2024-2025学年河北省承德市承德县高二上学期期中考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年河北省承德市承德县高二上学期期中考试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．若直线与平行，则（

）A． B． C． D．22．已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（

）A． B． C．3 D．3．若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点0,2，，则该椭圆的标准方程为（

）A．B．C．D．4．正四棱柱中，，E，F，G分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．6．已知直线与相交于点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．7．三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．8．设双曲线的右焦点为F，双曲线C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则双曲线C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）9．已知直线：与圆：相交于，两点，则（

）A．圆心的坐标为B．圆的半径为C．圆心到直线的距离为2D．10．已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．椭圆离心率为 B．C．若，则的面积为9 D．最小值为11．已知正方体棱长为1，下列结论正确的是（

）A．直线与所成角为B．直线到平面的距离是C．点到直线的距离为D．平面与平面所成角的余弦值为三、填空题（本大题共3小题，共15分）12．若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则．13．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为．14．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论：①当点是中点时，直线平面；②直线到平面的距离是；③存在点，使得；④面积的最小值是.其中所有正确结论的序号是.四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．(本题13分)已知圆.(1)若直线与圆相交，求实数的取值范围；(2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和.①求四边形面积的最小值；②当点横坐标为4时，求直线的方程.16．(本题15分)在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是.(1)求动点的轨迹方程；(2)若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为，求线段的长.17．(本题15分)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．(1)求证：平面；(2)求直线平面夹角的正弦值；(3)求点到平面的距离．18．(本题17分)如图，在三棱锥中，分别为的中点，.(1)证明：：(2)求平面和平面夹角的正弦值；(3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由.19．(本题17分)已知圆和定点为圆上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线PC交于点，设点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若是曲线上的一点，过的直线与直线分别交于S，T两点，且为线段ST的中点．①求证：直线l与曲线有且只有一个公共点；②求的最小值（为坐标原点）．答案：题号12345678910答案ACBDDAAAACDBCD题号11答案BCD1．A【分析】根据直线平行列式求解，并代入检验即可.【详解】由题意可得：，解得，若，则直线、，两直线平行，综上所述.故选：A.2．C【分析】利用斜率坐标公式计算得解.【详解】由直线l经过点，，得直线l的斜率.故选：C3．B【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.【详解】由题意得椭圆焦点在x轴上且经过点0,2，所以，，，椭圆的标准方程为．故选：B．4．D【分析】建立空间直角坐标系，设，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式求出答案.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，故，故直线与所成角的余弦值为.故选：D5．D【分析】根据点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，利用勾股定理可表示出弦长，代入面积公式，结合二次函数求最值即可求解.【详解】圆心到直线的距离，，又，所以，即.故选：D.6．A【分析】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离．【详解】由得，即，所以点到直线的距离为，故选：A．7．A【分析】根据题意，得证为等腰三角形，于是建立如图所示空间直角坐标系，，根据与直线AC与BD所成角为建立方程，求得，然后找出外接球球心，根据相关数量关系，建立外接球半径的等式关系，求出半径，应用球的表面积公式即可得解【详解】由题意可得，因为为等边三角形，所以，又，且所以，所以,取的中点，易得,又所以平面，又平面，所以平面平面，建立如图所示空间直角坐标系，则，，D0,1,0，令，所以，因为，所以，所以，所以，因为直线AC与BD所成角为，所以，解得，即，如图，为外接球的球心，为等边三角形的重心，设点A在平面内的投影为，作，所以,所以在中，,,所以在中，，解得，所以，三棱锥外接球表面积为，故选：A方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体求解；3.正方体的内切球的直径为正方体的棱长．4.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．