2025人教版物理重难点-选择性必修一人教版物理重难点-必修三专题3.1 机械波的形成与传播（含答案）

2025人教版物理重难点-选择性必修一人教版物理重难点-必修三专题3.1机械波的形成与传播（含答案）专题3.1机械波的形成与传播【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1机械波的传播规律】 【题型2波的图像的应用】 【题型3波的图像与振动图像的综合应用】 【题型4时间周期性导致的多解问题】 【题型5空间周期性导致的多解问题】 【题型6波传播的双向性导致的多解问题】 【题型1机械波的传播规律】【例1】一频率为5Hz的振源O做简谐运动时形成的水波如图所示。已知该波的波速为1m/s，到振源O的距离为0.75m和1.2m处分别有一片可看成质点的小树叶P和Q，则下列说法正确的是()A．两片树叶的起振方向相反B．水波的波长为0.2mC．Q的起振时刻比P的晚半个周期D．当Q在波谷时，P恰好到波峰【变式1-1】均匀介质中质点A、B的平衡位置位于x轴上，坐标分别为0和xB＝16cm。某简谐横波沿x轴正方向传播，波速为v＝20cm/s，波长大于20cm，振幅为y＝1cm，且传播时无衰减。t＝0时刻A、B偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔Δt＝0.6s，两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同。已知在t1时刻(t1>0)，质点A位于波峰。求：(1)从t1时刻开始，质点B最少要经过多长时间位于波峰；(2)t1时刻质点B偏离平衡位置的位移。【变式1-2】如图所示为海洋生态自动监测浮标，可用于监测水质和气象等参数。一列水波(视为横波)沿海面传播，在波的传播方向上相距4.5m的两处分别有甲、乙两浮标，两浮标随波上下运动。当甲运动到波峰时，乙恰好运动到波谷，此时甲、乙之间只有一个波峰。观察到甲从第1次到达波峰与第11次到达波峰的时间间隔为20s，则该水波()A．振幅为4.5m B．波长为3mC．频率为2Hz D．波速为2.25m/s【变式1-3】(多选)某同学漂浮在海面上，虽然水面波正平稳地以1.8m/s的速率向着海滩传播，但他并不向海滩靠近.该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间间隔为15s.下列说法正确的是()A.该水面波的频率为6HzB.该水面波的波长为3mC.水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时能量不会传递出去D.水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时振动的质点并不随波迁移【题型2波的图像的应用】【例2】(多选)一列简谐横波沿x轴传播，在t＝0时刻和t＝1s时刻的波形分别如图中实线和虚线所示。已知x＝0处的质点在0～1s内运动的路程为4.5cm。下列说法正确的是()A．波沿x轴正方向传播B．波源振动周期为1.1sC．波的传播速度大小为13m/sD．t＝1s时，x＝6m处的质点沿y轴负方向运动【变式2-1】一列简谐横波沿x轴正方向传播，周期为T，t＝0时的波形如图所示。t＝eq\f(T,4)时()A．质点a速度方向沿y轴负方向B．质点b沿x轴正方向迁移了1mC．质点c的加速度为零D．质点d的位移为－5cm【变式2-2】一列简谐横波某时刻的波形图如图所示。此后K质点比L质点先回到平衡位置。下列判断正确的是()A．该简谐横波沿x轴负方向传播B．此时K质点沿y轴正方向运动C．此时K质点的速度比L质点的小D．此时K质点的加速度比L质点的小【变式2-3】B型超声检查，其原理是运用高频率声波(超声波)对人体内部组织、器官反射成像，可以观察被检组织的形态。如图为仪器检测到的发送和接收的短暂超声波脉冲图像，其中实线为沿x轴正方向发送的超声波脉冲，虚线为一段时间后遇到人体组织沿x轴负方向返回的超声波脉冲。已知超声波在人体内的传播速度约为1500m/s，下列说法正确的是()A．此超声波的频率约为125HzB．质点B此时刻沿y轴正方向运动C．此时刻质点A、B两点加速度大小相等方向相反D．质点B在此时刻后的四分之一周期内运动的路程等于4mm【题型3波的图像与振动图像的综合应用】【例3】一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0～4s内的振动图像如图(a)所示，已知波的传播速度为0.5m/s。(1)求这列横波的波长；(2)求波源在4s内通过的路程；(3)在图(b)中画出t＝4s时刻的波形图。【变式3-1】(2022·北京西城区模拟)如图甲所示，用手握住长绳的一端，t＝0时刻在手的带动下绳上A点开始上下振动，其振动图像如图乙所示，则能正确反映t1时刻绳上形成的波形的是()【变式3-2】(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，图(a)是t＝0时刻的波形图，图(b)和图(c)分别是x轴上某两处质点的振动图像。由此可知，这两质点平衡位置之间的距离可能是()A.eq\f(1,3)mB．eq\f(2,3)mC．1m D．eq\f(4,3)m【变式3-3】渔船上的声呐利用超声波来探测远方鱼群的方位。某渔船发出的一列超声波在t＝0时的波动图像如图1所示，图2为质点P的振动图像，则()A．该波的波速为1.5m/sB．该波沿x轴负方向传播C．0～1s时间内，质点P沿x轴运动了1.5mD．0～1s时间内，质点P运动的路程为2m【题型4时间周期性导致的多解问题】【例4】如图中实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形，虚线是这列波在t2＝0.5s时刻的波形.(1)写出这列波的波速表达式；(2)若波速大小为74m/s，波速方向如何？【变式4-1】在平静的介质中，从波源O发出的一列简谐横波沿x轴正方向传播，t1秒时刻的波形用实线表示，t2秒(t2>t1)时刻的波形用虚线表示。介质中的质点Q位于x＝18m处，则下列说法正确的是()A．该简谐横波的波长可能为6mB．该波的波速大小一定为eq\f(4,t2－t1)m/sC．在t1秒时刻至t2秒时刻这段时间内，介质中的质点M的运动过程是由先加速、后减速两段过程组成D．根据图像无法判断质点Q的起振方向【变式4-2】一列简谐横波在x轴上传播，如图所示，实线是这列波在t1＝0.1s时刻的波形，虚线是这列波在t2＝0.2s时刻的波形，求：(1)如果此波沿x轴正方向传播，波速的最小值；(2)如果此波沿x轴负方向传播，波速的可能值．【变式4-3】(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形图如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点。