专题23 全等三角形旋转法（解析版）

专题23全等三角形旋转法

一、单选题

1．如图所示，ABAD且ABAD，ABC为直角三角形，ACB90，已知BC2，AC5，则四边

形ABCD的面积为（）

2535

A．B．15C．D．20

22

【答案】C

【详解】解：过A作AEAC，过D作DEAE，垂足为E，如图，

∴DE∥AC，

∵ABAD且ABAD，

∴BADCAE90，即BACCADDAECAD90，

∴BACDAE，

∵ACB90，

∴ACBE90，

∴△BAC≌△DAEAAS，

∴DEBC2，AEAC5，SABCSADE，

∴四边形ABCD的面积为S△ABCS△ADCS△ADES△ADCS梯形ACDE

25535

．

22

故选：C．

2．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA6，PB8，PC10，若将△APB绕着点B逆时针旋转

后得到△CQB，则APB的度数．（）

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A．90B．120C．150D．165

【答案】C

【详解】解：连接PQ，由题意可知ABP≌CBQ，

则QBPB8，PAQC6，ABPCBQ，

∵ABC是等边三角形，

∴ABCABP+PBC60，

∴PBQCBQ+PBC60，

∴VBPQ为等边三角形，

∴PQPBBQ8，

又∵PQ8，PC10，QC6，

∴PQ2＋QC2=PC2，

∴PQC90，

∵VBPQ为等边三角形，

∴BQP60，

∴BQCBQPPQC150

∴APBBQC150，

故选C．

3．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝5，BD＝7，则Rt△ADC的周长为（）

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A．52B．72C．92D．122

【答案】D

【详解】解：延长DC到E，使CE＝AD，连接BE，

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

∵∠BCE+∠DCB＝180°，

∴∠BCE＝∠BAD，

在△ADB和△CEB中，

ABCB

BADBCE

ADCE

∴△ADB≌△CEB（SAS），

∴∠1＝∠2，DB＝BE＝7，

∵∠1+∠3＝90°，

∴∠2+∠3＝∠DBE＝90°，

∴△DBE为等腰直角三角形，

∴DEDB2BE272，

∵AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，

∴ACAB2BC252

∴Rt△ADC的周长＝AD+DC+AC，

＝CE+CD+AC＝DE+AC＝122，

故选D．

4．如图，O是正ABC内一点，OA3，OB4，OC5．将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°

得到线段BO，下列结论错误的是（）

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A．点O与O的距离为4B．AOB150

C．S四边形AOBO′643D．S△AOBS△AOC343

【答案】D

【详解】解：如图1，连接OO′，

由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，

∴∠1＝∠3，

又∵OB＝O′B，AB＝BC，

∴BOA≌BOC(SAS)，

又∵∠OBO′＝60°，

∴△OBO′是等边三角形，

∴OO′＝OB＝4．

故A正确；

∵△BO′A≌△BOC，

∴O′A＝5．

在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，

∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，

故B正确；

132

S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×4＝6+43，故C正确；

24

如图2

将AOC绕A点顺时针旋转60°到ABO'位置，

第4页共47页.

93

同理可得S△S6，

AOC△AOB4

故D错误；

故选D．

5．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相

交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF

＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝62，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】A

