浙江省金华市婺城区2023-2024学年九年级上学期数学期末试卷

浙江省金华市婺城区2023-2024学年九年级上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项.不选、多选、错选均不给分）1．在某次班级测验中，班级的平均分为90分，小明的成绩为87分，记作−3，若小亮的成绩记作+2，则小亮的成绩为（）A．2分 B．88分 C．90分 D．92分2．下列适合抽样调查的是（）A．了解当前全国流感的发病情况 B．了解本班学生的视力情况C．旅客上飞机前的安检 D．对组成人造卫星零部件的检查3．进入秋季以来，全国流感高发，其中就有甲流．已知甲流病毒的直径约为0.00000011米，用科学记数法表示0.00000011米A．−6 B．−7 C．6 D．74．有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A．正比例函数关系 B．一次函数关系C．二次函数关系 D．反比例函数关系5．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（）

A．3 B．33 C．6 D．6．在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50g．若OA=20cm，OB=40cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg，根据题意列方程得（）A．20x=40×50×3 B．40x=20×50×3C．3×20x=40×50 D．3×40x=20×507．若反比例函数y=1x图象上有两点A(x1，y1A．−1 B．0 C．1 D．28．如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（）.A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE9．如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中-组斜数列用字母a1、a2，a3，…代替，如图2A．9801 B．10000 C．10201 D．1050010．如图，半径为5的圆中有一个内接矩形ABCD，AB>BC，点M是ABC的中点，MN⊥AB于点A．10 B．522 C．702二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分.）11．分解因式：16﹣4x2=.12．某科幻小说上、下各1册，小明随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、下册”的概率是13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”.当AC=8，14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A(−23，0)和B(0，2)，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点15．抛物线的函数解析式为y=3(x-1)2+1，若将x轴向下平移1个单位长度，将y轴向左平移2个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为．16．魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理.已知四边形ABCD、四边形AHFE、四边形DGME均为正方形.（1）若AH=13，DE=12，则AB=；（2）若S△ABP：S△CEP三、解答题（本大题有8小题，共66分.）17．计算：(2023−π18．解不等式组：−2≤1−x19．同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证：BC=1法一：如图1，在上取一点D，使得BC=CD，连接CD．法二：如图2，延长到D，使得BC=CD，连接AD．你选择方法．证明：20．如图，在路边安装路灯，灯柱BC高10m，与灯杆AB的夹角ABC为60°.路灯采用锥形灯罩，照射范围DE长为9.8m，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为(参考数据：cos80（1）路灯A离地面的高度(即点A到地面CE的距离)；（2）灯杆AB的长度.21．某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．这30名学生第一次竞赛成绩b．这30名学生两次知识竞赛的获奖情况统计表参与奖优秀奖卓越奖第一次竞赛人数101010平均分828795第二次竞赛人数21216平均分848793和第二次竞赛成绩得分情况统计图：（规定：分数≥90，获卓越奖；85≤分数＜90，获优秀奖；分数＜85，获参与奖）c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：平均数中位数众数第一次竞赛m87.588第二次竞赛90n91根据以上信息，回答下列问题：（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；（2）直接写出m，n的值；（3）请判断第几次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，并说明理由．22．如图，有两个同心半圆AC和半圆BD，其中半圆BD固定不动，半圆AC绕圆心O沿顺时针方向转动一周，连接AB、CD，转动过程中，半圆BD与线段AC的交点记为点H，若AC=2BD=4.（1）求证：AB=CD；（2）在转动过程中，求△ABO面积的最大值；（3）当AB与半圆BD相切时，求弧DH的长.23．在平面直角坐标系xOy中，有抛物线y=ax（1）若点(2①求抛物线的对称轴；②若点(x1，（2）当a=−1时，有已知点A(b，24．请根据素材，完成任务．素材一如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，若保证∠ACB始终为直角，则点A、B、C在以AB为直径的圆上．素材二如图，在Rt△ABCC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，取AB的中点O，连接OC，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知OC=12AB素材三如图，矩形ABCD是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板EF，且EF∥AB，点E到墙AB的距离为4米，到地面BC的距离为5米．点O为室内光源，OM、ON为光线，∠MON=40°，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区BM+BN的和最大时，该实验室“可利用比”最高．任务一若素材一中的AB=4，求CD的最大值．任务二若素材二中的CD=6，求AB的最小值．任务三若任务二中的∠ACB=90°改成∠ACB=60°，其余条件不变，请直接写出AB的最小值．任务四若任务二中的∠ACB=90°，CD=6改成∠ACB=α，CD=m，请直接写出AB的最小值．任务五当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时BM+BN的值

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵班级的平均分为90分，小明的成绩为87分，记作-3，

∴低于平均分记为负，超过平均分记为正，

∵小亮的成绩记作+2，

∴小亮的成绩为90+2=92（分），故答案为：D.【分析】根据正负数表示具有相反意义的量，得低于平均分记为负，超过平均分记为正，即可得到答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：A：了解当前全国流感的发病情况，适合抽样调查，符合题意；B：了解本班学生的视力情况，适合全面调查，不符合题意；C：旅客上飞机前的安检，适合全面调查，不符合题意；D：对组成人造卫星零部件的检查，适合全面调查，不符合题意.故答案为：A.

