5.4.2第二课时 正弦、余弦函数的单调性与最值课件-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二课时正弦、余弦函数的单调性与最值02题型突破·析典例⁠题型一利用三角函数的单调性比较大小【例1】

利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小:

(2)cos1与sin1;

(3)sin164°与cos110°.解

(3)sin164°＝sin(180°-16°)＝sin16°,cos110°＝cos(90°＋20°)＝-sin20°＝sin(-20°).因为y＝sinx在［-90°,90°］上单调递增,所以sin(-20°)＜sin16°,即cos110°＜sin164°.通性通法比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较;(2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先化为同名的三角函数,后面步骤同上.⁠1.下列关系式中正确的是(

)A.sin11°＜sin168°＜cos10°B.sin168°＜sin11°＜cos10°C.sin11°＜cos10°＜sin168°D.sin168°＜cos10°＜sin11°解析:A

因为sin168°＝sin12°,cos10°＝sin80°,所以只需比较sin11°,sin12°,sin80°的大小.因为y＝sinx在(0°,90°)上单调递增,所以sin11°＜sin12°＜sin80°,即sin11°＜sin168°＜cos10°.2.已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是(

)A.sinα＜sinβB.cosα＜sinβC.cosα＜cosβD.cosα＞cosβ

题型二求正弦、余弦型函数的单调区间

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通性通法求正弦、余弦型函数的单调区间的策略(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间;(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω＞0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx＋φ”看作一个整体“z”,即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω＞0)的函数的单调区间时,同上.⁠

题型三正弦、余弦型函数的值域及最值角度一:可转化为y＝Asinz＋b(或y＝Acosz＋b)的最值(值域)问题

通性通法

形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型函数,令z＝ωx＋φ,所求函数变为y＝Asinz＋b(或y＝Acosz＋b),可先由定义域求得z的范围,然后求得sinz(或cosz)的范围,最后求得值域(最值).但要注意对A正负的讨论.角度二:可转化为二次函数的最值(值域)问题【例4】

函数y＝cos2x＋2sinx-2,x∈R的值域为

⁠.

解析

因为y＝cos2x＋2sinx-2＝-sin2x＋2sinx-1＝-(sinx-1)2.又-1≤sinx≤1,所以-4≤y≤0,所以函数y＝cos2x＋2sinx-2,x∈R的值域为[-4,0].答案

[-4,0]⁠

通性通法

形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函数,可先设t＝sinx,将函数y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0),根据二次函数的单调性求值域(最值).⁠

答案:1

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A.单调递增B.单调递减C.先减后增D.先增后减

A.a＞c＞bB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.b＞c＞a

03知能演练·扣课标⁠1.下列命题中正确的是(

)A.y＝cosx在第一象限和第四象限内单调递减B.y＝sinx在第一象限和第三象限内单调递增C.y＝cosx在［-,］上单调递减D.y＝sinx在［-,］上单调递增

2.已知函数y＝sinx和y＝cosx在区间I上都单调递减,那么区间I可以是(

)A.B.C.D.解析:B

逐一验证所给的区间:对于A,函数y＝sinx在该区间上单调递增,函数y＝cosx在该区间上单调递减,A不合题意;对于B,函数y＝sinx在该区间上单调递减,函数y＝cosx在该区间上单调递减,B符合题意;对于C,函数y＝sinx在该区间上单调递减,函数y＝cosx在该区间上单调递增,C不合题意;对于D,函数y＝sinx在该区间上单调递增,函数y＝cosx在该区间上单调递增,D不合题意.故选B.

A.B.C.D.

4.函数y＝sin2x＋sinx-1的值域为(

)A.[-1,1]B.C.D.

5.(多选)对于函数f(x)＝sin2x,下列选项中正确的是(

)A.f(x)在上单调递减B.f(x)的图象关于原点对称C.f(x)的最小正周期为2πD.f(x)的最大值为2

6.(多选)下列各式正确的是(

)A.sin＜sinB.sin＜sinC.cos＞cosD.cos＞cosπ

7.若cosx＝m-1有意义,则m的取值范围是

⁠.

解析:因为-1≤cosx≤1,要使cosx＝m-1有意义,需有-1≤m-1≤1,所以0≤m≤2.答案:[0,2]8.函数y＝｜sinx｜＋sinx的值域为

⁠.

答案:[0,2]9.函数y＝cosx在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是

⁠.

解析:∵y＝cosx在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,∴只有当-π＜a≤0时,满足条件.故a的取值范围是(-π,0].答案:(-π,0]

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A.B.C.2πD.4π

A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.c＜b＜aD.c＜a＜b

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;

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A.该函数的值域是[-1,1]B.当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时,函数取得最大值1C.当且仅当x＝2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-1D.当且仅当2