2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第二次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第二次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（

）A． B．C． D．2．设，向量，且，则（

）A． B． C．2 D．83．如图，已知空间四边形，其对角线分别是对边的中点，点在线段上，且，现用向量表示向量，设，则（

）A． B．1 C． D．4．圆与的公共弦长为（

）A． B． C． D．5．已知直线和平面，则下列命题正确的是（

）A．平面内不一定存在和直线垂直的直线B．若，则C．若异面且，则D．若，则直线可能两两相交且不过同一点6．一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（

）A．或 B．或 C．或 D．或7．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（

）A．2 B． C． D．48．已知双曲线的左､右焦点分别为、过向一条渐近线作垂线，垂足为.若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．过，两点的直线方程为B．已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为10．给出下列命题，其中正确的命题是（

）A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线B．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D．已知向量，，则在上的投影向量为11．已知抛物线的准线l与圆相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（

）A．点F的坐标为B．的最小值为C．存在两个P点，使得D．若为正三角形，则圆M与直线PQ相交三、填空题（本大题共3小题）12．已知椭圆的标准方程为()，并且焦距为6，则实数的值为____________．13．已知直线l与双曲线交于A，B两点，且弦AB的中点为，则直线l的方程为．14．已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆过点A.(1)求圆的标准方程；(2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程.16．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱的中点.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.17．已知双曲线与圆相切，且的渐近线方程为.(1)求的方程；(2)若的右顶点为，过的右焦点的直线交于两点，且，求.18．如图，三棱柱中，侧面底面，△是边长为的正三角形，，与平面所成角为45°．（1）证明：平面；（2）若点为中点，点为棱上一点，且满足，是否存在使得平面与平面夹角余弦为，若存在求出值，存不存在请说明理由．19．由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆与椭圆相似．(1)求椭圆的离心率；(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设P为上异于其左、右顶点的一点．当时，过P分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值；

答案1．【正确答案】C【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率.又直线在轴上的截距是3，由斜截式方程得.故选：C.2．【正确答案】B【详解】因为，所以，解得，由可知，，解得，所以，故选：B3．【正确答案】A【详解】由题设，结合，得，所以.故选：A4．【正确答案】D【详解】已知圆，圆，两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，而圆心到直线的距离为，圆的半径为，所以，所以.故选：D.5．【正确答案】C【详解】对于A，我们要讨论平面和直线的关系，当时，平面内一定存在和直线垂直的直线，当直线时，在平面内有无数条直线与直线是异面垂直直线；当直线平面时，在平面内有无数条平行直线与直线相交且垂直；当直线与平交但不垂直时，在平面内有无数条平行直线与直线垂直，故平面内一定存在和直线垂直的直线，故A错误；对于B，当时，一定有或相交，故B错误；对于C，如图，因为，过直线，一定存在平面，使得，，所以，而，，故，因为异面，所以一定相交，而，，故成立，故C正确；对于D，如图，

，，，.∵直线和不平行，相交.设，则，.又.三条直线相交于同一点，故D错误，故选：C6．【正确答案】B【详解】解：设点关于直线的对称点为，则，解得，即，易知切线的斜率存在，设直线方程为：，即，则圆心到切线的距离等于半径，即，整理得：，解得或，故选：B7．【正确答案】B【详解】因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，，截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M，故O也在截面上，根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上，建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴，设抛物线与底面交点为E，则，设抛物线为，则，解得，即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为.故选：B.8．【正确答案】D【详解】如图，因为，不妨设渐近线方程为，即，设点在第一象限，所以，所以.设，则，所以，又，，所以，所以，所以，所以，因为F1−c,0，所以所以，解得，所以双曲线的方程为，故选：D.9．【正确答案】BC【详解】对于A：当，时，过x1,y1，x2对于B：如图所示，由点，，过点的直线与线段有公共点，直线的斜率或，的斜率，的斜率，直线的斜率或，即，所以B选项正确；对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：，，直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C选项正确；对于D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以D选项不正确；故选：BC.10．【正确答案】BCD【分析】利用线面位置关系与向量的关系可判断A选项；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；利用空间向量基底的概念可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，直线的方向向量为，平面的法向量为，则，则，所以，或，A错误；对于B选项，对空间中任意一点，有，则，整理可得，故、、、四点共面，B正确；对于C选项，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，C正确；对于D选项，已知向量，，则在方向上的投影向量为，D正确.故选BCD.11．【正确答案】ACD【分析】对A，准线与圆相切，可知，即可确定焦点为F坐标，即可判断选项；对B，转化为，根据将军饮马理论可判断选项；对C，若，则，做中垂线，解出方程，与抛物线联立，解得个数，即可判断几个交点；对D，根据为正三角形，可得解得纵坐标，和圆与轴交点比较，即可判断.【详解】对A，准线与圆相切，可知，可得，所以，故A正确；对B，根据可得，可确定最小值为，故B错误；

对C，若，则，做中垂线，根据题意知，设为中点，则可得，直线斜率为，根据点斜式可确定为，与抛物线联立得，，所以可知有两个解，所以存在两个P点，使得，故C正确；对D，根据为正三角形，所以，则，且，所以可得，和圆与轴交点为，，所以可知圆M与直线PQ相交，故D正确.

故选ACD.【思路导引】合理利用抛物线上点到焦点距离和到准线距离相等.12．【正确答案】4或【详解】因为2c＝6，所以c＝3，（1）当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知，解得（2）当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知，解得综上，解得或．故或13．【正确答案】【详解】设Ax1,则，，又由，，两式相减，得，即，整理得，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，化简得，经检验满足题意.故答案为.14．【正确答案】【详解】因为正三棱柱的底边长为，如图，设内切圆的半径为，所以，得到，又正三棱柱的高为2，所以棱柱的内切球的半径为，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心，又是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面有两个切点为，则，又点是正三棱柱表面上的动点，当与（或）重合时，的值最小，此时，由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大，连接，并延长交于，则，此时，得到.故15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由，解得，则圆心为，圆的标准方程为（2）设.由，可得，则，又点在圆上，所以，即，化简得，点的轨迹方程为.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，则，设平面的法向量为，则，取，则，由于，故，又平面，故平面（2）由（1）知平面的法向量，又，设直线与平面所成角为，则；（3）由于，平面的法向量，点到平面的距离17．【正确答案】(1)(2)6【详解】（1）根据题意：，.所以双曲线的标准方程为.（2）如图：双曲线右焦点的坐标为2,0，设直线：，代入，得：，整理得：，（）设Ax1,则，.由，所以.此时：，.所以，所以.18．【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，或【详解】（1）取中点，连结，∵△为正三角形，∴，∵侧面底面,平面，平面平面，∴面，∵与平面所成角为45°，∴即为与平面所成角，即°，∵∴，∴即，∵侧面底面，平面，平面平面，∴平面.（2）由（1）可得、且，连接DE，则由题，所以，，所以两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，设，则，，∴，，,，设平面法向量，平面法向量，则，即，令，解得，即，，即，令，解得，即，∴，即，解得或，∴存在或使得平面与平面夹角余弦为.1