2024−2025学年广东省深圳市高二上学期期中考试数学检测试题（含解析）

2024−2025学年广东省深圳市高二上学期期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．“”是“直线和直线平行”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为（）A. B. C. D.4．已知椭圆：的离心率为，则（

）A． B．或 C．8或2 D．85．经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（

）A．8 B．9 C．10 D．206．已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（

）A． B． C．2 D．17．已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．以下四个命题中正确是（）A．若空间向量、满足，则与夹角为锐角B．若空间向量，，则在上的投影向量为C．点为平面上一点，为平面外一点，且，则D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底10．已知空间向量，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．11．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．椭圆离心率为B．C．若，则的面积为D．最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程是.13．求圆上的动点到直线距离的最大值．14．已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为四、解答题（本大题共5小题）15．已知点和直线.(1)求过点且与直线垂直的直线的一般方程；(2)求与直线平行且与之间的距离为的直线的一般方程.16．已知圆C：，点，点．(1)过点P作圆C的切线l，求出l的方程；(2)设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程．17．如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；18．如图，在四棱锥中，，，，点为棱上一点．

(1)证明：；(2)当二面角的余弦值为时，求．19．已知圆过，，三点．(1)求圆的方程；(2)求圆与圆：的公共弦长；(3)已知，P为圆上任意一点，在y轴上是否存在定点N（异于点M），使得为定值？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案1．【正确答案】A【详解】因为直线过，两点，可得，又因为，所以，可得，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，所以直线的倾斜角为.故选：A.2．【正确答案】A【详解】当时，直线即3x＋2y＋6＝0，直线即，可知两直线的斜率相等，且在y轴上的截距不等，此时，两直线平行；反过来，当直线与直线平行时，能得出或．综上所述，选A．3．【正确答案】C【详解】由题设可知，椭圆C的焦点为，椭圆C上任意一点到两个焦点的距离之和为，故椭圆C的标准方程为.4．【正确答案】C【详解】椭圆：的离心率为，当椭圆焦点在轴上时，，解得，当椭圆焦点在轴上时，，解得.故选：C.5．【正确答案】D【详解】为椭圆的两个焦点，，的周长为．故选：D．6．【正确答案】C【详解】由圆，圆，两式相减得相交弦所在直线方程.由圆可得圆，所以圆心、半径.所以圆心到直线的距离，所以相交弦长为.故选：C7．【正确答案】B【详解】，故在为直径的圆上，即，圆在椭圆内部，故，，故.故选：B.8．【正确答案】C【详解】椭圆中，.

如图，由得，∴，∴当取最小值时，最小.由题意得，点A为椭圆右焦点，当点为椭圆的右顶点时，，∴.故选：C.9．【正确答案】BC【详解】对于A选项，若空间向量、满足，则与夹角为锐角或，A错；对于B选项，若空间向量，，则在上的投影向量为，B对；对于C选项，因为点为平面上一点，为平面外一点，则、、共面，设，其中、，则，所以，，又因为，则，即，解得，C对；对于D选项，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底，但不共线的三个向量可能共面，D错.故选：BC.10．【正确答案】ABD【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D.【详解】对于A，，，故A正确；对于B，，设，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选ABD.11．【正确答案】BCD【详解】由椭圆方程可知，，，，所以椭圆的离心率，故A错误；由椭圆定义知，故B正确；又，因为，所以，，解得：，所以的面积为，故C正确；因为，即，设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以，所以，故D正确.故选：BCD.12．【正确答案】和；【详解】若直线经过原点，则设直线方程为，将代入可得，若直线不经过原点，设直线方程为，将代入可得，所以直线方程为，即，故和；13．【正确答案】【详解】圆可化为，其圆心为，半径为1，圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线距离的最大值为.故答案为.14．【正确答案】【详解】由可得，整理可得，所以，曲线表示圆在轴的上半部分，当直线与圆相切时，，结合图形可知，，则，当直线过原点时，，结合图形可知，当时，直线与曲线有两个不同的交点.因此，实数的取值范围是.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线的斜率为，故所求方程为，即；（2）设与直线平行的直线方程为，则，即，解得或，所以所求直线的方程为或.16．【正确答案】(1)或；(2)．【详解】（1）由C：，则圆心，半径，当切线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意；当切线l的斜率存在时,则设切线l的方程为，即，所以，解得，此时切线l的方程为，即.综上所述，切线l的方程为或.（2）设，，因为，，G为三角形APQ的重心，所以，即，由A为圆C上的动点，得，则，整理得，即动点G的轨迹方程为．17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）中，，即，满足，故，平面，平面，故，又，平面，故平面；（2）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，

，，，，，，平面，故平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，，则，取得到，平面与平面夹角的平面角为锐角，故余弦值为.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）因为，所以，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以．（2）因为，所以，则．由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．可知，设，则，设平面的一个法向量n1=则即令，解得，，故，

设平面的一个法向量为，由，得令，解得，故，所以，即，整理，得，解得或（舍去）．故．19．【正确答案】(1)(2)(3)存在定点【详解】（1）设圆方程为，因为圆过，，三点，则，解得：,所以圆方程为.（2）圆方程化为一般方程为：，联立圆