2024-2025学年福建省泉州市高二上学期期中数学检测试题（含解析）

2024-2025学年福建省泉州市高二上学期期中数学检测试题一、单选题1．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．若椭圆的离心率为，则的值为（

）A． B．2 C．或2 D．或3．设为实数，已知直线，若，则（

）A．6 B． C．6或 D．或34．已知空间向量，若向量共面，则实数的值为（

）A． B． C． D．5．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（

）A．5 B． C． D．6．若圆上恰好有两点到点的距离为3，则整数的取值个数共有（

）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个7．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（

）A．3 B．4 C．5 D．68．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为和，点为椭圆上的任意点，下列说法正确的有（

）A．B．的最大值为25C．的最小值为9D．若，则的面积为10．已知圆，直线过点，且交圆于两点，则下列结论正确的是（

）A．若圆关于直线对称，则B．的最小值为C．若的方程是，则圆上仅有3个点到直线的距离为3D．圆在两点处的切线的交点轨迹方程为11．如图，在矩形中，是的中点，将沿着直线翻折得到.记二面角的平面角为，当的值在区间0,π范围内变化时，下列说法正确的有（

）A．存在，使得B．存在，使得C．若四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为D．若直线与所成的角为，则三、填空题12．原点到动直线距离的最大值为.13．已知椭圆的右焦点关于直线对称的点在椭圆上，则椭圆的离心率为．14．若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是.四、解答题15．如图，在四棱锥中，平面，，，且．(1)求直线与直线所成角的大小；(2)求直线PD与平面PAC所成角的正弦值．16．已知圆.(1)若直线与圆相交，求实数的取值范围；(2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和.①求四边形面积的最小值；②当点横坐标为4时，求直线的方程.17．已知椭圆上的左焦点为，点为椭圆上一点.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.18．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是的中点，点在棱上，且.

(1)若平面平面，证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值.19．已知点为坐标原点，为椭圆上任一点，直线与椭圆相交于两点.(1)求点到点距离的最小值；(2)求面积的最大值；(3)当，直线斜率为1，且点在直线的上方时，的内心是否在定直线上？若是，求出该定直线，不是，请说明理由.答案：1．D【详解】由题意，直线，可得直线的斜率，即，又∵，所以，故选．2．D【详解】当，即焦点在轴上，则,故，解之可得，当，即焦点在轴上，，，解之可得，综上可得的值为或.故选：D3．A【详解】因为，所以，解得：或.当时，，平行；当时，，可判断此时重合，舍去.故选：A4．A【详解】显然不共线，故可设，即，从而，，，故.故选：A.5．C【详解】因为，所以，所以，即线段的长为.故选：C6．B【详解】命题等价于到的距离属于，即，从而.故的所有可能取值为，共个.故选：B.7．B【详解】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，令，得；令，得，则，所以的面积为，当时，有，当时，得，解得；当时，得，此方程无解，所以满足条件的直线有2条，故A错误；当时，有，当时，得，解得；当时，得，解得，所以满足条件的直线有3条，故B正确；当时，有，当时，得，解得；当时，得，解得，所以满足条件的直线有4条，故C错误；当时，有，当时，得，解得；当时，得，解得，所以满足条件的直线有4条，故D错误.故选：B.8．C【详解】依题意，，设椭圆的半焦距为，点，令的内切圆切的切点分别为，，联立解得，则，消去得：，所以椭圆的离心率.故选：C9．AB【详解】设Px,y，则，.对于A，有，，故A正确；对于B，有，且当时等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，有，故C错误；对于D，此时，所以.从而，故D错误.故选：AB.10．ABD【详解】由题意可得，圆心，半径，对于A，若圆关于直线对称，则直线过圆心，此时，故A正确；对于B，易知当时，PQ最小，且，此时，故B正确；对于C，若的方程是，则圆心到直线的距离，所以圆上仅有2个点到直线的距离为3，故C错误；

对于D，设Mx,y，，且，，则，，，，所以，化简可得①，，化简可得②，①②可得，且在圆上，满足，即，因此可得，故D正确；故选：ABD11．ACD【详解】A选项，连接，取的中点，的中点，连接，则，故即为二面角的平面角，即，当时，平面，因为平面，所以，因为矩形ABCD中，，，M是AD的中点，所以，故为等腰直角三角形，故，，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，存在，使得，A正确；B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，垂直于此平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，当时，，此时，，故，故不存在，使得，B错误；C选项，当时，平面，此时四棱锥的体积最大，此时，设平面的法向量为，则，解得，令，则，故，故点到平面的距离，C正确；D选项，，故，D正确.故选：ACD.12．【详解】设原点到直线的距离为，则.当时，.所以原点到直线的距离的最大值为2.故2.13．【详解】如图所示，点F关于直线的对称点为P，交于直线于点M，直线的斜率为，即△MOF是一个的直角三角形，因为原点O为FF'的中点，且M为FP的中点，所以OM为△PF'F的中位线，所以，△PF'F也是一个直角三角形，且，从而，又.可得，又因为|FF'|＝2c，所以|PF|2+|PF'|2＝|FF'|2，所以，故离心率为．故答案为14．【详解】设AB的中点为，一方面，有.所以.另一方面，有.所以，故，即.这就得到.当，时，代入即可验证满足条件，且.所以的最小值是.故答案为.15．(1)(2)【详解】（1）由于平面，平面，所以，由于，所以两两相互垂直.以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，设直线与直线所成角为，则，由于，所以.（2），，设平面的法向量为，则，故可设，设直线PD与平面PAC所成角为，则.16．(1)(2)①；②【详解】（1）命题等价于到直线的距离小于，即，解得的取值范围是.（2）①易知，所以，等号对成立，故最小值是；②因为，所以四点共圆，圆心为的中点，因为，所以圆的半径为，方程为，即，直线AB为两圆公共弦所在直线方程，两圆方程相减整理得直线AB的方程为.17．(1)(2)【详解】（1）设右焦点，则，得，又，故，故椭圆的方程为.（2）①当直线垂直于轴时，显然不符合题意；②当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为，则直线的方程为，设Ax1,y1,Bx联立方程则得，故直线的方程为，即.18．(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为四边形正方形，所以.因为平面平面，所以平面.又因为平面，平面平面，所以.因为平面平面，所以平面.（2）因为四边形是正方形，所以.又因为平面，所以平面.因为，所以平面，因为平面，所以，.由，得.所以.以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.点到平面的距离为，

点到平面的距离为.则，设，则，设平面的法向量为，则，取，可得.设平面的法向量为，则，取，可得.设平面与平面的夹角为，则令，则.当时，取得最小值，最小值为，所以的最大值为，此时，.故平面与平面的夹角的余弦值的最大值为.19．(1)(2)(3)是，【详解】（1）依题意可得得，故由于，故当时，，即求