【详解】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，

由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，

∵∠EAF＝45°，

∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，

∴∠EAH＝∠EAF＝45°，

在△AEF和△AEH中，

AHAF

EAHEAF=45o，

AEAE

∴△AEF≌△AEH（SAS），

∴EH＝EF，

∴∠AEB＝∠AEF，

∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故①正确；

过A作AG⊥EF于G，

∴∠AGE＝∠ABE＝90°，

在△ABE与△AGE中，

ABEAGE

AEBAEG，

AEAE

∴△ABE≌△AGE（AAS），

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∴AB＝AG，

∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；

∵BE＝2，DF＝3，

∴EF＝BE+DF＝5，

设BC＝CD＝n，

∴CE＝n﹣2，CF＝n﹣3，

∴EF2＝CE2+CF2，

∴25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2，

∴n＝6（负值舍去），

∴AG＝6，

∴SAEF＝1×6×5＝15．故③正确；

△2

如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QM，

由旋转的性质得，BQ＝DN，AQ＝AN，∠BAQ＝∠DAN，∠ADN＝∠ABQ＝45°，

∵∠EAF＝45°，

∴∠MAQ＝∠BAQ+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，

∴∠MAQ＝∠MAN＝45°，

在△AMQ和△AMN中，

AQAN

MAQMAN，

AMAM

∴△AMQ≌△AMN（SAS），

∴MQ＝MN，

∵∠QBM＝∠ABQ+∠ABM＝90°，

∴BQ2+MB2＝MQ2，

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∴ND2+MB2＝MN2，

∵AB＝62，

∴BD＝2AB＝12，

设MN＝x，则ND＝BD﹣BM﹣MN＝9﹣x，

∴32+（9﹣x）2＝x2，

解得：x＝5，

∴MN＝5，故④正确，

故选A．

6．如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长

度可以是（）

A．2B．7C．16D．17

【答案】B

【详解】解：如图，作等边ABQ和等边MBP，连接QP、QM，

在等边ABQ和等边MBP中，QBAPBM60，

∴QBPQBMQBMABM60，

∴QBPABM，

又∵QBAB9，PBMB7，

∴QBPABM（SAS），

∴BQPBAM，PQAM，

∵AM＝BN，

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∴PQBN

在ABC中，ACBCABCBA180，ACB60，

∴MBC18060MABABM120MABABM，

在△QBP中，QPBBQPQBP180，MPB60，

∴MPQ18060BQPQBP120MABABM，

∴MBNMPQ，

在△QMP和△NMB中，

PBMB

MBNMPQ，

PQBN

∴QMPNMB（SAS）

∴MQMN，

在QMB中，QBMBQMQBMB，

∴ABMBMNABMB，

∴2MN16，

∴选项B，MN=7符合题意，

故选B．

7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于

点F，交AC于点G，连接CF交BD于点H，延长CE交AD于点M，连接FM，则下列结论：①点E到AB，BC

3

的距离相等；②∠FCE=45°；③∠DMC=∠FMC；④若DM=2，则BF=．正确的有（）个．

4

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【详解】解：如图1，过E点作HEAB、NEBC，

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∴EHF=ENC=90，

∵在正方形ABCD中，ABC=90，ABD=CBD=45，

∴HENE，即点E到AB，BC的距离相等，故①正确；

HEN=90；

∴HEF+EFN=90，

由∵EFFC，

∴CEN+EFN=90，

∴CENFEH，

∴CENFEH（AAS）

∴EF=EC，

18090

∴FCE==45，故②正确；

2

如图2，延长MD至P，使DP=BF，连接PC，

易证BFCDPC（SAS）

∴FCBPCD，FC=PC，

∵FCE=45，

∴DCP+MCD=ECB+MCD=9045=45，

∴FCMPCM，

又∵MCMC，

∴FCMPCM，

∴FCMPCM，

∴DMCFMC，MFMP，故③正确，

在边长为4的正方形ABCD中，ABBCCDAD4，

若DM=2，则AMAD-MD2，

设BFDPx，则AFABBF4x，MFMPDPMDx2，

在RtAMF中，MF2AF2AM2

44

∴(2x)2(4x)222，解得：x=，故BF；④错误，

33

综上所述，正确的①②③，故选C．

第9页共47页.

二、填空题

8．如图，已知点P是正方形ABCD内的一点，连接PA、PB、PC．若PA4，PB2，APB135，则

PC的长为．

【答案】26

【详解】解：四边形ABCD为正方形，

BABC，ABC90，

把△BAP绕点B顺时针旋转90得到△CBE，连接PE，如图，

BPBE2，CEAP4，PBE90，BECAPB135，

PBE为等腰直角三角形，

PE2PB22，PEB45，

PEC1354590，

在RtPEC中，PE22，CE4，

PC42(22)226．

故答案为：26．

9．如图，等边ABC中，AOB115,BOC125，则以线段OA,OB,OC为边构成的三角形的各角的度

数分别为．

【答案】55，60，65．

【详解】解：将AOB逆时针旋转60，得到△CDB，

第10页共47页.