下列说法正确的是()A．这列波的波速可能为50m/sB．质点a在这段时间内通过的路程一定小于30cmC．质点c在这段时间内通过的路程可能为60cmD．若周期T＝0.8s，则在t＋0.5s时刻，质点b、P的位移相同【题型5空间周期性导致的多解问题】【例5】(多选)如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15m。当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是()A．0.60mB．0.30mC．0.20m D．0.10m【变式5-1】(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1m和x2＝7m处质点的振动图像分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是()A．7m/sB．2m/sC．1.2m/s D．1m/s【变式5-2】一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2s时的波形如图(a)所示，x＝2m处质点的振动图像如图(b)所示，则波速可能是()A.eq\f(1,5)m/s B．eq\f(2,5)m/sC.eq\f(3,5)m/s D．eq\f(4,5)m/s【变式5-3】在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图象.已知该波波长大于2m，求这列波可能的波速.【题型6波传播的双向性导致的多解问题】【例6】(2021·全国乙卷)图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线。经过0.3s后，其波形图曲线如图中虚线所示。已知该波的周期T大于0.3s，若波是沿x轴正方向传播的，则该波的速度大小为________m/s，周期为________s；若波是沿x轴负方向传播的，该波的周期为________s。【变式6-1】(多选)一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1＝2s时的波形图，虚线为t2＝5s时的波形图。以下关于平衡位置在O处质点的振动图像，可能正确的是()【变式6-2】水袖是中国古典舞中用于情感表达和抒发的常用技巧，舞者的手有规律的振动传导至袖子上，给人营造出一种“行云流水”的美感，这一过程其实就是机械波的传播.现有一列简谐波某时刻的波形如图中实线所示.经过0.5s后的波形如图中的虚线所示.已知波的周期为T，且0.25s<T<0.5s，则()A.当波向－x方向传播时，波速等于10m/sB.不论波向x轴哪一方向传播，在这0.5s内x＝1m处的质点M通过的路程都相等C.当波沿＋x方向传播时，x＝1m处的质点M和x＝2.5m处的质点N在这0.5s内通过的路程不相等D.当波沿－x方向传播，经过0.1s时，质点M离开平衡位置的位移一定为零【变式6-3】(多选)如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.6s时刻的波形图，已知波的周期T>0.6s，下列说法正确的是()A．该波的波速一定是10m/sB．该波的波速可能是eq\f(10,3)m/sC．t＝2.7s时，Q点的位移一定是0D．t＝5.1s时，Q点的位移可能是0.2m

参考答案【题型1机械波的传播规律】【例1】一频率为5Hz的振源O做简谐运动时形成的水波如图所示。已知该波的波速为1m/s，到振源O的距离为0.75m和1.2m处分别有一片可看成质点的小树叶P和Q，则下列说法正确的是()A．两片树叶的起振方向相反B．水波的波长为0.2mC．Q的起振时刻比P的晚半个周期D．当Q在波谷时，P恰好到波峰解析：选B两片树叶可看作是水波上的两个质点，它们的起振方向均与波源的起振方向相同，故A错误；已知波速为v＝1m/s，周期T＝eq\f(1,f)＝0.2s，则水波的波长为λ＝vT＝0.2m，故B正确；P、Q到波源的距离之差为Δx＝(1.2－0.75)m＝0.45m＝eq\f(9,4)λ，故Q的起振时刻比P的晚eq\f(9,4)个周期，当Q在波谷时，P恰好到平衡位置，故C、D错误。【变式1-1】均匀介质中质点A、B的平衡位置位于x轴上，坐标分别为0和xB＝16cm。某简谐横波沿x轴正方向传播，波速为v＝20cm/s，波长大于20cm，振幅为y＝1cm，且传播时无衰减。t＝0时刻A、B偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔Δt＝0.6s，两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同。已知在t1时刻(t1>0)，质点A位于波峰。求：(1)从t1时刻开始，质点B最少要经过多长时间位于波峰；(2)t1时刻质点B偏离平衡位置的位移。[解析](1)因波速v＝20cm/s，波长大于20cm，所以周期T＞1s，又由t＝0时刻后每隔0.6sA、B两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，可知该波周期T＝1.2s，该波波长λ＝vT＝24cm，故A、B的平衡位置相距eq\f(2,3)λ，从t1时刻开始，质点B最少要经过eq\f(2,3)T＝0.8s位于波峰。(2)在t1时刻(t1＞0)，质点A位于波峰，A、B平衡位置相距eq\f(2,3)λ，可知质点B偏离平衡位置的位移yB＝ycoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π×\f(2,3)))＝－0.5cm。[答案](1)0.8s(2)－0.5cm【变式1-2】如图所示为海洋生态自动监测浮标，可用于监测水质和气象等参数。一列水波(视为横波)沿海面传播，在波的传播方向上相距4.5m的两处分别有甲、乙两浮标，两浮标随波上下运动。当甲运动到波峰时，乙恰好运动到波谷，此时甲、乙之间只有一个波峰。观察到甲从第1次到达波峰与第11次到达波峰的时间间隔为20s，则该水波()A．振幅为4.5m B．波长为3mC．频率为2Hz D．波速为2.25m/s解析：选B根据题给条件无法得知浮标离开平衡位置的最大距离，故A错误；设波长为λ，则由题意可知eq\f(3,2)λ＝4.5m，解得λ＝3m，故B正确；设周期为T，则由题意可知10T＝20s，解得T＝2s，所以频率为f＝eq\f(1,T)＝0.5Hz，故C错误；波速为v＝eq\f(λ,T)＝1.5m/s，故D错误。【变式1-3】(多选)某同学漂浮在海面上，虽然水面波正平稳地以1.8m/s的速率向着海滩传播，但他并不向海滩靠近.该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间间隔为15s.下列说法正确的是()A.该水面波的频率为6HzB.