【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，事关重大的调查往往选用普查．3．【答案】B【解析】【解答】解：∵0.00000011=1.1×10-7，

故答案为：B.【分析】利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的“0”的个数决定.4．【答案】B【解析】【解答】解：设水面高度为hcm，注水时间为t分钟，则由题意得：h=0.2t+10，所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故答案为：B．【分析】设水面高度为hcm，注水时间为t分钟，根据题意写出h与t的函数关系式，从而可得答案．5．【答案】D【解析】【解答】解：设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图），∵∠DAC=60°，∴∠BAC=120°.又∵AB、AC为圆O的切线，∴AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°，在Rt△AOB中，∵AB=3，∴tan∠BAO=OBAB∴OB=AB×tan∠60°=33，∴光盘的直径为63.故答案为：D.【分析】设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图），根据邻补角定义得∠BAC=120°，又由切线长定理AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°；在Rt△AOB中，根据正切定义得tan∠BAO=OBAB6．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意得：20x=40×50×3．故答案为：A．【分析】根据OA=20cm，OB=40cm，求解即可。7．【答案】B【解析】【解答】解：将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入y=1故答案为：B.【分析】先将点A、B的坐标代入反比例函数解析式中，得y1，y2的值，将8．【答案】D【解析】【解答】解：如下图：由勾股定理得：PC=PE=PB=32+12=10故答案为：D.

【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，关键是掌握三角形外心的性质．由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，即可判断．9．【答案】B【解析】【解答】解：a1a2a3a4…，an则a=2(1+2+3+⋅⋅⋅+99)+100=2×=9900+100=10000故答案为：B．

【分析】先求出规律an=1+2+3+⋅⋅⋅+n，所以10．【答案】A【解析】【解答】解：如图，连接AC，CM，BM，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∴AC是圆的直径，

∴∠AMC=90°，

∵该圆的半径为5，

∴AC=10，

∵点M是ABC的中点，

∴弧AM=弧CM，

∴AM=CM，

∴△AMC是等腰直角三角形，

∴∠ACM=45°，AM2+CM2=2AM2=AC2=100，

∴∠ACM=∠ABM=45°，AM2=50，

设AB为x，BC=y，且x＞y，

则x2+y2=102xy=30，

解得x=310y=10或x=10y=310(舍去)，

即AB=310，BC=10，

∵MN⊥AB，且∠ABM=45°，

∴△MNB是等腰直角三角形，

∴MN=BN，

∴AN=AB-BN=310-MN，

∵AN2+MN2=AM2，

∴310-MN2+MN2=50，11．【答案】4（2+x）（2﹣x）【解析】【解答】原式=4(4-x2)=4(2+x)(2-x)

【分析】观察多项式可知各项含有公因式4，括号内的因式符合平方差公式特征“a2-b2=(a+b)(a-b)”可求解.12．【答案】1【解析】【解答】解：画树状图如下，

共有2种等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、下册”的结果有1个，

∴从上到下的顺序恰好为“上册、下册”的概率是12【分析】由题意可知此事件是抽取放回，据此列树状图，可得到所有的可能的结果数及从上到下的顺序恰好为“上册、下册”的情况数，然后利用概率公式可求解.13．【答案】16【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=AC2+BC2=82+42=4故答案为：16.

【分析】本题考查了勾股定理，半圆面积的计算，正确得出阴影部分面积的计算方法是解题的关键．根据勾股定理求出AB的长，再分别求出以AC为直径的半圆的面积与以BC为直径的半圆的面积以及以AB为直径的半圆的面积与△ABC的面积，即可求解．14．【答案】−3【解析】【解答】解：过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，则CE=DO，CD=EO，∵A（-23，0），B（0，2），∴AO=23，OB=2，

