福建省宁德市2024-2025学年高二上学期第三次阶段测试数学检测试题（含解析）

福建省宁德市2024-2025学年高二上学期第三次阶段测试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知点O0,0，点满足，则点到直线的距离的最大值为（）A． B． C． D．2．若双曲线的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B．C． D．3．若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（）A． B．2 C． D．44．已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（

）A．B．C．或D．或5．若等差数列和等比数列满足，则为（

）A． B． C． D．−26．10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（

）A． B．C． D．7．如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（）A．18 B．15 C．16 D．218．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列命题中错误的是（

）A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B．任何直线都存在斜率和倾斜角C．直线的一般式方程为 D．任何一条直线至少要经过两个象限10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲乙不相邻的排法种数为82种D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种11．已知曲线，则下列说法正确的是（

）A．若，则为椭圆B．若，则为双曲线C．若为椭圆，则其长轴长一定大于2D．曲线不能表示圆三、填空题（本大题共3小题）12．过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为．13．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有种.（用数字作答）14．如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为______.四、解答题（本大题共5小题）15．已知两条直线:和(1)若，求实数a的值;(2)若，求与之间的距离.16．根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)过点（2，0），与双曲线1的离心率相等；(2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）．17．已知等比数列的前项和为，且．(1)求；(2)若，求数列的前项和．18．要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．19．已知为坐标原点，是抛物线上与点不重合的任意一点．(1)设抛物线的焦点为，若以为圆心，为半径的圆交的准线于两点，且的面积为，求圆的方程；(2)若是拋物线上的另外一点，非零向量满足，证明：直线必经过一个定点．

答案1．【正确答案】B【详解】

如图，因点满足，则点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，又直线经过定点，由图知，要使点到直线的距离最大，只需使圆心到直线的距离最大，即当且仅当轴时，点到直线的距离最大，为.（理由：如图，过点另作一条直线，过点作于点，在中显然有，故当且仅当轴时，点到直线的距离最大）.故选：B.2．【正确答案】B【详解】根据题意可知，即可得，且，即；因此可得，可得；再由渐近线方程可得该双曲线的渐近线方程为.故选：B3．【正确答案】D【详解】由方程可知：，由椭圆的定义可知．故选：D．4．【正确答案】D【详解】根据题意，分2种情况讨论:①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点，所以，解得，此时直线的方程为，即；②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，则有，解可得，此时直线的方程为，故直线的方程为或.故选：D.5．【正确答案】A【详解】因为是等差数列，设公差为，所以，所以,又因为是等比数列，设公比为,所以，所以，则.故选：A.6．【正确答案】D【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法，然后我们把他们捆绑为一个整体，再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法，所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确.故选：D7．【正确答案】A【详解】当中间数为3时，有（个）；当中间数为4时，有（个）．故共有（个）．故选：A8．【正确答案】A【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.【详解】因为，所以，如图，在上取一点M，使得，连接，则，则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，所以，设，则，由椭圆定义可知：，即，所以，所以，，故点A与上顶点重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以椭圆离心率为.故选：A对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.9．【正确答案】BCD【详解】对于A，直线的倾斜角，则其斜率，A正确；对于B，倾斜角为的直线不存在斜率，B错误；对于C，直线的一般式方程为，，C错误；对于D，当直线与轴或轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误.故选：BCD10．【正确答案】ABD【分析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断.【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确；对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确；对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C错误；对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确.故选ABD.11．【正确答案】BC【分析】A，B项，求出的范围，即可判断曲线的形状；C项，求出为椭圆时的范围，分类讨论即可得出其长轴长的范围；D项，通过A选项即可得出结论.【详解】由题意，在曲线中，A项，当时，，但当即时，曲线为圆，故A错误；B项，当时，，为双曲线，故B正确；C项，若为椭圆，由A选项知，，当时，，即长轴为，当时，，即长轴为，故C正确；D项，由A知当时，曲线为圆，故D错误.故选：BC.12．【正确答案】【详解】圆的圆心为，与直线垂直的直线的斜率为1，所以所求直线为，即．故答案为.13．【正确答案】84【分析】由捆绑法、间接法即可求解.【详解】这五个音阶的全排列数为，若商、角、徵全相邻，则由捆绑法可知，共有种排法，故由间接法可知，满足题意的排法数有种.故84.14．【正确答案】【分析】以所在的直线为轴，线段的中垂线所在的直线为轴，求出直线，的方程，联立两方程解出点的坐标，进而可得点所在双曲线方程，由离心率公式计算即可得答案.【详解】解：以所在的直线为轴，线段的中垂线所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系：设，则，则有，，，，，，，设，所以，，又因为，所以，所以或，又因为，所以直线的方程为：，即，同理可得直线的方程为：，即，由，可得，即，因为，，，,即有，，所以点所在双曲线方程为：，所以，所以，所以.故思路点睛：椭圆或双曲线中，要求离心率的值，就要求出的值(或数量关系或关于的一个二次方程).15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由可得，，解得.此时，，有，故；（2）由可得，解得，.此时，，有，故.16．【正确答案】(1)1(2)1【详解】（1）过点（2，0），可知所求双曲线的焦点在x轴上，且a＝2，因为所求双曲线与双曲线1的离心率相等；所以e，解得c，所以b1，所以双曲线方程为1．（2）与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2），则可设所求双曲线的方程为k（），把点M（3，﹣2）代入上述方程得k，解得k＝﹣2．所以所求双曲线的标准方程为1．17．【正确答案】(1)或(2)【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意，得，解得，∴或（2）∵，由（1）知，，，令

①则

②得即所以.18．【正确答案】(1)771(2)546(3)120(4)672(5)540【详解】（1）至少有1名女生入选，选从12任选5名，再排除全是男生种数，故至少有1名女生入选.则种.（2）至多有2名女生入选，分为没有女生种，1名女生种，2名女生种，根据分类计数原理得21+175+350=546种.（3）男生甲和女生乙入选，在剩下的10人中选出的3人，种.（4）男生甲和女生乙不能同时入选，有种.（5）男生甲、女生乙至少有一个人入选,则种.19．【正确答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】(1)求出，点到准线的距离，利用求出可得答案；(2)方法一，对两边平方得，设，设直线的方程为，结合抛物线方程得，再由可得答案；方法二，对两边平方得，设，设直线的方程为与抛物线方程联立，利用韦达定理结合可得答案.【详解】(1)准线为到的距离是．由对称性知，是等腰