该水面波的波长为3mC.水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时能量不会传递出去D.水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时振动的质点并不随波迁移答案BD解析从第1个波峰到第10个波峰经历了9个波形，时间间隔为15s，所以其振动周期为T＝eq\f(15,9)s＝eq\f(5,3)s，频率为f＝eq\f(1,T)＝0.6Hz，A错误；波长λ＝vT＝1.8×eq\f(5,3)m＝3m，B正确；波传播过程中，传播的是振动形式，能量可以传递出去，但质点并不随波迁移，C错误，D正确.【题型2波的图像的应用】【例2】(多选)一列简谐横波沿x轴传播，在t＝0时刻和t＝1s时刻的波形分别如图中实线和虚线所示。已知x＝0处的质点在0～1s内运动的路程为4.5cm。下列说法正确的是()A．波沿x轴正方向传播B．波源振动周期为1.1sC．波的传播速度大小为13m/sD．t＝1s时，x＝6m处的质点沿y轴负方向运动[解析]由题意，x＝0处的质点在0～1s的时间内通过的路程为4.5cm，则结合题图可知t＝0时刻x＝0处的质点沿y轴的负方向运动，则由质点的振动和波的传播方向关系可知，该波的传播方向沿x轴的正方向，故A正确；由题意可知，t＝1s为eq\f(13,12)T，解得T＝eq\f(12,13)s，由题图可知λ＝12m，则v＝eq\f(λ,T)＝eq\f(12,\f(12,13))m/s＝13m/s，故C正确，B错误；由同侧法可知t＝1s时，x＝6m处的质点沿y轴正方向运动，故D错误。[答案]AC【变式2-1】一列简谐横波沿x轴正方向传播，周期为T，t＝0时的波形如图所示。t＝eq\f(T,4)时()A．质点a速度方向沿y轴负方向B．质点b沿x轴正方向迁移了1mC．质点c的加速度为零D．质点d的位移为－5cm[解析]t＝eq\f(T,4)时，质点a沿y轴正方向运动到平衡位置，其速度方向沿y轴正方向，A错误；根据简谐横波的传播特点可知，质点只在平衡位置附近上下振动，不会随波迁移，B错误；t＝eq\f(T,4)时，质点c运动到平衡位置，所受合外力为零，加速度为零，C正确；t＝eq\f(T,4)时，质点d的位移为5cm，D错误。[答案]C【变式2-2】一列简谐横波某时刻的波形图如图所示。此后K质点比L质点先回到平衡位置。下列判断正确的是()A．该简谐横波沿x轴负方向传播B．此时K质点沿y轴正方向运动C．此时K质点的速度比L质点的小D．此时K质点的加速度比L质点的小解析：选D由题知K质点比L质点先回到平衡位置，则此时K质点应沿y轴负方向运动，再根据“上、下坡”法可知，该波应沿x轴正方向传播，A、B错误；L质点在波谷处，则L质点的速度为0，故此时K质点的速度比L质点的大，C错误；由于质点在竖直方向做机械振动，根据F＝－ky＝ma，结合波动图像可看出yL＞yK，则此时K质点的加速度比L质点的小，D正确。【变式2-3】B型超声检查，其原理是运用高频率声波(超声波)对人体内部组织、器官反射成像，可以观察被检组织的形态。如图为仪器检测到的发送和接收的短暂超声波脉冲图像，其中实线为沿x轴正方向发送的超声波脉冲，虚线为一段时间后遇到人体组织沿x轴负方向返回的超声波脉冲。已知超声波在人体内的传播速度约为1500m/s，下列说法正确的是()A．此超声波的频率约为125HzB．质点B此时刻沿y轴正方向运动C．此时刻质点A、B两点加速度大小相等方向相反D．质点B在此时刻后的四分之一周期内运动的路程等于4mm解析：选B由题意可知，发送和接收的超声波频率相同，由图像可知波长λ＝12mm＝1.2×10－2m，由于v＝eq\f(λ,T)＝fλ，可得频率f＝eq\f(v,λ)，代入数据解得f＝1.25×105Hz，A错误；质点B在接收的超声波脉冲图像上，此脉冲沿x轴负方向传播，由“上下坡法”可知，此时刻质点B沿y轴正方向运动，B正确；此时刻质点A沿y轴正方向运动，其加速度方向沿y轴负方向，质点B沿y轴正方向运动，其加速度方向沿y轴负方向，因此质点A和质点B加速度大小相等，方向相同，C错误；此时刻质点B的位移为2eq\r(3)mm，且沿y轴正方向运动，经十二分之一周期，恰好第一次运动到波峰，所以经四分之一周期质点B运动的路程是s＝2mm＋4mm－2eq\r(3)mm≈2.536mm，D错误。【题型3波的图像与振动图像的综合应用】【例3】一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0～4s内的振动图像如图(a)所示，已知波的传播速度为0.5m/s。(1)求这列横波的波长；(2)求波源在4s内通过的路程；(3)在图(b)中画出t＝4s时刻的波形图。解析：(1)由题图(a)可知，振幅A＝4cm，周期T＝4s，由于波的传播速度为0.5m/s，根据波长与速度关系有λ＝vT＝2m。(2)由(1)可知波源的振动周期为4s，则4s内波源通过的路程为s＝4A＝16cm。(3)由题图(a)可知在t＝0时波源的起振方向向上，由于波速为0.5m/s，则在4s时x＝vt＝2m，可知该波刚好传到位置为2m的质点，且波源刚好回到平衡位置，且该波沿x轴正方向传播，则根据“上、下坡”法可绘制出t＝4s时刻的波形图如图所示。答案：(1)2m(2)16cm(3)见解析图【变式3-1】(2022·北京西城区模拟)如图甲所示，用手握住长绳的一端，t＝0时刻在手的带动下绳上A点开始上下振动，其振动图像如图乙所示，则能正确反映t1时刻绳上形成的波形的是()解析：选B根据A点振动图像可知，在t1时刻绳上A点向下运动，由振动图像可知，波传播的时间t1恰好为一个半周期，传播的距离为一个半波长，C、D错误；由题图乙知A点起振方向向上，故B正确，A错误。【变式3-2】(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，图(a)是t＝0时刻的波形图，图(b)和图(c)分别是x轴上某两处质点的振动图像。由此可知，这两质点平衡位置之间的距离可能是()A.eq\f(1,3)mB．eq\f(2,3)mC．1m D．eq\f(4,3)m解析：选BDt＝0时刻题图(b)中的质点正处于正向最大位移处，与之相对应的是波形图中的x1＝eq\f(1,2)m＋nλ(n＝0,1,2，…)的质点，题图(c)中的质点正在负向eq\f(A,2)处向负方向振动，根据振动方程－eq\f(A,2)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,2)×x2))，x2＝eq\f(11,6)m＋nλ(n＝0,1,2，…)，所以这两质点平衡位置之间的距离可能是Δx＝|x2－x1|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)m±nλ))，当n＝0时，Δx＝eq\f(4,3)m，也有可能是Δx＝eq\f(2,3)m，故B、D正确，A、C错误。