2024-2025学年江苏省南京市高二上学期12月月考数学阶段性检测试卷（含解析）

2024-2025学年江苏省南京市高二上学期12月月考数学阶段性检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若直线l的斜率为，则l的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知等差数列，其前项和为，若，则（

）A．3 B．6 C．9 D．273．抛物线的焦点到其准线的距离等于（

）A． B．3 C．6 D．84．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（

）A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺5．已知P为椭圆上的动点．，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．46．为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值（

）A． B． C． D．7．已知数列的前项和为，数列的前项和为，则（）A．0B．50C．100D．25258．直线交椭圆于两点，为椭圆上异于的点，，的斜率分别为，且，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（

）A．实轴长为6 B．焦距为5C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为410．数列满足:，，，下列说法正确的是()A．数列为等比数列 B．C．数列是递减数列 D．的前n项和11．已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（）A．直线l恒过定点B．若圆C关于直线l对称，则k=1C．若直线l与圆C相切，则D．当k=1时，取y轴上一点，则的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．方程表示的曲线的标准方程是.13．已知数列满足：，则.14．设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过作轴的垂线交双曲线于两点，若，则双曲线的离心率为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列．(1)求的值及数列的通项公式；(2)若求数列的前项和16．已知抛物线的焦点为．过的直线与交于，两点，．(1)求的值；(2)求直线与的公共点个数；(3)证明：．17．已知数列满足(1)求an.(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围；18．在平面直角坐标系中，已知圆和圆．(1)求圆O与圆C的外公切线的长；(2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设．①求的值；②求圆心C到直线AB的距离的取值范围．19．已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线轴，轴于点，求的值.

答案1．【正确答案】C【分析】设直线l的倾斜角为，根据题意得到，即可求解.【详解】设直线l的倾斜角为，因为直线的斜率是，可得，又因为，所以，即直线的倾斜角为.故选：C2．【正确答案】C【分析】利用等差数列性质，结合前项和公式计算即得.【详解】在等差数列中，，解得，所以.故选C.3．【正确答案】B【分析】由抛物线方程直接得焦点坐标，准线方程即可求解.【详解】由题意抛物线的焦点坐标、准线方程分别为，所以抛物线的焦点到其准线的距离等于3.故选：B.4．【正确答案】A【分析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，从而得到答案．【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.由题可知，所以，，，，故选：A．5．【正确答案】C【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点的轨迹表示以为焦点的椭圆，进而求得的值.【详解】因为，可得，则，由椭圆的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的椭圆，其中，可得，所以，又因为点在椭圆，所以.故选：C.6．【正确答案】D【分析】根据题意，得到直线与圆相切或相离，结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由题意，点为直线上一点，过总能作圆的切线，可得直线与圆相切或相离，则满足圆心到直线的距离，解得，即，所以的最小值为.故选：D.7．【正确答案】B【详解】法一：由于①，则当时，②，①-②，得，即，易知，所以.又满足，故，则，易知，所以.法二：由于①，则当时，②，①-②，得，即，又易知，所以数列为常数列，所以，所以，则，易知，所以.8．【正确答案】A【详解】设点，则根据椭圆的对称性知点，显然，由与，相减得，整理得，而，于是，所以，所以该椭圆的离心率为.故选：A9．【正确答案】AD【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由双曲线，可得，则，可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为，所以A正确，B、C不正确；又由双曲线的渐近线方程为，即，且焦点，不妨设右焦点，渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，所以D正确.故选：AD.10．【正确答案】AB【详解】数列满足:，，，，，，数列为首项为，公比为3的等比数列，故A正确；，，故B正确；数列是递增数列，故C错误；数列的前项和为:，的前项和，故D错误．故选:AB11．【正确答案】ACD【详解】解：对于A，直线l：k，即，令，则，解得，，所以直线|恒过定点，故A正确;对于B，若圆C关于直线l对称，则直线l过圆心，所以，解得，故B错误;对于C，若直线与圆C相切，则圆心到直线的距离等于半径1，即，解得，故C正确;对于D，当k=1时，直线，点关于直线l的对称点，则有，解得，即，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD.12．【正确答案】【详解】方程，表示点到两点的距离之和等于10，而，所以方程表示的曲线是椭圆，且长轴长，焦距，所以，所以短半轴长，所以其标准方程为，故13．【正确答案】【详解】设，的前项和为，则，当时，，即，当时，，满足题意，所以，.故答案为.14．【正确答案】【详解】由题意可知：左、右顶点分别是A1（﹣a，0），A2（a，0），当x＝c时，代入双曲线方程，解得：y＝±，设B（c，），C（c，），则直线A1B的斜率k1，直线A2C的斜率k2，由A1B⊥A2C，则k1×k2＝﹣1，即1，则1，双曲线的离心率e，故．15．【正确答案】(1)，，；(2)【详解】（1），，成等差数列，，即，当时，，即，当时，，是等比数列，，则，得，数列的通项公式为，；（2），则前项和，，两式相减可得，化简可得．16．【正确答案】(1)(2)1个(3)证明见解析【详解】（1）设直线的方程为，与联立得，所以．（2）直线的斜率为，所以直线的方程为，即，与联立得，解得，所以直线与只有1个公共点．（3）证明：由（1）知，，所以，所以．17．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）当时，；当时，又，上述两式作差可得，即，不满足，所以；（2）当时，，即，所以，数列从第二项开始为递增数列，对任意的，恒成立.①若为正奇数，则，，则，可得；②若为正偶数，则，可得.综上所述，.18．【正确答案】(1)(2)①；②【详解】（1）圆心，半径为,圆心O0,0，半径为，故，所以外公切线长为．（2）①设点，则满足，得，所以，而，得，所以．②设点，以为直径的圆方程为，即，所以两圆的公共弦所在的直线方程为．圆心到直线AB的距离为，又因为点在圆上，即，，所以，设，且，由对勾函数在单调递减，在单调递增，得的最小值为，，,最大值为，所以的取值范围为．19．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据离心率、顶点坐标及求出可得答案；（2）直线的方程与椭圆方程联立，设，利用韦达定理求出点坐标，可得直线的方程，令，可得，点坐标，利用两点间的距离公式求出，，再做比值可得答案.【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）椭圆的标准方程为，可得，可得直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，易知，设，所以，，所以