2024-2025学年内蒙古自治区鄂尔多斯市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年内蒙古自治区鄂尔多斯市高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C．2π3 D．2．记等差数列的前项和为，则（

）A．120 B．140 C．160 D．1803．在等差数列an中，已知，，则数列an的通项公式可以为（

）A． B． C． D．4．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆C交于AA．2 B．3 C．4 D．65．双曲线的一条渐近线的方程为，则m值为（）A． B． C． D．6．已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知直线与椭圆相交于A，B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（

）A． B． C． D．4二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（）A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件C．直线的倾斜角的取值范围是D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率10．抛物线焦点为F，顶点为O，过F的直线l交抛物线于，两点分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，下列说法正确的是（

）A．为定值 B．C．A，O，三点共线 D．11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）A．三棱锥的体积为定值B．异面直线与所成角的取值范围是C．平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．抛物线的焦点坐标是.13．若曲线与直线有两个公共点，则实数m的取值范围是．14．已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则.四、解答题（本大题共5小题）15．（1）已知两直线，．求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程；（2）已知曲线的方程为，根据下列条件，求实数的取值范围．①曲线是椭圆；②曲线是双曲线．16．已知等差数列满足，．(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值．17．设点，直线，相交于点，且它们的斜率之积为.(1)求点的轨迹方程；(2)若.（i）当时，求的面积；（ii）求的取值范围.18．如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由．19．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右顶点分别为，．(1)过点作斜率为k的直线与双曲线C有且只有一个公共点，求k的值；(2)过点的直线与双曲线右支交于P，Q两点，记，的斜率分别为，，试问是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．

答案1．【正确答案】D【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，则.故选：D．2．【正确答案】C【详解】因为，所以，所以，所以，故选：C.3．【正确答案】C【详解】方法一（基本量法）设an的首项为，公差为d，则由，得，∴．代入，整理得，解得．当时，，；当时，，．方法二（等差数列的性质）∵，∴．，∴，∴．当时，；当时，．方法三（方程思想）∵，∴，∴，（由和与积，联想到根与系数的关系）∴，是方程的两根，∴或由，，得，∴．同理，由，，得．故选：4．【正确答案】A【详解】因为椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆面积为，则，又椭圆的两个焦点分别为，，直线与椭圆交于A，B两点，由椭圆对称性，得线段互相平分于原点，则四边形为平行四边形，因为四边形的周长为12，由椭圆的定义得，解得，所以椭圆的短半轴长.故选：A.5．【正确答案】D【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以，解得.故选：D.6．【正确答案】B【详解】解：由已知得，即，解得.故选：B.7．【正确答案】B【分析】利用过椭圆上两点的直线方程为，结合中点及直线方程，化简得到，利用即可求解.【详解】设两点坐标分别为，因为AB的中点为，所以，因为在椭圆上，所以①，，两式相减，得，根据，上式可化简为，整理得，又，所以，即，所以.故选B.8．【正确答案】A【详解】如图，因为双曲线，所以，由双曲线的对称性知，所以，由双曲线定义可得，所以，又，所以，即，所以,故，故选：A9．【正确答案】BCD【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直，则，解得或，所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错；对于B选项，若直线与直线互相平行，则，解得，所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对；对于C选项，直线的斜率为，当时，；当时，.因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对；对于D选项，如下图所示：设线段交轴于点，直线交线段于点，，，当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角，在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为；当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角，在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为.综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对.故选：BCD.10．【正确答案】AC【详解】易知F1,0，准线方程，不妨设，与抛物线方程联立有，所以，而，故A正确；易知，则，显然，即，故B错误；易知，显然，即A，O，三点共线，故C正确；由抛物线定义可知，由上知，所以，故D错误.故选：AC11．【正确答案】ACD【详解】对于A，，平面，平面，平面，点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B，，异面直线与所成的角即为与所成的角，当点位于点时，与所成的角为，当点位于的中点时，平面，，，此时，与所成的角为，异面直线与所成角的取值范围是，故B错误；对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，，则，，设平面的法向量，设平面的法向量，，则，即，令，则，则得，面与平面所成夹角为，所以，因为，，所以，，所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C正确；对于D，则，，，，，，设平面的法向量，则，即，令，则，得，所以直线与平面所成角的正弦值为：，当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故D正确.故选：ACD.12．【正确答案】【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，所以焦点坐标为，故答案为.13．【正确答案】【详解】由可得，即曲线表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，画出图形，可得当直线经过点A−2,0时，，当直线与曲线相切时，由圆心到直线的距离可得，由图可得，所以要使直线与曲线有两个公共点，则.故选：C.

故14．【正确答案】【分析】建立空间直角坐标系，设，再利用空间向量求解即可.【详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，则由题意：，，，则，，又所以，解得，即.故答案为.

15．【正确答案】（1）；（2）①；②.【详解】（1）联立，得，即两条直线的交点坐标为，设与直线平行的直线方程为，将代入得，即，所以所求直线方程为；（2）①曲线的方程为，，又曲线是椭圆，，解得且，故实数的取值范围为；②曲线是双曲线，，解得或，故实数的取值范围为.16．【正确答案】(1)(2)11【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，故．（2）由（1）可得，则，所以，则数列是等差数列，故．因为，所以，所以，所以或．因为，所以的最小值是11．17．【正确答案】(1)(2)(i)；(ii)【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率是，同理，直线的斜率是，由已知，有，化简，得点的轨迹方程是，点的轨迹是除去，两点的椭圆；（2）（i）设，，，，在中，由余弦定理得：，，（ii）设，则，即，，，，，，，，.18．【正确答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在；2.【分析】（1）根据条件先判定垂直关系再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可；（2）利用空间向量结合（1）的结论计算面面夹角即可；（3）利用空间向量研究线面夹角计算即可.【详解】（1）因为四边形为矩形，平面平面，平面平面，所以，则平面，根据题意可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，易知，，设平面的法向量，不妨令，则，又，，又平面平面；（2）由上可知，设平面的法向量，，令，则，，所