【变式3-3】渔船上的声呐利用超声波来探测远方鱼群的方位。某渔船发出的一列超声波在t＝0时的波动图像如图1所示，图2为质点P的振动图像，则()A．该波的波速为1.5m/sB．该波沿x轴负方向传播C．0～1s时间内，质点P沿x轴运动了1.5mD．0～1s时间内，质点P运动的路程为2m解析：选D由题图1可知，该波的波长λ＝1.5×10－2m，由题图2可知周期T＝1×10－5s，则该波的波速v＝eq\f(λ,T)＝eq\f(1.5×10－2,1×10－5)m/s＝1.5×103m/s，A错误；由题图2可得，在t＝0时刻，质点P沿y轴正方向振动，由波形的平移方式可知该波沿x轴正方向传播，B错误；质点P只在平衡位置上下振动，不沿x轴运动，C错误；质点P的振幅是5×10－6m，在0～1s时间内共振动了eq\f(1,1×10－5)＝105个周期，运动的路程是s＝4×5×10－6×105m＝2m，D正确。【题型4时间周期性导致的多解问题】【例4】如图中实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形，虚线是这列波在t2＝0.5s时刻的波形.(1)写出这列波的波速表达式；(2)若波速大小为74m/s，波速方向如何？答案见解析解析(1)由题图可知λ＝8m当波向右传播时，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为s＝nλ＋eq\f(3,8)λ＝(8n＋3)m(n＝0,1,2…)波速为v＝eq\f(s,Δt)＝eq\f(8n＋3,0.5)m/s＝(16n＋6)m/s(n＝0,1,2…).当波向左传播时，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为s＝nλ＋eq\f(5,8)λ＝(8n＋5)m(n＝0,1,2…)波速为v＝eq\f(s,Δt)＝eq\f(8n＋5,0.5)m/s＝(16n＋10)m/s(n＝0,1，2…).(2)若波速大小为74m/s，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为s＝v·Δt＝74×0.5m＝37m.因为37m＝4λ＋eq\f(5,8)λ，所以波向左传播.【变式4-1】在平静的介质中，从波源O发出的一列简谐横波沿x轴正方向传播，t1秒时刻的波形用实线表示，t2秒(t2>t1)时刻的波形用虚线表示。介质中的质点Q位于x＝18m处，则下列说法正确的是()A．该简谐横波的波长可能为6mB．该波的波速大小一定为eq\f(4,t2－t1)m/sC．在t1秒时刻至t2秒时刻这段时间内，介质中的质点M的运动过程是由先加速、后减速两段过程组成D．根据图像无法判断质点Q的起振方向[解析]由波形图可知，波长λ＝8m，故A错误；波沿x轴正方向传播，位移为x＝nλ＋eq\f(λ,2)＝(8n＋4)m(n＝0,1,2,3，…)，则波速为v＝eq\f(x,Δt)＝eq\f(8n＋4,t2－t1)m/s(n＝0,1,2，3，…)，则当n＝0时，波速为eq\f(4,t2－t1)m/s，不是一定为eq\f(4,t2－t1)m/s，故B错误；在t1～t2时间内，若是在一个周期内，则质点M是先加速、后减速，若是包含多个周期则由多个运动阶段组成，不仅是两段过程组成，故C错误；t1、t2时刻不是0时刻的图像，故无法判断O点的起振方向，也就无法判断质点Q的起振方向，故D正确。[答案]D【变式4-2】一列简谐横波在x轴上传播，如图所示，实线是这列波在t1＝0.1s时刻的波形，虚线是这列波在t2＝0.2s时刻的波形，求：(1)如果此波沿x轴正方向传播，波速的最小值；(2)如果此波沿x轴负方向传播，波速的可能值．答案(1)30m/s(2)v＝(80k＋50)m/s(k＝0,1,2，3…)解析(1)由波形图知波长λ＝8m波沿x轴正方向传播时，传播距离Δx满足Δx＝kλ＋eq\f(3,8)λ(k＝0,1,2,3…)由v＝eq\f(Δx,Δt)知，当k＝0时波速取最小值．解得最小波速vmin＝30m/s(2)波沿x轴负方向传播时，传播距离Δx＝kλ＋eq\f(5,8)λ(k＝0,1,2,3…)由v＝eq\f(Δx,Δt)得v＝(80k＋50)m/s(k＝0,1,2,3…)【变式4-3】(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形图如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点。下列说法正确的是()A．这列波的波速可能为50m/sB．质点a在这段时间内通过的路程一定小于30cmC．质点c在这段时间内通过的路程可能为60cmD．若周期T＝0.8s，则在t＋0.5s时刻，质点b、P的位移相同解析：选ACD由波形图可知波长λ＝40m，且0.6s＝nT＋eq\f(3,4)T(n＝0,1,2，…)，解得周期T＝eq\f(2.4,4n＋3)s(n＝0,1,2，…)。当n＝0时，T＝0.8s，波速v＝eq\f(λ,T)＝50m/s，A正确。由传播方向沿x轴正方向可知质点a在t时刻向上运动，当n＝0时，T＝0.8s，则质点a在这段时间内通过的路程小于30cm；当n＝1时，T＝eq\f(24,70)s，质点a在这段时间内通过的路程大于30cm，B错误。若n＝1，则T＝eq\f(24,70)s，波传播到c点所用时间为eq\f(1,4)T,0.6s＝eq\f(7T,4)，质点c振动的时间为eq\f(7,4)T－eq\f(1,4)T＝eq\f(3,2)T，故在这段时间内质点c通过的路程为6A＝60cm，C正确。若T＝0.8s，t＋0.5s时刻，质点b、P的位移均为负值，大小相等，D正确。【题型5空间周期性导致的多解问题】【例5】(多选)如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15m。当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是()A．0.60mB．0.30mC．0.20m D．0.10m解析：选BD由题意，P、Q两点之间的间距为eq\f(λ,2)＋nλ＝0.15m(n＝0,1,2，…)，故n＝0时，λ＝0.3m；n＝1时，λ＝0.1m。【变式5-1】(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1m和x2＝7m处质点的振动图像分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是()A．7m/sB．2m/sC．1.2m/s D．1m/s[解析]由振动图像可知周期T＝4s，零时刻x1处质点在平衡位置且向下振动，而x2处质点在正的最大位移处。