∴AB=4，

∴tan∠BAO=OBOA=33，

∴∠BAO=30°，由折叠的性质可得，AC=AO=23，∠CAB=30°，

∴∠CAD=60°，

在Rt∆ACD中，∠ACD=30°，

∴AD=12AC=3，CD=3，

∴DO=AO-AD=23-3=3，OE=CD=3，

∵点C在第二象限，

∴C（-3，3），

∵点C在双曲线y=kx（k≠0）上，

∴k=-3×3=-33，

15．【答案】y=3【解析】【解答】解：∵若将x轴向下平移1个单位长度，将y轴向左平移2个单位长度，

∴相当于将抛物线在原直角坐标系上向上平移1个单位长度，向右平移两个单位长度，

∵抛物线的函数解析式为y=3x-12+1，

∴故答案为：y=3x-3【分析】根据题意得出抛物线在原直角坐标系中的平移情况，然后由二次函数平移的规律：上加下减常数项，左加右减自变量，即可得到答案.16．【答案】（1）5（2）3【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD、四边形AHFE、四边形DGME均为正方形，AH=13，DE=12，

∴AB=AD，AH=AE=13，∠ADE=90°，

∴在Rt△ADE中，由勾股定理可知：AD=AE2-D故答案为：5；

（2）设HQ⊥AN于点Q，

∴∠HQA=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥DE，AB=DC，∠ADC=90°，

∴△ABP∽△ECP，

∵S△ABP∶S△ECP=1∶9，

∴ABCE2=19，

∴ABCE=13，

设AB=1，则CE=3，DC=1，DE=DC+CE=4，

∵四边形AHFE正方形，

∴∠HAE=90°，AE=AH，

∵∠HAQ+∠EAQ=90°=∠HAQ+∠AHQ，

∴∠AHQ=∠EAQ，

在△ADE与△HQA中，

∵∠AHQ=∠EAQ，∠ADE=∠AQH=90°，AH=AE，

∴△ADE≌△HQA（AAS），

∴AQ=DE=4，HQ=AD=1，

∴DQ=AQ-AD=3，

设DN=x，则NQ=3-x，

∵∠EDN=∠HQN=90°，

∴DE∥HQ，

∴△DEN∽△QHN，

∴DEAQ=DNNQ，即41【分析】（1）由正方形的性质得AB=AD，AH=AE=13，∠ADE=90°，进而在Rt△ADE中，由勾股定理算出AD即可得出答案；

（2）设HQ⊥AN于点Q，则∠HQA=90°，由正方形性质得AB∥DE，AB=DC，∠ADC=90°，由平行于三角形一边得直线截其它两边得延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ABP∽△ECP，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出ABCE17．【答案】(2023−π=−1.【解析】【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根的绝对值，正确化简各数是解题关键．直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简，进而计算得出答案．18．【答案】解：原方程组变形得：1−x解不等式①得：x>−1，解不等式②得：x≤5，∴原不等式组的解集为：−1<x≤5．【解析】【分析】先将原方程组进行变形，然后根据解一元一次不等式组的解法进行求解即可.19．【答案】解：法一：如图，在AB上取一点D，使得BC=CD，连接CD，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BD，

∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°，

∴∠A=∠ACD，

∴AD=CD=BD=BC，∴BC=12AB；

法二：如图，延长BC到D，使BC=CD，连接AD，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠ACB=90°，

在△ACB和△ACD中，

AC=AC∠ACB=∠ACDBC=CD，

∴△ACB≅△ACDSAS，

∴AD=AB，

∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠B=60°，

∴△ADB是等边三角形，

∴BD=AB，

∵BC=CD=【解析】【分析】法一：先利用三角形内角和定理求出∠B=60°，从而证出△BCD是等边三角形，进而由等边三角形的性质得∠BDC=∠BCD=60°，CD=BD，然后求出∠ACD=∠A=30°，根据等腰三角形的判定，进行等量代换得AD=CD=BD=BC，即可得证结论；

法二：先求出∠ACD=∠ACB=90°，然后证出△ACB≅△ACDSAS，从而根据全等三角形对应边相等得AD=AB，利用三角形内角和定理得∠B=60°，于是得△ADB20．【答案】（1）解：过点A作AF⊥BC于点F，AH⊥CE于点在Rt△ADH中，∠ADE=80.∴DH=AH⋅tan在Rt△AHE中，∠AED=45∴HE=AH，∵DE=9.∴1解得：AH=8.答：路灯A离地面的高度约为8.4m；（2）∵BC⊥CE，∴四边形AFCH为矩形，∴FC=AH=8∵BC=10m∴BF=BC−FC=10−8在Rt△AFB中，∠ABF=60则AB=3.答：灯杆AB的长度为3.2m.【解析】【分析】（1）过点A作AF⊥BC于点F，AH⊥CE于点H，根据正确的定义用AH分别表示出DH、EH，根据题意列出方程，解方程求出AH；

