y=800；当35＜x≤60时，y=800﹣10（x﹣35）=﹣10x+1150，从而得出结论．（2）设利润为Q，则由Q=yx﹣1600可得Q的解析式．当1≤x≤35且x∈N时，求得Qmax的值，当35＜x≤60且x∈N时，再根据Q的解析式求得Qmax的值，再把这两个Qmax的值作比较，可得结论．【解答】解：（1）依题意得，当1≤x≤35时，y=800．当35＜x≤60时，y=800﹣10（x﹣35）=﹣10x+1150；∴．…（4分）（2）设利润为Q，则．…（6分）当1≤x≤35且x∈N时，Qmax=800×35﹣16000=12000，当35＜x≤60且x∈N时，，因为x∈N，所以当x=57或x=58时，Qmax=17060＞12000．故当旅游团人数为57或58时，旅行社可获得最大利润为17060元．…（13分）【点评】本题主要考查求函数最值的应用，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．11．（2015秋•海南校级月考）海南华侨中学三亚学校高三7班拟制定奖励条例，对在学习中取得优异成绩的学生实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生月考成绩的高低对该学生进行奖励的．奖励公式为f（n）=k（n）（n﹣10），n＞10（其中n是该学生月考平均成绩与重点班平均分之差，f（n）的单位为元），而．现有甲、乙两位学生，甲学生月考平均分超出重点班平均分18分，而乙学生月考平均分超出重点班平均分21分．问乙所获得奖励比甲所获得奖励多几元？【分析】由已知中．f（n）=k（n）（n﹣10），分别求出f（18）和f（21），相减可得答案．【解答】解：∵．∴k（18）=4，∴f（18）=4×（18﹣10）=32（元）．又∵k（21）=6，∴f（21）=6×（21﹣10）=66（元），∴f（21）﹣f（18）=66﹣32=34（元）．答乙所获得奖励比甲所获得奖励多34元．【点评】本题考查的知识眯是函数模型的选择与应用，函数求值，难度不大，属于基础题．12．（2014•赣州二模）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=．则f（1）的值为4．【分析】由于x＞0时，f（x）=f（x﹣1），则f（1）=f（0），再由分段函数表达式，即可求出答案．【解答】解：x＞0时，f（x）=f（x﹣1），则f（1）=f（0）=log216=4，故答案为：4．【点评】本题考查分段函数及运用，考查函数的性质及运用，考查基本的对数运算能力，属于基础题．13．（2014•谢家集区校级一模）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．（1）写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）【分析】（1）由已知得，楼房每平方米的平均综合费为每平方米的平均建筑费用为560+48x与平均地皮费用的和，由已知中某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋x层，每层2000平方米的楼房，我们易得楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）由（1）中的楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式，要求楼房每平方米的平均综合费用最小值，我们有两种思路，一是利用基本不等式，二是使用导数法，分析函数的单调性，再求最小值．【解答】解：（1）设楼房每平方米的平均综合费为y元，依题意得y=（560+48x）+=560+48x+（x≥10，x∈N*）；（定义域不对扣1﹣2分）（2）法一：∵x＞0，∴48x+≥2=1440，当且仅当48x=，即x=15时取到“=”，此时，平均综合费用的最小值为560+1440=2000元．答：当该楼房建造15层，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．法二：先考虑函数y=560+48x+（x≥10，x∈R）；则y'=48﹣，令y'=0，即48﹣=0，解得x=15，当0＜x＜15时，y'＜0；当x＞15时，y'＞0，又15∈N*，因此，当x=15时，y取得最小值，ymin=2000元．答：当该楼房建造15层，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．14．（2014春•榆阳区校级期中）已知直线y=（a+1）x﹣1与曲线y2=ax恰有一个公共点，求实数a的值．