2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知在复平面内对应的点为，的共轭复数为，则（）A． B． C． D．2．已知，，，则（）A． B． C． D．3．若，则（）A． B． C． D．4．“”是“直线和直线平行且不重合”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（

）A．若mn，n⊥α，αβ，则m⊥βB．若则m⊥αC．若m⊥α，mn，nβ，则α⊥βD．若，则α⊥β6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（

）A． B．C． D．7．已知直线l的方向向量为，点，在l上，则点到l的距离为（

）A． B．4 C． D．8．正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列结论错误的是（）A．过点且在，轴上的截距互为相反数的直线方程为B．直线与直线之间的距离为C．已知点，，点在轴上，则的最小值为D．已知两点，，过点的直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是10．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）

A．直线与直线所成的角为B．直线与平面所成角的余弦值为C．四面体的体积为D．点到平面的距离为11．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（

）A．平面上存在定点使得的长度为定值 B．的最大值为C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是．13．有一光线从点射到直线以后，再反射到点，则入射光线所在直线的方程为.14．在菱形中，，将沿折起，使得点到平面的距离最大，此时四面体的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知空间中三点，，，设，．(1)已知向量与互相垂直，求的值；(2)求的面积．16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(1)求A；(2)若，求a的最小值.17．如图，四边形是矩形，四边形是梯形，，平面与平面互相垂直，．

(1)求证：．(2)若二面角为，求多面体的体积．18．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为．(1)求证：平面；(2)若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．19．已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角．(1)已知直线，均过点，直线，是一组“共轭线对”，且的斜率为，求的一般式方程；(2)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值；(3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线，的距离之积的取值范围．

答案1．【正确答案】D【详解】由题意，，，所以，，，．故选：D2．【正确答案】B【详解】因为为增函数，为减函数，所以，，且又因为为减函数，所以，所以.故选：B.3．【正确答案】A【详解】由题意得，．故选：A4．【正确答案】C【详解】当时，两直线分别为：，，∴两直线斜率相等且，∴两条直线平行且不重合；充分性成立，若两直线平行且不重合，则，∴，必要性成立，综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件，故选：C．5．【正确答案】D【详解】解：对于A，若，则且，所以A正确；对于B，若，则且，所以B正确；对于C，若，则由面面垂直的判定定理可得，所以C正确；对于D，若，则可能相交或垂直，所以D错误.故选：D.6．【正确答案】A【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.【详解】，，，，，，.故选：A.7．【正确答案】C【分析】根据点P到直线l的距离为，分别计算向量的模长与夹角的正弦值即可.【详解】根据题意，得，，，，又，到直线l的距离为故选：C本题考查了空间向量的应用问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目.8．【正确答案】C【分析】设四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，根据题意求出内切球的半径，当为内切球的直径时，最长，再化简可求得其最大值.【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，则.因为正四面体的棱长为3，所以，所以，设内切球的半径为，则，，解得，当为内切球的直径时最长，此时，，，因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为，所以的最大值为.

故选：C9．【正确答案】ABD【详解】对于A，当直线过原点的方程为，故选项A错误；对于B，由可得，与平行，则两条平行直线间的距离为，故选项B错误，对于C，点关于轴的对称点为，则，所以，即的最小值为，故C正确，对于D，，，又直线与线段没有公共点，所以，故D错误.故选：ABD10．【正确答案】AC【详解】如图以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，A1,0,0，，，，

对于A：，，因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确；对于B：在正方形中，，又因为平面，平面，所以平面，平面，所以，同理可证，，所以平面，所以平面的一个法向量，因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B错误；对于C：图形为正方体去掉四个全等的直棱锥，所以四面体的体积为：，故选项C正确；对于D：因为，平面的一个法向量n=x,y,z，，，故，令，则，，故，所以点到平面的距离，故选项D不正确.故选：AC11．【正确答案】ABD【详解】由直线，可得过定点，动直线，可得恒过定点，由两条直线斜率乘积为-1知两条直线总互相垂直，是两条直线的交点，所以，所以当为中点时，此时,所以A正确；由于，又，所以，，故，当且仅当取等号，故B正确，C错误，设到直线的距离为，由于，故，故最大值为，故D正确，故选ABD.12．【正确答案】【分析】利用投影向量的定义结合空间向量的坐标运算公式计算即可.【详解】易知向量在向量上的投影向量为.故答案为.13．【正确答案】【详解】解：设点关于直线的对称点为，则，解得．则点在反射光线所在的直线上．反射光线所在的直线方程为：，化为．反射光线所在的直线方程为．故14．【正确答案】【详解】解：如图，设，因为四边形为菱形，，所以和均是边长为2的等边三角形，则．因为翻折后点到平面的距离最大，所以平面平面．设的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，则平面，且．设，则，解得，所以外接球的半径，所以四面体的外接球的表面积．故15．【正确答案】(1)5(2)【详解】（1）因为，，，所以，，，因为向量与互相垂直，所以，解得．所以的值是5．（2）由（1）可得．故，所以．16．【正确答案】(1)(2)1【分析】（1）根据余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可；（2）应用余弦定理结合基本不等式求值即可.【详解】（1），即，即；（2）由余弦定理有，当且仅当时取等号，故a的最小值为1.17．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用正弦定理先证，再证线面垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，由二面角计算BC长，将多面体分割为四棱锥和三棱锥，分别计算其体积即可.【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以．又平面平面，平面平面，平面，所以平面．又平面,所以；（2）因为四边形是矩形，所以．结合平面，可知两两垂直．故以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易知平面的一个法向量为，假设，则，，设平面的法向量为，所以，即，令，则，所以平面的一个法向量为，因为二面角为，所以，解得．易证，所以．因为，平面平面，平面平面，所以平面，所以是三棱锥的高．，因为平面，所以是四棱锥的高．，所以多面体的体积.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连结，，因为为等边三角形，为中点，则，依题意平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以．由题设知四边形为菱形，所以，因为，分别为，中点，所以，即，又，平面，所以平面；（2）由（1）知平面，又，故可以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.（如图）则,于是，，，,设，则，设平面的法向量n=a,b,c，则令，则，，则，由（1）可知可作为平面的一个法向量，则，令，则，则；设，则，故得