5.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解．8．A【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解.【详解】如图所示：设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形，又，则，所以平行四边形为矩形，故，设，，则，在中，，，所以，则，所以，令，得，又由，得，因为对勾函数在上单调递增，所以，所以，即，则，故，所以，所以椭圆离心率的取值范围是.故选：A.关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解.9．ACD【分析】化圆的方程为标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D.【详解】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误；对于C，点到直线：的距离，C正确；对于D，，D正确.故选：ACD10．BCD【分析】由椭圆方程得到的值，根据离心率的公式可判断A，根据椭圆的定义可判断B，根据勾股定理和椭圆的定义可得到，从而由三角形面积公式可判断C，由基本不等式可判断D．【详解】由椭圆方程可知，，所以椭圆的离心率，故A错误；由椭圆定义知，故B正确；又，因为，所以，∴，解得，所以的面积为，故C正确；∵，∴，当且仅当时取等号，∴最小值为，故D正确．故选：BCD．11．BCD【分析】由线面垂直得证线线垂直，判断A，由直角三角形求点线距判断C，建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面距判断B，结合正方体的性质得平面的法向量，由法向量夹角求二面角判断D．【详解】平面，平面，所以，A错；以为原点，分别以为轴建立直角坐标系，如图，则，，，，，，设平面的一个法向量是，则，取，得，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，即为，B正确；是直角三角形，，因此到直线的距离等于，C正确；由正方体的性质，可得平面，平面，，，，，所以平面与平面所成角的余弦值为，D正确．故选：BCD．12．【分析】直接由斜率公式结合双曲线方程即可求解.【详解】由题意设，当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则.故答案为.13．【分析】首先设出点的坐标，然后列出等式，最后化简所得的等式可得轨迹方程.【详解】由题意可设点，由，，，得，化简得，即.故答案为.14．①②③【分析】对①：由线面平行的判定定理进行判断即可；对②：把直线到平面的距离转化为点到平面的距离，利用等体积法求解即可；对③和④：都属动点问题，把几何问题转化为空间向量的问题，对于③，只需证明有解即可；对于④，只需求出点到直线距离的最小值即可.【详解】对①，如图所示:因为是中点，，所以点是的中点，连接，显然也是的交点，连接，所以，而平面，平面，所以直线平面，故①正确；以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，对②，，分别是棱，的中点，所以，平面，平，故平面，故直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为，，，，，，由得，故②正确；对③，设，，，则，，由，得，得，由，故存在点，使得，故③正确；对④，由③得到的投影为，故到的距离，面积为，，由二次函数性质，当时，取得最小值为，④错．故①②③15．(1)(2)①；②【分析】（1）利用距离公式即可得到答案.（2）①利用面积的公式即可求出最小值；②利用切点弦方程的公式即可得到答案.【详解】（1）命题等价于到直线的距离小于，即，解得的取值范围是.（2）①易知，所以，等号对成立，故最小值是；②因为，所以四点共圆，圆心为的中点，因为，所以圆的半径为，方程为，即，直线AB为两圆公共弦所在直线方程，两圆方程相减整理得直线AB的方程为.16．(1)(2)【分析】（1）设，根据题意建立等式求解即可；（2）先利用点差法求得，然后联立方程组求弦长即可.【详解】（1）设得（2）设Ax1,所以有得由题可知两式求差化简得即因为所以所以直线的方程为联立解得或所以17．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明；（2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线平面夹角的正弦值；（3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案.【详解】（1）因为底面为正方形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，设平面的法向量为m=x,y,z则，令，则，则，

直线平面夹角的正弦值为；（3）由（2）知，平面的法向量为，点到平面的距离为.18．(1)证明见解析(2)(3)存在，【分析】（1）根据题设中的边的关系可证明，再结合线面垂直的判定和性质可得；（2）结合（1）中结果可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面法向量后可求夹角的正弦值；（2）设，利用点到平面的距离公式可求的值.【详解】（1）因为为中点，故，而，故，而，平面，故平面，而平面，故.（2）因为，结合（1）中可得，而，故，故，结合（1）中及可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，故平面的法向量为，设平面的法向量为m=x,y,z，而，则即，取，则，故，而，故.（3）设，其中，由（2）可得平面的法向量为，故到平面的距离为，由题设有，故，故.19．(1)(2)①证明见解析；②【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，即可得到，结合双曲线的定义计算可得；（2）（i）设，不妨令，，即可得到，从而表示出直线的方程，再联立直线与双曲线方程，消元、由，即可证明；（ii）由（i）求出，，再计算可得为定值，即可结合基本不等式求解.【详解】（1）为PA的垂直平分线上一点，则，则，点的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，且，故点的轨迹方程为；（2）（i）设，直线是双曲线的渐近线，如图所示：则：①．②，①+②得，