∵AOB≌CDB，ABC是等边三角形，且旋转角相等，则OBDB,OBD=60

∴BOD是等边三角形.则OBDBOD

又∵AOB≌CDB∴AOBCDB115OADC

故以线段OA,OB,OC三边构成的三角形为OCD

所以ODCCDBODB1156055

CODBOCBOD1256065

OCD180ODCCOD180655560

故答案为：55,60,65.

10．如图，在直角坐标系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB与CD交于点P，若∠APC=45°，则A点

坐标为.

【答案】（1，0）

【详解】解：如图，将DC绕点D逆时针旋转90得到DQ，

第11页共47页.

∵C（4，0）、D（0，2），

则Q（2，6）．

设直线CQ的解析式为ykxb，

将C（4，0），Q（2，6）代入得

04kbk3

，解得，

62kbb12

∴直线CQ的解析式为y3x12．

∵APC45，由旋转的性质得到

APCDCQ45，

∴ABCQ．

∵B（0，3），

∴直线AB的解析式为y3x3，

∴3x30，

∴x1，

∴点A（1，0）．

故答案为：（1，0）．

11．如图，P为等边三角形ABC内一点，且点这到三个顶点A、B、C的距离分别为6、8、10，则ABC的

面积为．

【答案】36253

【详解】∵ABC为等边三角形，

∴BABC，

可将△BPC绕点B逆时针旋转60得△BEA，连EP，且延长BP，作AFBP于点F．如图，

∴BEBP8，AEPC10，PBE60，

第12页共47页.

∴BPE为等边三角形，

∴PEPB8，BPE60，

在△AEP中，AE10，AP6，PE8，

∴AE2PE2PA2

∴△AEP为直角三角形，且APE90，

∴APB9060150

∴APF30，

1

∴在直角APF中，AFAP3，PF3AF33，

2

在直角△ABF中，BFBPPF833，

2

∴AB2BF2AF283332100483，

33

∴ABC的面积AB210048336253

44

故答案为：36253．

12．如图，点C为线段AB的中点，E为直线AB上方的一点，且满足CECB，连接AE，以AE为腰，A

为直角顶点作等腰Rt△ADE，连接CD，当CD最大，且最大值为21时，则AB．

【答案】2

【详解】解：如图1中，将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH，连接CH，DC．

第13页共47页.

∵∠DAE＝∠HAC＝90°，

∴∠DAH＝∠EAC，

∵DA＝EA，HA＝CA，

∴△DAH≌△EAC（SAS），

∴DH＝CE，

∵CD≤DH＋CH，，

∴当D，C，H共线时，DC最大值=21，如图2中，

设AC=x，则BC=CE=DH=x，CH=2x，

∴2x+x=21，解得：x=1，

∴AB=2AC=2．

故答案是：2．

三、解答题

13．已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC、CD上，且EAF45，我们把这种模

型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．

(1)在图1中，连接EF，为了证明结论“EFBEDF”，小亮将ADF绕点A顺时针旋转90后解答了这

个问题，请按小亮的思路写出证明过程；

(2)如图2，当EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？

【答案】(1)见解析；(2)EFDFBE．

第14页共47页.

【详解】（1）证明：如图1，

由旋转可得GBDF,AFAG,BAGDAF

四边形ABCD为正方形

BADADFABC90

ABCABG180

G、B、C三点在一条直线上

EAF45

BAEDAF45

BAGBAE45EAF

在AGE和AFE中

AGAF

GAEEAF

AEAE

AGEAFESAS

GEEF

GEGBBEBEDF

EFBEDF

（2）结论：EFDFBE．

理由：如图2，把ABE绕点A逆时针旋转90，使AB与AD重合，点E与点G对应，同（1）可证

得AEFAGFSAS

EFGF,且DGBE

EFDFDGDFBE

第15页共47页.