①若波沿x轴正向传播，其波形如图甲所示，x2处质点的平衡位置可能在A1或A2或A3…则波长有：x2－x1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,4)))λ(n＝0,1,2，…)得波速表达式v＝eq\f(λ,T)＝eq\f(\f(x2－x1,n＋\f(1,4)),T)＝eq\f(6,4n＋1)(n＝0,1,2，…)当n＝0时，v＝6m/s，当n＝1时，v＝1.2m/s，C正确。②若波沿x轴负向传播，其波形如图乙所示。则有x2－x1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(3,4)))λ(n＝0,1,2，…)得v＝eq\f(λ,T)＝eq\f(\f(x2－x1,n＋\f(3,4)),T)＝eq\f(6,4n＋3)(n＝0,1,2，…)当n＝0时，v＝2m/s，当n＝1时，v≈0.86m/s，B正确。[答案]BC【变式5-2】一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2s时的波形如图(a)所示，x＝2m处质点的振动图像如图(b)所示，则波速可能是()A.eq\f(1,5)m/s B．eq\f(2,5)m/sC.eq\f(3,5)m/s D．eq\f(4,5)m/s[解析]根据题图(b)可知t＝2s时x＝2m处的质点正经过平衡位置向下振动；又因为该波向x轴负方向传播，结合图(a)，利用“上下坡”法可知x＝2m为半波长的奇数倍，即有(2n－1)eq\f(λ,2)＝2m，(n＝1,2,3，…)，而由图(b)可知该波的周期为T＝4s；所以该波的波速为v＝eq\f(λ,T)＝eq\f(1,2n－1)m/s，(n＝1,2,3，…)，当n＝3时可得波的速率为v＝eq\f(1,5)m/s，故A正确。[答案]A【变式5-3】在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图象.已知该波波长大于2m，求这列波可能的波速.答案见解析解析由振动图象得质点振动周期T＝0.4s，若波由A向B传播，B点比A点晚振动的时间Δt＝nT＋eq\f(3,4)T(n＝0,1,2,3，…)，所以A、B间的距离为Δs＝vΔt＝eq\f(λ,T)Δt＝nλ＋eq\f(3,4)λ(n＝0,1,2,3，…)，则波长为λ＝eq\f(4Δs,4n＋3)＝eq\f(16,4n＋3)m，因为λ>2m，所以n＝0,1当n＝0时，λ1＝eq\f(16,3)m，v1＝eq\f(λ1,T)＝eq\f(40,3)m/s，当n＝1时，λ2＝eq\f(16,7)m，v2＝eq\f(λ2,T)＝eq\f(40,7)m/s.若波由B向A传播，A点比B点晚振动的时间Δt＝nT＋eq\f(1,4)T(n＝0,1,2,3，…)，所以A、B间的距离为Δs＝nλ＋eq\f(1,4)λ(n＝0,1,2,3，…)，则波长为λ＝eq\f(4Δs,4n＋1)＝eq\f(16,4n＋1)m因为λ>2m，所以n＝0,1当n＝0时，λ1＝16m，v1＝40m/s，当n＝1时，λ2＝eq\f(16,5)m，v2＝8m/s.【题型6波传播的双向性导致的多解问题】【例6】(2021·全国乙卷)图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线。经过0.3s后，其波形图曲线如图中虚线所示。已知该波的周期T大于0.3s，若波是沿x轴正方向传播的，则该波的速度大小为________m/s，周期为________s；若波是沿x轴负方向传播的，该波的周期为________s。解析：若波是沿x轴正方向传播的，波形移动了15cm，由此可求出波速和周期：v1＝eq\f(0.15,0.3)m/s＝0.5m/s；T1＝eq\f(λ,v1)＝eq\f(0.2,0.5)s＝0.4s。若波是沿x轴负方向传播的，波形移动了5cm，由此可求出波速和周期：v2＝eq\f(0.05,0.3)m/s＝eq\f(1,6)m/s；T2＝eq\f(λ,v2)＝eq\f(0.2,\f(1,6))s＝1.2s。答案：0.50.41.2【变式6-1】(多选)一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1＝2s时的波形图，虚线为t2＝5s时的波形图。以下关于平衡位置在O处质点的振动图像，可能正确的是()解析：选AC由题意，如果波沿x轴正方向传播，则t2－t1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(3,4)))T，且n＝0,1,2，…，当n＝0时，T＝4s，在t1＝2s时刻，质点位于平衡位置且向上振动，故A正确，B错误；如果波沿x轴负方向传播，则t2－t1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,4)))T，且n＝0,1,2，…，当n＝0时，T＝12s，在t1＝2s时刻，质点位于平衡位置且向下振动，故C正确，D错误。【变式6-2】水袖是中国古典舞中用于情感表达和抒发的常用技巧，舞者的手有规律的振动传导至袖子上，给人营造出一种“行云流水”的美感，这一过程其实就是机械波的传播.现有一列简谐波某时刻的波形如图中实线所示.经过0.5s后的波形如图中的虚线所示.已知波的周期为T，且0.25s<T<0.5s，则()A.当波向－x方向传播时，波速等于10m/sB.不论波向x轴哪一方向传播，在这0.5s内x＝1m处的质点M通过的路程都相等C.当波沿＋x方向传播时，x＝1m处的质点M和x＝2.5m处的质点N在这0.5s内通过的路程不相等D.当波沿－x方向传播，经过0.1s时，质点M离开平衡位置的位移一定为零答案C解析若波沿－x方向传播，则t＝0.5s＝(n＋eq\f(3,4))T(n＝0,1,2，…)，由于0.25s<T<0.5s，故n＝1，即0.5s＝eq\f(7,4)T，得T＝eq\f(2,7)s.由题图可知波长λ＝4m，故波速v＝eq\f(λ,T)＝14m/s，在0.5s内，x＝1m处质点M通过的路程sM′＝eq\f(0.5,\f(2,7))×4A＝7A＝14cm，故A错误；波沿－x方向传播，t＝0.1s≠eq\f(T,4)，故质点M离开平衡位置的位移不为零，故D错误；若波沿＋x方向传播，则t＝0.5s＝(n＋eq\f(1,4))T(n＝0,1,2，…)；由题知n＝1，解得T＝0.4s,0.5s＝eq\f(5,4)T，x＝1m处的质点M通过的路程为sM＝5A＝10cm，x＝2.5m处质点N通过的路程sN>10cm，故两质点通过的路程不相等，故C正确；由以上分析知，B错误.【变式6-3】(多选)如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.6s时刻的波形图，已知波的周期T>0.6s，下列说法正确的是()A．该波的波速一定是10m/sB．该波的波速可能是eq\f(10,3)m/sC．t＝2.7s时，Q点的位移一定是0D．