2024-2025学年吉林省通化市梅河口市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年吉林省通化市梅河口市高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．不存在2．在长方体中，若，即向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（

）A． B． C． D．3．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．4．已知向量，是平面的两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（

）A． B． C． D．6．已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，过点引直线与圆相切，切点分别为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．直线的方向向量，平面的法向量，则C．已知直线经过点，则到的距离为D．若，则为钝角10．已知直线，则下列选项正确的是（

）A．当直线与直线平行时，B．当直线与直线垂直时，C．当实数变化时，直线恒过点D．直线和负半轴构成的三角形面积最小值是411．如图，在长方体中，，点是平面上的动点，满足，（

）A．在底面上的轨迹是一条直线B．三棱锥的体积是定值C．若角是直线和平面所成角，则的最大值是D．不存在点，使得三、填空题（本大题共3小题）12．直线经过的定点坐标是．13．已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为．14．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，，分别为的两个焦点，动点P在上（异于的左、右顶点），的重心为G，若直线与的斜率之积为非零常数，则．四、解答题（本大题共5小题）15．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为45°，且经过点．(1)求与两坐标轴围成的三角形面积；(2)若直线，且到的距离为，求的方程．16．在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，，为线段AD的中点，为PC上的一点，且．(1)求直线EF与平面所成的角的正弦值；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．17．已知圆．(1)若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求．(2)在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值．18．如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN(1)求椭圆的方程；(2)若，求MN的方程；(3)记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值.19．某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，设有三门考试科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格.若笔试不合格，则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.面试合格者代表年级组参加全校的决赛.现有某年级甲、乙两名学生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为，乙每门合格的概率分别是，，，甲、乙面试合格的概率分别是，.(1)求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率；(2)求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率.

答案1．【正确答案】C【详解】因为直线方程为：，与轴平行，所以直线倾斜角为，故选：C2．【正确答案】A【详解】因为，所以向量在单位正交基底下的坐标为，故选：A3．【正确答案】B【详解】由已知双曲线的焦距，即，所以，解得，即双曲线方程为，则其渐近线方程为，故选：B.4．【正确答案】B【详解】当时，由于是不共线的向量，故可用作为基底表示出来，即共面，所以“必要性”成立.当共面时，直线l可能在平面内，故“充分性”不成立.所以是必要不充分条件.故选：B.5．【正确答案】D【详解】圆的方程，即为，圆心，易知四边形PACB的外接圆的直径为PC，PC的最小值为圆心C到直线的距离，即，则四边形PACB的外接圆的半径为，所以四边形PACB的外接圆的面积的最小值为.故选：D6．【正确答案】D【详解】由题设可得双曲线渐近线为，且，所以，即，又，所以，所以.故选：D7．【正确答案】B【详解】因为椭圆，即，所以右焦点坐标为，又圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，所以圆的标准方程为：，设，根据圆的性质得，，因为，四边形的面积，即，设Mx,y，则，因为点在椭圆上，所以，将代入到中得，对于二次函数，其对称轴为，所以，，所以，当时，，当时，，所以，故选：B.8．【正确答案】A【详解】设外接球的半径为，则，由于是外接球的直径，所以，，所以，所以，所以，所以，，设与所成角为，则，整理得，所以外接球的表面积为.故选：A

9．【正确答案】AC【详解】A：对于空间向量，若，空间中任意两个向量均是共面的，即、均共面，所以一定共面，故A对；B：因为，,所以与不平行，故不成立，故B错；C：由题设，，则直线上的单位方向向量为，故，所以到直线的距离，故C对；D：当反向共线时，也有，但此时不是钝角，故D错.故选：AC10．【正确答案】ACD【详解】A：由题意，，则，对；B：由题意，，则，错；C：直线可化为，联立，直线恒过点，对；D：由题意，直线与负半轴均有交点，令，则，令，则，易知，所以直线和负半轴构成的三角形面积，令，则，当且仅当，即时取等号，所以直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4，对.故选：ACD11．【正确答案】ABC【详解】A：在上取，连接并延长交延长线于，在和中，且，所以，则，所以，由长方体性质易得，而都在面内，所以面，面，故，根据题设，易知，，同理可证，由且都在面内，所以面，即面，又面面，由，只需在直线，即在底面上的轨迹是一条直线，对；B：由长方体的结构特征知：面，即面，所以到面的距离恒定不变，即三棱锥的体积是定值，对；C：由面，易知是直线和平面所成角的平面角，所以，要使该值最大，只需最小，显然当时最小，而，，且，所以，则，则，，故，对；D：由面，面，则，若存在，使，又且都在面内，此时面，面，只需，显然，在面上以为直径的圆与的交点作为点，满足，故存在点，使得，错.故选：ABC12．【正确答案】【详解】化直线方程为：，即定点坐标为．故答案为.13．【正确答案】65【详解】因为x，y，8，10，11．它的平均数为8，所以，由，得，则，可得.故65.14．【正确答案】【详解】设椭圆的标准方程为，点，，则代入中，得①又因为，即，即②比较得，，即，，又，即，解得．故15．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）直线的斜率是，．其方程为：，直线与坐标轴交点坐标为和，则所求三角形面积为：．（2）直线的斜率是，设其方程为，所以，得或，所以的方程为或．16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）连接AC，因为底面是正方形，侧棱平面，以为原点，DA，DC，DP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，，，平面，平面，，，，取平面的法向量为，，，又，，而，，记直线EF与平面所成的角为，则，所以直线EF与平面所成的角的正弦值为．（2）设平面的法向量为，，，，，即，令，则取，易知平面，取平面的法向量为，记平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．17．【正确答案】见详解【详解】(1)直线方程为,则圆心到直线的距离,直线与圆相交，(2)圆的圆心,半径,点到直线的距离,点到直线距离的最大值为,所以面积的最大值为.18．【正确答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）由椭圆C:x2a2+得，解得，故椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，，，联立，消去得，由，得，则．，解得或，