14．如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF=DE，∠

A=60°．

（1）写出图中一对全等三角形：____________________．

（2）求证：△BEF是等边三角形；

（3）若菱形ABCD的边长为2，设△DEF的周长为m，则m的取值范围为（直接写出答案）；

（4）连接AC分别与边BE、BF交于点M、N,且∠CBF＝15º，试说明：MN2CN2AM2

【答案】（1）△ABE≌△DBE（2）见解析（3）2+3≤m＜4（4）证明见解析.

【详解】解：（1）△ABE≌△DBE（或△EBD≌△FBC）；

（2）∵ABCD为菱形，

∴AB=AD=DC=BC

∵∠A=∠C=60°

∴△ABD与△BDC为等边三角形,

∴∠ABD=∠DBC=∠C=60°，BD=BC，

∵DE=FC

∴△EDB≌△FCB

∴EB=FB，∠EBD=∠FBC

∴∠EBF=∠DBC=60°

∴△EBF是等边三角形

（3）如图1，由（2）知，△BEF是等边三角形，则EF=BE=BF．

则m=DE+DF+EF=AD+BE．

当BE⊥AD时，BE最短，此时△DEF的周长最短

∵在Rt△ABE中，

∵AEB90,ABE30,

1

∴AEAB1,

2

∴BEAB2AE23,

∴m=2+3．

第16页共47页.

当点E与点A趋于重合时，△DEF的周长最长，此时m=2+2=4．

综上所述，m的取值范围是：2+3≤m＜4；

故答案是：2+3≤m＜4；

（4）把△BNC绕点B逆时针旋转120，使CB与AB重合，N对应点为N'，连接MN'

∴∠NBC=∠N'BA

∴∠N'BA+∠EBA=60°=∠EBF

∵BN=BN'，BM=BM

∴△N'BM≌△NBM（SAS）

∴MN=MN'，∠MN'B=∠MNB=45°

又∵∠AN'B=∠BNC=180°-（15°+30°）=135°

∴∠AN'M=135°-45°=90°

∴AM2=AN2+MN2=MN2+NC2

15．如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠

EAF=1∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．

2

（1）思路梳理

第17页共47页.

将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，

G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；

（2）类比引申

如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=1∠

2

BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写

出DE的长为________________.

【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）5.

【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，

∵∠B＋∠ADC＝180°，

∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线，

∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝1∠BAD，

2

∴∠EAF＝∠GAF，

AE＝AG

在△AFG和△AFE中，EAF＝GAF，

AF＝AF

∴△AFG≌△AFE，

∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；

（2）EF＝DF−BE；

证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌ADE'，

∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，

∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线，

∵∠EAF＝1∠BAD，

2

1

∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝∠BAD，

2

∴∠EAF＝∠E'AF，

第18页共47页.

AE＝AE

在△AEF和△AE'F中，EAF＝EAF，

AF＝AF

∴△AFE≌△AFE'（SAS），

∴FE＝FE'，

又∵FE'＝DF−DE'，

∴EF＝DF−BE；

（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，

同（1）可证△AED≌AED'，

∴DE＝D'E．

∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，

∴∠ECD'＝90°，

在Rt△ECD'中，ED'＝EC2+D'C2=EC2+BD2=5，即DE＝5，

故答案为：5．

16．如图所示，已知ABC为等腰直角三角形，BAC90，E，F是BC边上的点，且EAF45．求证：

BE2CF2EF2．

【答案】见解析

【详解】方法1如图8－8所示，将ACF绕点A按顺时针方向旋转90．

第19页共47页.

∵ABC为等腰直角三角形，BAC90，

∴ABAC．

∴旋转后AC边与AB边重合，记旋转后的三角形为△ABD．

∴ADAF，BADCAF，ABDC45，BDCF．

∵EAF45，BAC90，

∴BAECAFBAEBADDAE45FAE．

在ADE与AEF中，

ADAF

DAEFAE，

AEAE

∴△ADE≌△AEF．

∴EFDE．

∵DBEABDABC90，

∴EF2DE2BD2BE2BE2CF2．

方法2如图8－9所示，将ABE沿直线AE翻折得AGE，连接FG，则ABAGAC，BAEGAE，

BAGE45．

由BAECAFEAGFAGEAF45，

可得GAFCAF．

在AGF和ACF中，

AGAC

GAFCAF，

AFAF

∴AGF≌ACF，

∴CFGF，CAGF45．

∴EGF90．

∴EF2EG2FG2BE2CF2．

17．问题解决：如图1，P是等边ABC内一点，且PA3，PB4，PC5，若将△PAC绕点A逆时针旋

转后，得到P'AB，则点P与P之间的距离为PP＝______，APB＝______度．

第20页共47页.