t＝5.1s时，Q点的位移可能是0.2m解析：选BC据图，波长λ＝8m，如果波向左传播，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(3,4)))T＝0.6s(n＝0,1，2，…)，只有当n＝0时T1＝0.8s>0.6s，此时波速为v1＝eq\f(λ,T1)＝10m/s，如果波向右传播，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,4)))T＝0.6s(n＝0,1,2，…)，只有当n＝0时，T2＝2.4s>0.6s，此时波速为v2＝eq\f(λ,T2)＝eq\f(10,3)m/s，故A错误，B正确；如果波向左传播，则2.7s＝3eq\f(3,8)T1，Q点正好到达平衡位置，位移为零；如果波向右传播，则2.7s＝1eq\f(1,8)T2，Q点也是正好到达平衡位置，位移为零，C正确；t＝5.1s时，如果波向左传播，Q点正好到达平衡位置，位移为零；如果波向右传播，Q点也正好到达平衡位置，位移为零，故D错误。专题3.1机械波的形成与传播【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1机械波的传播规律】 【题型2波的图像的应用】 【题型3波的图像与振动图像的综合应用】 【题型4时间周期性导致的多解问题】 【题型5空间周期性导致的多解问题】 【题型6波传播的双向性导致的多解问题】 【题型1机械波的传播规律】【例1】一频率为5Hz的振源O做简谐运动时形成的水波如图所示。已知该波的波速为1m/s，到振源O的距离为0.75m和1.2m处分别有一片可看成质点的小树叶P和Q，则下列说法正确的是()A．两片树叶的起振方向相反B．水波的波长为0.2mC．Q的起振时刻比P的晚半个周期D．当Q在波谷时，P恰好到波峰解析：选B两片树叶可看作是水波上的两个质点，它们的起振方向均与波源的起振方向相同，故A错误；已知波速为v＝1m/s，周期T＝eq\f(1,f)＝0.2s，则水波的波长为λ＝vT＝0.2m，故B正确；P、Q到波源的距离之差为Δx＝(1.2－0.75)m＝0.45m＝eq\f(9,4)λ，故Q的起振时刻比P的晚eq\f(9,4)个周期，当Q在波谷时，P恰好到平衡位置，故C、D错误。【变式1-1】均匀介质中质点A、B的平衡位置位于x轴上，坐标分别为0和xB＝16cm。某简谐横波沿x轴正方向传播，波速为v＝20cm/s，波长大于20cm，振幅为y＝1cm，且传播时无衰减。t＝0时刻A、B偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔Δt＝0.6s，两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同。已知在t1时刻(t1>0)，质点A位于波峰。求：(1)从t1时刻开始，质点B最少要经过多长时间位于波峰；(2)t1时刻质点B偏离平衡位置的位移。[解析](1)因波速v＝20cm/s，波长大于20cm，所以周期T＞1s，又由t＝0时刻后每隔0.6sA、B两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，可知该波周期T＝1.2s，该波波长λ＝vT＝24cm，故A、B的平衡位置相距eq\f(2,3)λ，从t1时刻开始，质点B最少要经过eq\f(2,3)T＝0.8s位于波峰。(2)在t1时刻(t1＞0)，质点A位于波峰，A、B平衡位置相距eq\f(2,3)λ，可知质点B偏离平衡位置的位移yB＝ycoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π×\f(2,3)))＝－0.5cm。[答案](1)0.8s(2)－0.5cm【变式1-2】如图所示为海洋生态自动监测浮标，可用于监测水质和气象等参数。一列水波(视为横波)沿海面传播，在波的传播方向上相距4.5m的两处分别有甲、乙两浮标，两浮标随波上下运动。当甲运动到波峰时，乙恰好运动到波谷，此时甲、乙之间只有一个波峰。观察到甲从第1次到达波峰与第11次到达波峰的时间间隔为20s，则该水波()A．振幅为4.5m B．波长为3mC．频率为2Hz D．波速为2.25m/s解析：选B根据题给条件无法得知浮标离开平衡位置的最大距离，故A错误；设波长为λ，则由题意可知eq\f(3,2)λ＝4.5m，解得λ＝3m，故B正确；设周期为T，则由题意可知10T＝20s，解得T＝2s，所以频率为f＝eq\f(1,T)＝0.5Hz，故C错误；波速为v＝eq\f(λ,T)＝1.5m/s，故D错误。【变式1-3】(多选)某同学漂浮在海面上，虽然水面波正平稳地以1.8m/s的速率向着海滩传播，但他并不向海滩靠近.该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间间隔为15s.下列说法正确的是()A.该水面波的频率为6HzB.该水面波的波长为3mC.水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时能量不会传递出去D.水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时振动的质点并不随波迁移答案BD解析从第1个波峰到第10个波峰经历了9个波形，时间间隔为15s，所以其振动周期为T＝eq\f(15,9)s＝eq\f(5,3)s，频率为f＝eq\f(1,T)＝0.6Hz，A错误；波长λ＝vT＝1.8×eq\f(5,3)m＝3m，B正确；波传播过程中，传播的是振动形式，能量可以传递出去，但质点并不随波迁移，C错误，D正确.【题型2波的图像的应用】【例2】(多选)一列简谐横波沿x轴传播，在t＝0时刻和t＝1s时刻的波形分别如图中实线和虚线所示。已知x＝0处的质点在0～1s内运动的路程为4.5cm。下列说法正确的是()A．波沿x轴正方向传播B．波源振动周期为1.1sC．波的传播速度大小为13m/sD．t＝1s时，x＝6m处的质点沿y轴负方向运动[解析]由题意，x＝0处的质点在0～1s的时间内通过的路程为4.5cm，则结合题图可知t＝0时刻x＝0处的质点沿y轴的负方向运动，则由质点的振动和波的传播方向关系可知，该波的传播方向沿x轴的正方向，故A正确；由题意可知，t＝1s为eq\f(13,12)T，解得T＝eq\f(12,13)s，由题图可知λ＝12m，则v＝eq\f(λ,T)＝eq\f(12,\f(12,13))m/s＝13m/s，故C正确，B错误；由同侧法可知t＝1s时，x＝6m处的质点沿y轴正方向运动，故D错误。[答案]AC【变式2-1】一列简谐横波沿x轴正方向传播，周期为T，t＝0时的波形如图所示。t＝eq\f(T,4)时()A．质点a速度方向沿y轴负方向B．质点b沿x轴正方向迁移了1mC．质点c的加速度为零D．