【分析】联立方程组，消去y得到关于x的准一元二次方程，对方程二次项系数进行讨论．分为零和不为零的情况【解答】解：联立方程组得：，消去y得到：（（a+1）x﹣1）2=ax化简得：（a+1）2x2﹣（3a+2）x+1=0①a=﹣1时，显然成立②a≠﹣1时，△=（3a+2）2﹣4（a+1）2=0，解得a=0或综上所述，故a=0或﹣1或【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及直线与二次曲线间的关系，属于基础题．15．（2014•岳麓区校级模拟）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？（用线性规划求解要画出规范的图形）【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，则满足条件的约束条件为满足约束条件的可行域如下图所示∵z=5x+3y可化为y=﹣x+z，平移直线y=﹣x，由图可知，当直线经过P（3，4）时z取最大值联立，解得∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．16．（2014秋•开县期末）已知函数f（x）=x2﹣2x+a有且仅有一个零点．（1）求实数a的值；（2）当x∈[1，4]时，求f（x）的取值范围．【分析】（1）由函数f（x）=x2﹣2x+a有且仅有一个零点知△=4﹣4a=0；从而解得．（2）化简f（x）=x2﹣2x+1=f（x）=（x﹣1）2，从而求值域．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣2x+a有且仅有一个零点，∴△=4﹣4a=0；故a=1；（2）f（x）=x2﹣2x+1=f（x）=（x﹣1）2，∵x∈[1，4]，∴（x﹣1）2∈[0，9]；故f（x）的取值范围为[0，9]．【点评】本题考查了函数与方程的关系及函数值域的求法，属于基础题．17．（2014春•石嘴山校级期末）已知函数函f（x）=x|x|﹣2x（x∈R）（1）判断函数的奇偶性，并用定义证明；（2）作出函数f（x）=x|x|﹣2x的图象；（3）讨论方程x|x|﹣2x=a根的情况．【分析】（1）利用零点分段法，我们易将函数的解析式化为分段函数的形式，然后根据分段函数奇偶性的判判断方法，分类讨论，即可得到结论．（2）根据分段函数图象分段画的原则，结合（1）中函数的解析式及二次函数图象的画法，即可得到函数的图象；（3）根据（2）中的图象，结合函数的极大值为1，极小值为﹣1，我们易分析出方程x|x|﹣2x=a根的情况．【解答】解：（1）∵f（x）=x|x|﹣2x=∴当x＞0时，﹣x＜0，故f（﹣x）=﹣x2+2x，=﹣f（x）当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x）当x=0时，﹣x=0，故f（﹣x）=﹣f（x）=0综上函数f（x）=x|x|﹣2x为奇函数（2）由（1）中f（x）=x|x|﹣2x=则函数的图象如下图所示：（3）由图可知：当a＜﹣1，或a＞1时，方程x|x|﹣2x=a有一个根；当a=﹣1，或a=1时，方程x|x|﹣2x=a有二个根；当﹣1＜a＜1时，方程x|x|﹣2x=a有三个根；【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数奇偶性的判断及二次函数的图象，其中要判断方程x|x|﹣2x=a根的情况．关键是要画出函数的图象，数形结合得到结论．18．（2014秋•常熟市校级期末）已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）记函数g（x）=10f（x）+3x，求函数g（x）的值域；（3）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据函数解析式求定义域，使对数式，指数式，分式，幂式等有意义，如x须满足．（2）复合函数单调性与最值的综合应用，外层函数是增函数而内层函数g（x）=﹣x2+3x+4（﹣2＜x＜2），（3）分离参数根据恒成立问题利用函数的性质求实数m的取值范围，不等式f（x）＞m有解即m＜f（x）max，求可得函数f（x）的最大值．【解答】解：（1）x须满足，∴﹣2＜x＜2，∴所求函数的定义域为（﹣2，2）（2）由于﹣2＜x＜2，∴f（x）=lg（4﹣x2），而g（x）=10f（x）+3x，g（x）=﹣x2+3x+4（﹣2＜x＜2），∴函数g（x）=﹣x2+3x+4（﹣2＜x＜2），其图象的对称轴为，∴，所有所求函数的值域是（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max令t=4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4∴f（x）的最大值为lg4．