（2）根据矩形的性质求出FC，进而求出BF，再根据余弦的定义计算，得到答案．

本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．21．【答案】（1）解：如图所示．（2）解：m=82×10+87×10+95×10∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98∴第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数，∴n=90+90∴m=88，n=90；（3）解：可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是：第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛．答：二，第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛．【解析】【分析】（1）根据第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中找到(89，91)的位置，圈出即可得到答案；

（2）根据平均数和中位数的定义即可得到答案；

（3）根据平均数、中位数以及众数进行判断，即可得到答案.22．【答案】（1）证明：∵两个半圆是同心圆，

∴OA=OC，OB=OD，

又∵∠AOB=∠COD，

∴△ABO≌△CDO（SAS），

∴AB=CD；（2）解：∵S△AOB=12BO×h，

∴∴当BO⊥AC时，点A到BD的距离最大为OA，如图，

此时面积最大为S△AOB=12BO×AO，

∵AC=2BD=4，

∴BD=2，

∴AO=12AC=2，BO=12BD=1，

∴S△AOB=12（3）解：当点B在AC上方时，

∵当AB与半圆BD相切，

∴∠ABO=90°，如图，

在Rt△AOB中，cos∠AOB=OBOA=12，

∴∠AOB=60°，

∴DH⌢=60×π×12180=π3

当点B在AC的左侧时，如图，

∵AB与半圆BD相切，

∴∠ABO=90°，

在Rt△AOB中，cos∠AOB=【解析】【分析】（1）由同圆的半径相等及对顶角相等可用SAS证明△AOB≌△COD，由全等三角形的对应边相等可得结论；

（2）由于S△AOB=12BO×h，只有当h最大时，面积最大，而h为点A到BO的距离，当BO⊥AC时，点A到BD的距离最大为OA，进而代入三角形面积计算公式计算可得答案；

（3）当AB与半圆BD相切时，分两种情形，①当点B在AC上方时，②23．【答案】（1）解：①∵点(2，3)在抛物线∴b=−2a，∴抛物线的对称轴为直线x=1；②∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴y=a+b+3=a−2a+3=3−a，∴抛物线顶点坐标为(1∵点(x∴当a>0时，3−a⩽−3，解得a⩾6；当a<0时，3−a⩾6，解得a⩽−3综上所述，a⩾6或a⩽−3.（2）当x=b时，y=−b∴点A在抛物线与x轴围成的图象的内部，∵当x=−b时，y=−b当b⩾0时，点A在第一象限内，∴点A在抛物线与x轴围成的图象的内部，∴线段AB只有和在x=b左侧的抛物线相交，∵抛物线与线段AB恰有一个公共点，∴−2∴b⩽−3或b⩾1∵b⩾0当b<0时，点A在第一象限内，∴点A在抛物线与x轴围成的图象的内部，∴线段AB只有和在x=b右侧的抛物线相交，∵抛物线与线段AB恰有一个公共点，∴−2∴b⩽−3或b⩾1∵b<0∴b⩽−3即满足条件的m的范围为b⩽−3或b⩾1.【解析】【分析】（1）①把（2，3）代入抛物线解析式：y=ax2+bx+3(a≠0)可得到：b=-2a，由抛物线的对称轴x=-b2a，得x=1；②先求出抛物线的顶点坐标（1，3-a），再进行讨论，当抛物线开口向上时，函数有最小值，即3-a≤-3，解得a≥6；当当抛物线开口向下时，函数有最大值，即3-a≥6，解得a≤-3.综上所述，a⩾6或a⩽−3；

（2）根据题意可知抛物线的开口向下，当x=b时，y=3，当x=-b时，y=-2b2+3，所以可知点A在抛物线与x轴围成的图像内部，线段AB只有和在在x=b的左侧的抛物线相交，且由抛物线与线段AB只有一个公共点可知分两种情况，当b≥0时，可知−2b2+3⩽4b−324．【答案】解：任务一，如图1，取AB的中点O，连接OC，∵AB=4，∠ACB=90°，

∴OC=12AB=2，

∴CD≤2，∴CD的最大值为2；任务二，∵∠ACB=90°，O是AB中点，

∴OC=12AB，

∵OC≥CD，

∴12AB≥CD，

∵∴AB的最小值为12；任务三，如图2，作△ABC的外接圆⊙O，作OE⊥AB于E，作直径AF，连接BF，∴∠ABF=90°，设⊙O的半径是R，∵∠ACB=60°，∴∠F=∠ACB=60°，∴AB=AF·sin∠F=3∵OE⊥AB，∴AE=EB，∴OE=1