类比探究：如图2，点P是正方形ABCD内一点，PA1，PB2，PC3．你能求出APB的度数吗？

写出完整的解答过程．

迁移运用：如图3，若点P是正方形ABCD外一点，PA5，PB2，APB45，则PC=______．（直接

写出答案）

【答案】问题解决：4、150；类比探究：APB135；迁移运用：33

【详解】解：问题解决：如图1，连接PP，

ABC是等边三角形，

BAC60，

P'AB为PAC绕点A逆时针旋转所得，

∴BAP’≌CAP，

第21页共47页.

BP’CP5

又旋转后AC与AB重合，PA与PA重合，

PAPBAC60，

APP是等边三角形，

PPPA3，APP’60，

由旋转性质得：PBPC5，

∵324252，

∴BP2PP2PB2，

∴BPP是直角三角形，BPP90，

APBAPPPPB6090150．

故答案为：4；150；

类比探究：如图2，

将PAB绕点B顺时针旋转90，使AB与BC重合，连接PP，

则PBP90，PBPB2，PCPA1，

PBP是等腰直角三角形．

由勾股定理得：

PP2PB2PB222228，

PC2121，PC232=9，

PP2PC2PC2，

△PPC是直角三角形，PPC90，

△PBP是等腰直角三角形，

PPB45，

BPCPPBPPC4590135，

APBBPC135；

迁移运用：如图3，

第22页共47页.

将PAB绕点B顺时针旋转90，使AB与BC重合，连接PP，

则PBP90，PBPB2，P'CPA5，BPC=APB45，

PBP是等腰直角三角形，

BPP=PPB45，

PP2PB2PB222228，

APB=PPB，

P在线段AP上，

PPC=PPBBPC454590，

△PPC是直角三角形，

∴PC2PP2PC285233，

∴PC33．

故答案为：33．

18．已知:△ABC中，CA=CB,∠ACB=90º，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90º

(1)如图所示，求证：DA+DB=2DC

(2)如图所示，猜想DA．DB．DC之间有何数量关系？并证明你的结论.

第23页共47页.

(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH=.

3

【答案】（1）详见解析；（2）DA-DB=2DC；(3)

2

【详解】证明：（1）如图，过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点

∵∠ACB=90°，CQ⊥CD，∠ADB=90°

∴∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠QCB=90°，∠ADC+∠CDQ=90°，∠CDQ+∠Q=90°

∴∠ACD=∠QCB，∠ADC=∠Q，且AC=BC

∴△ACD≌△BCQ（AAS）

∴CD=CQ，AD=BQ

∴DQ=DB+BQ=DB+AD

∵CD⊥CQ，∠DCQ=90°

∴DQ=2CD

∴DB+AD=2CD

（2）DA-DB=2CD

理由如下：如图，过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，

∵CA=CB，∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠CAB=45°

∵∠ACB=90°，QC⊥CD

∴∠ACB=∠ADB=90°，

第24页共47页.

∴点A，点B，点D，点C四点共圆，

∴∠ADC=∠ABC=45°

∵QC⊥CD

∴∠CQD=∠CDQ=45°

∴CQ=CD，且∠QCD=90°

∴QD==2CD

∵∠ACB=∠DCQ=90°，

∴∠ACQ=∠DCB，且AC=BC，CQ=CD

∴△ACQ≌△BCD（SAS）

∴AQ=BD

∴QD=2CD=DA-AQ=DA-BD，

即：DA-DB=2DC

（3）如图，过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，

∵∠ACB=90°，QC⊥CD

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∴点A，点B，点C，点D四点共圆，

∴∠CDQ=∠CAB=45°

∵QC⊥CD

∴∠CQD=∠CDQ=45°

∴CQ=CD，且∠QCD=90°

∴△DCQ是等腰直角三角形，

∵∠ACB=∠DCQ=90°，

∴∠ACD=∠QCB，且AC=BC，CQ=CD

∴△ACD≌△BCQ（SAS）

∴AD=BQ，

∴DQ=DB-BQ=DB-AD=3

∵△DCQ是等腰直角三角形，DQ=3，CH⊥DB

3

∴CH=DH=HQ=1DQ=．

22

3

故答案为．

2

第25页共47页.