质点d的位移为－5cm[解析]t＝eq\f(T,4)时，质点a沿y轴正方向运动到平衡位置，其速度方向沿y轴正方向，A错误；根据简谐横波的传播特点可知，质点只在平衡位置附近上下振动，不会随波迁移，B错误；t＝eq\f(T,4)时，质点c运动到平衡位置，所受合外力为零，加速度为零，C正确；t＝eq\f(T,4)时，质点d的位移为5cm，D错误。[答案]C【变式2-2】一列简谐横波某时刻的波形图如图所示。此后K质点比L质点先回到平衡位置。下列判断正确的是()A．该简谐横波沿x轴负方向传播B．此时K质点沿y轴正方向运动C．此时K质点的速度比L质点的小D．此时K质点的加速度比L质点的小解析：选D由题知K质点比L质点先回到平衡位置，则此时K质点应沿y轴负方向运动，再根据“上、下坡”法可知，该波应沿x轴正方向传播，A、B错误；L质点在波谷处，则L质点的速度为0，故此时K质点的速度比L质点的大，C错误；由于质点在竖直方向做机械振动，根据F＝－ky＝ma，结合波动图像可看出yL＞yK，则此时K质点的加速度比L质点的小，D正确。【变式2-3】B型超声检查，其原理是运用高频率声波(超声波)对人体内部组织、器官反射成像，可以观察被检组织的形态。如图为仪器检测到的发送和接收的短暂超声波脉冲图像，其中实线为沿x轴正方向发送的超声波脉冲，虚线为一段时间后遇到人体组织沿x轴负方向返回的超声波脉冲。已知超声波在人体内的传播速度约为1500m/s，下列说法正确的是()A．此超声波的频率约为125HzB．质点B此时刻沿y轴正方向运动C．此时刻质点A、B两点加速度大小相等方向相反D．质点B在此时刻后的四分之一周期内运动的路程等于4mm解析：选B由题意可知，发送和接收的超声波频率相同，由图像可知波长λ＝12mm＝1.2×10－2m，由于v＝eq\f(λ,T)＝fλ，可得频率f＝eq\f(v,λ)，代入数据解得f＝1.25×105Hz，A错误；质点B在接收的超声波脉冲图像上，此脉冲沿x轴负方向传播，由“上下坡法”可知，此时刻质点B沿y轴正方向运动，B正确；此时刻质点A沿y轴正方向运动，其加速度方向沿y轴负方向，质点B沿y轴正方向运动，其加速度方向沿y轴负方向，因此质点A和质点B加速度大小相等，方向相同，C错误；此时刻质点B的位移为2eq\r(3)mm，且沿y轴正方向运动，经十二分之一周期，恰好第一次运动到波峰，所以经四分之一周期质点B运动的路程是s＝2mm＋4mm－2eq\r(3)mm≈2.536mm，D错误。【题型3波的图像与振动图像的综合应用】【例3】一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0～4s内的振动图像如图(a)所示，已知波的传播速度为0.5m/s。(1)求这列横波的波长；(2)求波源在4s内通过的路程；(3)在图(b)中画出t＝4s时刻的波形图。解析：(1)由题图(a)可知，振幅A＝4cm，周期T＝4s，由于波的传播速度为0.5m/s，根据波长与速度关系有λ＝vT＝2m。(2)由(1)可知波源的振动周期为4s，则4s内波源通过的路程为s＝4A＝16cm。(3)由题图(a)可知在t＝0时波源的起振方向向上，由于波速为0.5m/s，则在4s时x＝vt＝2m，可知该波刚好传到位置为2m的质点，且波源刚好回到平衡位置，且该波沿x轴正方向传播，则根据“上、下坡”法可绘制出t＝4s时刻的波形图如图所示。答案：(1)2m(2)16cm(3)见解析图【变式3-1】(2022·北京西城区模拟)如图甲所示，用手握住长绳的一端，t＝0时刻在手的带动下绳上A点开始上下振动，其振动图像如图乙所示，则能正确反映t1时刻绳上形成的波形的是()解析：选B根据A点振动图像可知，在t1时刻绳上A点向下运动，由振动图像可知，波传播的时间t1恰好为一个半周期，传播的距离为一个半波长，C、D错误；由题图乙知A点起振方向向上，故B正确，A错误。【变式3-2】(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，图(a)是t＝0时刻的波形图，图(b)和图(c)分别是x轴上某两处质点的振动图像。由此可知，这两质点平衡位置之间的距离可能是()A.eq\f(1,3)mB．eq\f(2,3)mC．1m D．eq\f(4,3)m解析：选BDt＝0时刻题图(b)中的质点正处于正向最大位移处，与之相对应的是波形图中的x1＝eq\f(1,2)m＋nλ(n＝0,1,2，…)的质点，题图(c)中的质点正在负向eq\f(A,2)处向负方向振动，根据振动方程－eq\f(A,2)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,2)×x2))，x2＝eq\f(11,6)m＋nλ(n＝0,1,2，…)，所以这两质点平衡位置之间的距离可能是Δx＝|x2－x1|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)m±nλ))，当n＝0时，Δx＝eq\f(4,3)m，也有可能是Δx＝eq\f(2,3)m，故B、D正确，A、C错误。【变式3-3】渔船上的声呐利用超声波来探测远方鱼群的方位。某渔船发出的一列超声波在t＝0时的波动图像如图1所示，图2为质点P的振动图像，则()A．该波的波速为1.5m/sB．该波沿x轴负方向传播C．0～1s时间内，质点P沿x轴运动了1.5mD．0～1s时间内，质点P运动的路程为2m解析：选D由题图1可知，该波的波长λ＝1.5×10－2m，由题图2可知周期T＝1×10－5s，则该波的波速v＝eq\f(λ,T)＝eq\f(1.5×10－2,1×10－5)m/s＝1.5×103m/s，A错误；由题图2可得，在t＝0时刻，质点P沿y轴正方向振动，由波形的平移方式可知该波沿x轴正方向传播，B错误；质点P只在平衡位置上下振动，不沿x轴运动，C错误；质点P的振幅是5×10－6m，在0～1s时间内共振动了eq\f(1,1×10－5)＝105个周期，运动的路程是s＝4×5×10－6×105m＝2m，D正确。【题型4时间周期性导致的多解问题】【例4】如图中实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形，虚线是这列波在t2＝0.5s时刻的波形.(1)写出这列波的波速表达式；(2)若波速大小为74m/s，波速方向如何？答案见解析解析(1)由题图可知λ＝8m当波向右传播时，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为s＝nλ＋eq\f(3,8)λ＝(8n＋3)m(n＝0,1,2…)波速为v＝eq\f(s,Δt)＝eq\f(8n＋3,0.5)m/s＝(16n＋6)m/s(n＝0,1,2…).当波向左传播时，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为s＝nλ＋eq\f(5,8)λ＝(8n＋5)m(n＝0,1,2…)波速为v＝eq\f(s,Δt)＝eq\f(8n＋5,0.5)m/s＝(16n＋10)m/s(n＝0,1，2…).