∴实数m的取值范围为m＜lg4【点评】函数的性质是高考考查的重点其经常与不等式结合考查，（3）中就是此类问题，也可以结合f（x）的是偶函数和单调性，求得f（x）的最大值．19．（2013秋•资阳期末）经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80﹣2t（件），价格近似满足f（t）=20﹣|t﹣10|（元）．（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．【分析】（1）日销售额=销售量×价格，根据条件写成分段函数即可；（2）分别求出函数在各段的最大值、最小值，取其中最小者为最小值，最大者为最大值；【解答】解：（1）y=g（t）•f（t）=（80﹣2t）•（20﹣|t﹣10|）=；（2）当0≤t＜10时，y=﹣2t2+60t+800在[0，10）上单调递增，y的取值范围是[800，1200）；当10≤t≤20时，y=2t2﹣140t+2400在[10，20]上单调递减，y的取值范围是[1200，400]，在t=20时，y取得最小值为400．t=10时y取得最大值1200，故第10天，日销售额y取得最大值为1200元；第20天，日销售额y取得最小值为400元．【点评】本题考查函数在实际问题中的应用，考查分段函数最值的求法，考查学生解决实际问题的能力，属中档题．20．（2014春•鞍山期末）某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为8万元/辆，出厂价为10万元/辆，年销售量为12万辆．本年度为节能减排，对产品进行升级换代．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.5x．（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）当投入成本增加的比例x为何值时，本年度比上年度利润增加最多？最多为多少？【分析】（1）由题意可知，本年度每辆车的利润为10（1+0.75x）﹣8（1+x），本年度的销售量是12（1+0.5x），由此能求出年利润y与投入成本增加的比例x的关系式．（2）设本年度比上年度利润增加为f（x），则f（x）=（﹣3x2+6x+24）﹣24=﹣3（x﹣1）2+3，因为，在区间上f（x）为增函数，由此能求出当投入成本增加的比例x为何值时，本年度比上年度利润增加最多，交能求出最多为多少．【解答】解：（1）由题意可知，本年度每辆车的利润为10（1+0.75x）﹣8（1+x）本年度的销售量是12（1+0.5x）×104，故年利润y=12（1+0.5x）[10（1+0.75x）﹣8（1+x）]×104=[（﹣3x2+6x+24）×104，x∈（0，]．…（6分）（2）设本年度比上年度利润增加为f（x），则f（x）=[（﹣3x2+6x+24）﹣24]×104=[﹣3（x﹣1）2+3]×104，因为，在区间上f（x）为增函数，所以当时，函数y=f（x）有最大值为×104．故当时，本年度比上年度利润增加最多，最多为2.25亿元．…（16分）【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．21．（2014秋•吉州区校级期中）计算下列各式．（1）解方程：log2（4x﹣3）=x+1；（2）化简求值：（0.064）+[（﹣2）﹣3]+16﹣0.75﹣lg﹣log29×log32．【分析】（1）由log2（4x﹣3）=x+1可得4x﹣3=2x+1，从而可得2x=﹣1或2x=3，从而解得；（2）0.064=，[（﹣2）﹣3]=2﹣4，16﹣0.75=2﹣3，lg=﹣，log29×log32=2．【解答】解：（1）∵log2（4x﹣3）=x+1，∴4x﹣3=2x+1，即2x=﹣1或2x=3，则x=log23．（2）（0.064）+[（﹣2）﹣3]+16﹣0.75﹣lg﹣log29×log32=+++﹣2=．【点评】本题考查了方程的解法即有理指数幂化简求值，属于基础题．22．（2014秋•扶余县校级期中）若函数f（x）=mx2﹣2x+3只有一个零点，求实数m的取值范围．【分析】由题意，讨论函数f（x）=mx2﹣2x+3是一次函数还是二次函数，从而求解．【解答】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣2x+3与x轴只有一个交点，此时函数f（x）只有一个零点．