2024-2025学年甘肃省天水市武山县高三上学期12月月考数学检测试题（含答案）

2024-2025学年甘肃省天水市武山县高三上学期12月月考数学检测试题第I卷（非选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．若双曲线的一个焦点为，则()。A、B、C、D、2．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为()。A、B、C、D、3．在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y（单位：百元）与当天的平均气温x（单位：℃）之间有如下数据：x/℃2022242123y/百元13623若y与x具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程必过的点为（）A．（22，3） B．（22，5） C．（24，3） D．（24，5）4．已知函数，设，，，则（）A． B． C． D．5．对于函数，有以下四种说法：①函数的最小值是②图象的对称轴是直线③图象的对称中心为④函数在区间上单调递增．其中正确的说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且是等差数列，则下列结论错误的是（）A．是等差数列 B．是等比数列C．是等差数列 D．是等比数列7．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()。A、B、C、D、8．如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且。当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为()。A、B、C、D、二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．给出下列命题，其中正确的有()。A、空间任意三个向量都可以作为一组基底B、已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底C、、、、是空间四点，若、、不能构空间的一组基底，则、、、共面D、已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间的一组基底10．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）A．B．函数在上递增，在上递减C．函数的极值点为，D．函数的极大值为11．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为()。A、B、C、D、第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分.12．设函数，则使得成立的的取值范围是__________．13．过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则。14．已知是，的等差中项，是，的等比中项，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知为等差数列，为等比数列，，，.（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.（本小题满分15分）已知函数，.（Ⅰ）函数，分析在上的单调性.（Ⅱ）若函数.当时，求的最小值；17．（本小题满分15分）椭圆：()的长轴长等于圆：的直径，且的离心率等于。直线和是过点且互相垂直的两条直线，交于、两点，交于、两点。(1)求的标准方程；(2)当四边形的面积为时，求直线的斜率()。18.（本小题满分17分）已知圆与抛物线在轴下方的交点为，与抛物线的准线在轴上方的交点为，且点，关于直线对称．（1）求抛物线的方程；（2）若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标．（本小题满分17分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次＞400空气质量好空气质量不好附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.8282024-2025学年甘肃省天水市武山县高三上学期12月月考数学检测试题第I卷（非选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．若双曲线的一个焦点为，则()。A、B、C、D、【正确答案】B2．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为()。A、B、C、D、【正确答案】C3．在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y（单位：百元）与当天的平均气温x（单位：℃）之间有如下数据：x/℃2022242123y/百元13623若y与x具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程必过的点为（）A．（22，3） B．（22，5） C．（24，3） D．（24，5）【正确答案】A．4．已知函数，设，，，则（）A． B． C． D．【正确答案】D5．对于函数，有以下四种说法：①函数的最小值是②图象的对称轴是直线③图象的对称中心为④函数在区间上单调递增．其中正确的说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【正确答案】A6．已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且是等差数列，则下列结论错误的是（）A．是等差数列 B．是等比数列C．是等差数列 D．是等比数列【正确答案】B7．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()。A、B、C、D、【正确答案】D8．如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且。当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为()。A、B、C、D、【正确答案】B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．给出下列命题，其中正确的有()。A、空间任意三个向量都可以作为一组基底B、已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底C、、、、是空间四点，若、、不能构空间的一组基底，则、、、共面D、已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间的一组基底【正确答案】BCD10．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）A．B．函数在上递增，在上递减C．函数的极值点为，D．函数的极大值为【正确答案】ABD11．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为()。A、B、C、D、【正确答案】AC第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分.12．设函数，则使得成立的的取值范围是__________．【正确答案】13．过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则。【正确答案】14．已知是，的等差中项，是，的等比中项，则______.【正确答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知为等差数列，为等比数列，，，.（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.【正确答案】（1），；（2）.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，则，可得，所以，因为，，所以，整理得，解得，所以；（2）设数列的前项和中奇数项的和为，偶数项的和为，当为奇数时，，当为偶数时，，对任意的正整数，，，①，由①得，②，①②得，化简得.因此，数列的前项和为.（本小题满分15分）已知函数，.（Ⅰ）函数，分析在上的单调性.（Ⅱ）若函数.当时，求的最小值；【正确答案】（Ⅰ）在上单调递减；（Ⅱ）（i）；【详解】（Ⅰ），则，当时，，所以，所以在上单调递减.（Ⅱ），则.（i），当时，，，所以，在上单调递增，所以的最小值为.17．（本小题满分15分）椭圆：()的长轴长等于圆：的直径，且的离心率等于。直线和是过点且互相垂直的两条直线，交于、两点，交于、两点。(1)求的标准方程；(2)当四边形的面积为时，求直线的斜率()。(1)由题意得，∴，∵，∴，∴，2分∴椭圆的标准方程为；3分(2)直线：，则直线：，由，5分得，恒成立，6分设、，则，，7分∴，8分∵圆心到直线：的距离，9分又，∴，10分∵，∴，11分由，解得或，由，得。12分18.（本小题满分17分）已知圆与抛物线在轴下方的交点为，与抛物线的准线在轴上方的交点为，且点，关于直线对称．（1）求抛物线的方程；（2）若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标．【正确答案】（1）；（2）证明见解析，定点坐标为．（1）解：将代入，得，所以，由点，关于直线对称，可得，将的坐标代入抛物线的方程得，解得，所以抛物线的方程为．（2）证明：由（1）得，设，，直线的方程为．将直线的方程代入得，所以，所以，．因为，所以，由题意可知，，所以．所以，即，所以，即，所以直线的方程为，直线过定点，定点坐标为．（本小题满分17分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次＞400空气质量好空气质量不好附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828