2024-2025学年广西南宁市高二上学期第三次月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年广西南宁市高二上学期第三次月考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．设，则在复平面内对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在等比数列中，若，，，则公比等于（）A． B． C． D．或3．设非零向量，满足，则A．⊥ B．C．∥ D．4．等差数列中，已知，则该数列的前9项和为（

）A．54 B．63 C．66 D．725．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则6．为弘扬新时代的中国女排精神，甲、乙两个女排校队举行一场友谊赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局即获胜，比赛随即结束），若甲队以赢得比赛，则甲队输掉的两局恰好相邻的概率是（）A． B． C． D．7．直线被圆截得的弦长为，则（）A． B． C． D．8．设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个公共点，.记椭圆与双曲线的离心率分别为与，则点到中心距离的最小值为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设是等比数列，与分别是它们的前项的和与积，则下列说法正确的有（）A．是等比数列B．若，其中，，则C．若，，则有最大值D．若，，则是等比数列10．对于，下列正确的有（）A．若，则关于直线对称B．若，则关于点中心对称C．若在上有且仅有4个根，则D．若在上单调，则11．已知抛物线，过点的直线依次交抛物线于，两点，为抛物线的焦点，记，，，（为轴），直线的斜率为，则下列说法正确的是（）A．恒成立 B．若与抛物线相切，则C．时， D．存在直线，使得三、填空题（本大题共3小题）12．若是奇函数，则.13．若数列对任意正整数，有（其中，为常数，且），则称数列是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前3项为1，1，2，周期为3，周期公比为2，则数列的前13项和为.14．长方体中，，.点，分别是，的中点，记面为，直线，则直线与所成角的余弦值为.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长.16．如图，四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.(1)求证：；(2)求二面角的正弦值；(3)点在上，且.判断，，，四点是否共面，说明理由.17．某校杰出校友为回报母校，设立了教育基金，有A和B两种方案.方案A是在每年校庆日这天向基金账户存入100万元.当天举办仪式奖励优秀的教师和品学兼优的学生共计40万元，剩余资金用于投资，预计可实现10%的年收益.方案B是今年校庆日一次性给基金账户存入1000万元，校庆日奖励为第一年奖40万，每年增加10万，余下资金同样进行年化10%收益的投资.设表示第年校庆后基金账户上的资金数（万元）.(1)对于A、B两种方案，分别写出，及与的递推关系；(2)按两种方案基金连续运作10年后，求基金账户上资金数额.（精确到万，参考数据：，）18．已知数列满足，，设.(1)写出，，并证明是一个等比数列：(2)求数列的通项公式；(3)是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.19．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为和，焦距为2.动点在椭圆(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，过原点作的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线的斜率分别记为.当点在椭圆上运动时，①证明：恒为定值，并求出这个值；②求四边形面积的最大值.

答案1．【正确答案】A【详解】因，则，其在复平面内对应的点为，在第一象限.故选：A2．【正确答案】C【详解】数列是等比数列，故选：C.3．【正确答案】A【详解】由平方得，即，则，故选A.本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.4．【正确答案】A【详解】由等差数列的性质可知，有，故前9项的和为.故选：A.5．【正确答案】D利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.【详解】解：选项A中直线，还可能相交或异面，选项B中，还可能异面，选项C，由条件可得或．故选：D.本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.6．【正确答案】C【详解】若甲队以3:2赢得比赛,则五局的比赛的结果为:甲甲乙乙甲，（表示第一局甲胜，第二局甲胜,第三局乙胜,第四局乙胜,第五局甲胜,以下类同）甲乙甲乙甲，甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，乙乙甲甲甲，共6种结果，其中甲队输掉的两局恰好相邻的结果有3种,甲队输掉的两局恰好相邻的概率是.故选:C.7．【正确答案】D【详解】由题可得圆圆心为，半径为2，设到距离为d，因直线被圆所截弦长为，则，则.故选：D8．【正确答案】A【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，焦距为2c,根据焦点三角形的面积公式可得即，又，，，，即，因为点到中心距离为，又因为，当且仅当且

，即，时等号成立，所以.故选：A.9．【正确答案】BCD【详解】对于选项A，当时，数列是常数列，不满足等比数列的定义，故A错；对于选项B，，所以，故B正确；对于选项C，，由于有最小值，且，所以有最大值，故有最大值，故C正确；对于D，由C可知，所以，因为（常数），所以数列是等比数列，故D正确.故选：BCD.10．【正确答案】ACD【详解】对于AB，若，则，令，得，，所以关于直线对称，故A正确；令，得，，所以关于，中心对称，故B错误；对于CD，当时，，若在上有且仅有4个根，所以，解得，故C正确；若在上单调，则，解得，故D正确；故选：ACD.11．【正确答案】ABD【详解】显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，而，由消去得，，对于B，由，解得，则，即与抛物线相切时，，B正确；当时，，设，则，直线的斜率分别为

对于A，，A正确；对于C，，解得，则，C错误；对于D，，，则，若，则，解得，即存在直线，使得，D正确.故选：ABD12．【正确答案】1【详解】定义域为，又是奇函数，所以，解得；当时，，，故是奇函数.故1.13．【正确答案】【详解】由题意得数列的前13项和为，故答案为.14．【正确答案】【详解】延长EF，交于G点，因，则G，又，则，则与交点为P.连接BP，因，则直线与所成角等于（该角为锐角）.因点，分别是，的中点，则.又，则.又由题可得，则.则.故15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以,即,即,因为，所以.（2）.所以，从而，所以，因为外接圆半径为，所以外接圆直径为，由正弦定理得，所以因为的角平分线为，所以，所以在中，由正弦定理得，即，解得16．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)共面，理由见解析【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）过作AD的垂线交于点，因为平面，所以，如图建立空间直角坐标系，则,，因为为的中点，所以，所以,，所以，设平面的法向量为n=x,y,z则即，令,则，于是，又因为平面的法向量为，所以，由题知，二面角为锐二面角，所以其余弦值为.（3），，，四点共面，理由如下：因为点在上，且，，所以，由（2）知平面的法向量，所以，又因为点平面，所以直线在平面内，所以，，，四点共面.17．【正确答案】(1)方案A：；方案B.(2)方案A：万元；方案B：万元.【详解】（1）方案A：，，由题意得，.方案B：，，由题意得，第年发放的奖金为，故.（2）方案A：∵，∴设，即，故，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴，解得.方案B：∵，∴设，即，由得，，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴，解得.综上，按方案A连续运作10年后，基金账户上资金数额约为万元；按方案B连续运作10年后，基金账户上资金数额约为万元.18．【正确答案】(1)，证明见解析；(2)，；(3)不存在，理由见解析.【详解】（1）由题.注意到，因为奇数，则，因为偶数，则，则为以为首项，公比为2的等比数列；（2）由（1）可知，当为奇数时，，故当为偶数时，，综上，，；（3）由（2），，，.若，，成等比数列，则等式