（2）当m≠0时，要使得f（x）=mx2﹣2x+3只有一个零点，则要△=（﹣2）2﹣4×3×m=0，此时m=．综上所述，当m=0或m=时，函数f（x）=mx2﹣2x+3只有一个零点．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．23．（2014春•龙泉驿区校级期中）已知一物体的运动方程如下：s=，其中s单位：m；t单位：s．求：（1）物体在t∈[2，3]时的平均速度．（2）物体在t=5时的瞬时速度．【分析】（1）计算时间变化量为△t=1，其位移变化量为△s=s（3）﹣s（2）=﹣2，即可求出物体在t∈[2，3]时的平均速度．（2）求出速度增量，即可得出物体在t=5时的瞬时速度．【解答】解：（1）由已知在t∈[2，3]时，其时间变化量为△t=1，其位移变化量为△s=s（3）﹣s（2）=﹣2，故所求平均速度为m/s（6分）（2）==10+△t故物体在t=5时的瞬时速度为=m/s（12分）【点评】本题考查分段函数的应用，考查导数的概念及应用，比较基础．24．（2014秋•高邮市期中）已知函数f（x）=|x|（x﹣4），x∈R．（1）将函数f（x）写成分段函数的形式，并作出函数的大致的简图（作图要求：①要求列表；②先用铅笔作出图象，再用0.5mm的黑色签字笔将图象描黑）；（2）根据函数的图象写出函数的单调区间，并写出函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值．【分析】（1）要根据绝对值的定义，利用零点分段法，分当x＜0时和当x≥0时两种情况，化简函数的解析式，最后可将函数y=|x|（x﹣4）写出分段函数的形式；（2）根据分段函数图象分段画的原则，结合二次函数的图象和性质，可作出图象，结合图象可得函数的单调区间和函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值；【解答】解：（1）函数f（x）=|x|（x﹣4）=，列表如下：x﹣4﹣3﹣2﹣1012345y﹣32﹣27﹣12﹣50﹣3﹣12﹣305根据分段函数图象的作法，其函数图象如图所示：（2）函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），减区间为（0，2）；函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最值为f（x）max=f（0）=0，f（x）min=f（﹣1）=﹣5．【点评】本题考查的知识点是分段函数的解析式及其图象的作法，函数的单调区间和最值，难度不大，属于基础题．25．（2014秋•故城县校级月考）（文做）已知函数f（x）=x2﹣k（x+1）+x的一个零点在（2，3）内，求实数k的取值范围．【分析】根据函数的零点的判断方法，求解，列出不等式，求解不等根即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2+（1﹣k）x﹣k，∴△=（1﹣k）2+4k=（1+k）2≥0，函数f（x）=x2﹣k（x+1）+x的有零点（1）当k=﹣1时，f（x）的零点有1个，为﹣1，∴零点不在（2，3）内，（2）当k≠﹣1时，f（x）的零点有2个，∵函数f（x）=x2﹣k（x+1）+x的一个零点在（2，3）内∴f（2）f（3）＜0，即（6﹣3k）（12﹣4k）＜0（k﹣2）（k﹣3）＜0，∴2＜k＜3故实数k的取值范围为：（2，3）【点评】本题考查了函数零点的判定定理，解不等式，属于容易题．26．（2014秋•台山市校级月考）若函数f（x）=log2（x﹣1）的定义域记为A，函数g（x）=log2（5﹣x）的定义域记为B．（1）求A∩B；（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的零点．【分析】（1）求解函数的定义域得到集合A，B，然后取交集得答案；（2）利用对数的运算性质化简h（x）=f（x）﹣g（x），求解对数方程得答案．【解答】解：（1）由x﹣1＞0，得x＞1，∴A=（1，+∞）．由5﹣x＞0，得x＜5，∴B=（﹣∞，5）．则A∩B=（1，5）；（2）h（x）=f（x）﹣g（x）=log2（x﹣1）﹣log2（5﹣x）=（1＜x＜5）．由h（x）=0，得，解得x=3．∴h（x）的零点是3．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了交集及其运算，训练了函数零点的求法，是基础题．27．（2014秋•月湖区校级月考）据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N城位于M地正南方向，且