(2)若波速大小为74m/s，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为s＝v·Δt＝74×0.5m＝37m.因为37m＝4λ＋eq\f(5,8)λ，所以波向左传播.【变式4-1】在平静的介质中，从波源O发出的一列简谐横波沿x轴正方向传播，t1秒时刻的波形用实线表示，t2秒(t2>t1)时刻的波形用虚线表示。介质中的质点Q位于x＝18m处，则下列说法正确的是()A．该简谐横波的波长可能为6mB．该波的波速大小一定为eq\f(4,t2－t1)m/sC．在t1秒时刻至t2秒时刻这段时间内，介质中的质点M的运动过程是由先加速、后减速两段过程组成D．根据图像无法判断质点Q的起振方向[解析]由波形图可知，波长λ＝8m，故A错误；波沿x轴正方向传播，位移为x＝nλ＋eq\f(λ,2)＝(8n＋4)m(n＝0,1,2,3，…)，则波速为v＝eq\f(x,Δt)＝eq\f(8n＋4,t2－t1)m/s(n＝0,1,2，3，…)，则当n＝0时，波速为eq\f(4,t2－t1)m/s，不是一定为eq\f(4,t2－t1)m/s，故B错误；在t1～t2时间内，若是在一个周期内，则质点M是先加速、后减速，若是包含多个周期则由多个运动阶段组成，不仅是两段过程组成，故C错误；t1、t2时刻不是0时刻的图像，故无法判断O点的起振方向，也就无法判断质点Q的起振方向，故D正确。[答案]D【变式4-2】一列简谐横波在x轴上传播，如图所示，实线是这列波在t1＝0.1s时刻的波形，虚线是这列波在t2＝0.2s时刻的波形，求：(1)如果此波沿x轴正方向传播，波速的最小值；(2)如果此波沿x轴负方向传播，波速的可能值．答案(1)30m/s(2)v＝(80k＋50)m/s(k＝0,1,2，3…)解析(1)由波形图知波长λ＝8m波沿x轴正方向传播时，传播距离Δx满足Δx＝kλ＋eq\f(3,8)λ(k＝0,1,2,3…)由v＝eq\f(Δx,Δt)知，当k＝0时波速取最小值．解得最小波速vmin＝30m/s(2)波沿x轴负方向传播时，传播距离Δx＝kλ＋eq\f(5,8)λ(k＝0,1,2,3…)由v＝eq\f(Δx,Δt)得v＝(80k＋50)m/s(k＝0,1,2,3…)【变式4-3】(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形图如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点。下列说法正确的是()A．这列波的波速可能为50m/sB．质点a在这段时间内通过的路程一定小于30cmC．质点c在这段时间内通过的路程可能为60cmD．若周期T＝0.8s，则在t＋0.5s时刻，质点b、P的位移相同解析：选ACD由波形图可知波长λ＝40m，且0.6s＝nT＋eq\f(3,4)T(n＝0,1,2，…)，解得周期T＝eq\f(2.4,4n＋3)s(n＝0,1,2，…)。当n＝0时，T＝0.8s，波速v＝eq\f(λ,T)＝50m/s，A正确。由传播方向沿x轴正方向可知质点a在t时刻向上运动，当n＝0时，T＝0.8s，则质点a在这段时间内通过的路程小于30cm；当n＝1时，T＝eq\f(24,70)s，质点a在这段时间内通过的路程大于30cm，B错误。若n＝1，则T＝eq\f(24,70)s，波传播到c点所用时间为eq\f(1,4)T,0.6s＝eq\f(7T,4)，质点c振动的时间为eq\f(7,4)T－eq\f(1,4)T＝eq\f(3,2)T，故在这段时间内质点c通过的路程为6A＝60cm，C正确。若T＝0.8s，t＋0.5s时刻，质点b、P的位移均为负值，大小相等，D正确。【题型5空间周期性导致的多解问题】【例5】(多选)如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15m。当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是()A．0.60mB．0.30mC．0.20m D．0.10m解析：选BD由题意，P、Q两点之间的间距为eq\f(λ,2)＋nλ＝0.15m(n＝0,1,2，…)，故n＝0时，λ＝0.3m；n＝1时，λ＝0.1m。【变式5-1】(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1m和x2＝7m处质点的振动图像分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是()A．7m/sB．2m/sC．1.2m/s D．1m/s[解析]由振动图像可知周期T＝4s，零时刻x1处质点在平衡位置且向下振动，而x2处质点在正的最大位移处。①若波沿x轴正向传播，其波形如图甲所示，x2处质点的平衡位置可能在A1或A2或A3…则波长有：x2－x1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,4)))λ(n＝0,1,2，…)得波速表达式v＝eq\f(λ,T)＝eq\f(\f(x2－x1,n＋\f(1,4)),T)＝eq\f(6,4n＋1)(n＝0,1,2，…)当n＝0时，v＝6m/s，当n＝1时，v＝1.2m/s，C正确。②若波沿x轴负向传播，其波形如图乙所示。则有x2－x1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(3,4)))λ(n＝0,1,2，…)得v＝eq\f(λ,T)＝eq\f(\f(x2－x1,n＋\f(3,4)),T)＝eq\f(6,4n＋3)(n＝0,1,2，…)当n＝0时，v＝2m/s，当n＝1时，v≈0.86m/s，B正确。[答案]BC【变式5-2】一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2s时的波形如图(a)所示，x＝2m处质点的振动图像如图(b)所示，则波速可能是()A.eq\f(1,5)m/s B．eq\f(2,5)m/sC.eq\f(3,5)m/s D．eq\f(4,5)m/s[解析]根据题图(b)可知t＝2s时x＝2m处的质点正经过平衡位置向下振动；又因为该波向x轴负方向传播，结合图(a)，利用“上下坡”法可知x＝2m为半波长的奇数倍，即有(2n－1)eq\f(λ,2)＝2m，(n＝1,2,3，…)，而由图(b)可知该波的周期为T＝4s；所以该波的波速为v＝eq\f(λ,T)＝eq\f(1,2n－1)m/s，(n＝1,2,3，…)，当n＝3时可得波的速率为v＝eq\f(1,5)m/s，故A正确。[答案]A【变式5-3】在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图象.已知该波波长大于2m，求这列波可能的波速.答案见解析解析由振动图象得质点振动周期T