2024-2025学年天津市河北区高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市河北区高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线3x+y=0的倾斜角为(

)A.π3 B.π6 C.5π62.空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，OM=23A.12a−23b+12c3.已知椭圆x2a2+y2b2A.12 B.23 C.34.过A(6,0)和B(0,−8)两点的面积最小的圆的标准方程为(

)A.(x−3)2+(y+4)2=10 B.(x+35.已知P(4,5)与Q(−2,7)关于直线l对称，则下列说法中错误的是(

)A.直线l过P，Q的中点 B.直线PQ的斜率为13

C.直线l的斜率为3 D.直线l的一个方向向量的坐标是6.已知过原点的直线l与圆C：(x−2)2+y2=1A.(−3,3) B.[−7.已知{a,b,c}是空间的一个基底，{a+b,a−b,A.(4,0,3) B.(3,1,3) C.(1,2,3) D.(2,1,3)8.从直线x−y+2=0上的点向圆x2+y2A.22 B.1 C.29.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，A.10

B.61

C.70

10.已知P是椭圆x216+y212=1上一动点，Q是圆(x+2)A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|=______．12.已知点A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5，则实数a的值为______．13.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=114.已知圆C1：x2+三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知椭圆C的焦点为F1(−2,0)，F2(2,0)，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，若|AF16.(本小题12分)

在△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(5,5)．

(Ⅰ)求点A到直线BC的距离；

(Ⅱ)求线段AC垂直平分线所在的直线方程；

(Ⅲ)求过点B且在x轴和y轴截距相等的直线的方程．17.(本小题12分)

已知直线l1：x+y−1=0与圆C：x2+y2−2ax−2y=0(a>0)交于A，B两点，且∠CAB=30°．

(Ⅰ)求实数a的值；

(Ⅱ)若点P为直线l18.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2,AD=1,PD⊥DA,PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M,N分别为AD,PD的中点．(1)求证：PA//平面MNC；(2)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；(3)求点B到平面MNC的距离．19.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，且AF1⋅AF2=0，动直线l与椭圆交于P，Q两点；当直线l过焦点且与x轴垂直时，|PQ|=2．

(1)求椭圆C的方程；

(2)参考答案1.D

2.B

3.C

4.C

5.B

6.B

7.B

8.B

9.D

10.B

11.5

12.−1或5813.314.x−y−2=0

215.x216.解：(Ⅰ)因为A(1,1)，B(4,2)，C(5,5)，

由题可知直线BC的斜率为kBC=2−54−5=3，

所以直线BC的方程为y−5=3(x−5)，即3x−y−10=0；

由点到直线距离公式可得点A到BC的距离d=|3−1−10|32+(−1)2=4105，

即点A到直线BC的距离为4105；

(Ⅱ)易知AC=(4,4)，且过AC的中点(3,3)，

可得该直线的点法式方程为4(x−3)+4(y−3)=0，

即x+y−6=0；

(Ⅲ)当在x轴和y轴截距都为0时，此时直线过B(4,2)，O(0,0)，

此时直线方程为x−2y=0；

当在x轴和y轴截距不为0时，因为直线在x，y轴的截距相等，

可得直线方程为x+y=a，将点B(4,2)代入可得17.解：(Ⅰ)将圆C：x2+y2−2ax−2y=0(a>0)可化为(x−a)2+(y−1)2=a2+1，

所以其圆心C(a,1)，半径r=a2+1，

作CD⊥AB于点D，

由垂径定理可得D为AB的中点，

由∠CAB=30°可得CD=12AC=12r，

又CD=|a|1+1=|a|2=a2+12，

解得a=1；

(Ⅱ)由(1)18.解：(1)证明：∵M，N分别为AD，PD的中点，∴PA//MN，又PA⊄平面MNC，MN⊂平面MNC，∴PA//平面MNC；(2)由已知可得DA，DC，DP两两垂直，

如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，因为AD=1，则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),M(1所以PB=(1,1,−2),设平面MNC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅MN设直线PB与平面MNC所成角为α，则sin α=|(3)由(2)，得BC=因为平面MNC的法向量n=(2,1,1)所以点B到平面MNC的距离d=n

19.解：(1)易知椭圆C的上顶点A(0,b)，左，右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，

所以AF1=(−c,−b)，A