19．（1）问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上．若∠EAF＝45°，求证：BE

＋FD＝EF；

（2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边

EM交CD于F点．若BE＝3，EC＝2，求EF的长；

（3）联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ

＝34°，则∠QAD＝_______°．

【答案】（1）见解析；（2）17；（3）34°

4

【详解】（1）证明：如图1，将ABE绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，得到了旋转后的ADG，

∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，BE＝DG，

∴∠ADF+∠ADG＝180°，

∴F，D，G三点共线，

∵∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠FAD＝45°，

∴∠DAG+∠FAD＝45°，

∴∠EAF＝∠FAG，

在EAF与GAF中，

AEAG

EAFFAG，

AFAF

∴EAF≌GAF（SAS），

∴EF＝FG，

第26页共47页.

∵DG+FD＝FG，

∴BE＋FD＝EF；

（2）解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC，∠B＝∠C＝∠A＝∠D＝90°，

∵BE＝3，EC＝2，

∴AB＝BC＝5，

∵翻折，

∴设AG＝GE＝x，则BG＝5－x，

∵在RtBGE中，BG2BE2GE2，

∴(5x)232x2，

解得：x3.4，

∴BG5x1.6，

∵翻折，

∴∠GEF＝∠A＝90°，

∴∠GEB＋∠FEC＝∠GEB＋∠BGE＝90°，

∴∠FEC＝∠BGE，

又∵∠B＝∠C，

∴△BGE∽△CEF，

BGGE

∴，

CEEF

1.63.4

即：，

2EF

17

解得：EF，

4

∴EF的长为17；

4

（3）解：如图，连接AF，设∠FQA＝∠FEA＝m，

∵EF＝EA，

11

∴∠EAF＝∠EFA＝(180m)90m，

22

∵∠FQA＝∠FEA，∠FOQ＝∠AOE，

∴△FOQ∽△AOE，

FOQO

∴，

AOEO

FOAO

∴，

QOEO

又∵∠FOA＝∠QOE，

第27页共47页.

∴△FOA∽△QOE，

1

∴∠AQE＝∠AFE＝90m，

2

∵∠CFQ＝34°，∠C＝90°，

∴∠CQF＝90°－∠CFQ＝56°，

∵∠CQF＋∠FQA＋∠AQE＝180°，

1

∴56°＋m＋90m＝180°，

2

解得：m＝68°，

∵∠D＝90°，

∴∠QAD＝90°－∠AQE

1

＝90°－(90m)

2

1

＝m

2

＝34°，

故答案为：34．

20．（1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将ADF绕点A顺时针旋转90°与

ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接

EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．

（2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长线上

的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．

（3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且

∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示）

第28页共47页.

abc

【答案】（1）EF＝GE，理由见详解；（2）BE−DF＝EF，理由见详解；（3）BE＝，理由见详解

2

【详解】解：（1）EF＝GE，理由如下：

∵△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合，

∴AG＝AF，

∵AE平分∠GAF，

∴∠GAE＝∠FAE，

在△GAE和△FAE中，

AGAF

GAEFAE，

AEAE

∴△GAE≌△FAE（SAS），

∴GE＝EF；

（2）BE−DF＝EF，理由如下：

如图2，在BE上取BG＝DF，连接AG，

∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠ADF，

在△ABG和△ADF中，

BGDF

BADF，

ABAD

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，

∵∠BAD＝2∠EAF，

∴∠GAF＝2∠EAF，

∴∠GAE＝∠EAF，

在△GAE和△FAE中

第29页共47页.

AGAF

GAEFAE，

AEAE

∴△GAE≌△FAE（SAS），

∴GE＝EF，

∴BE−DF＝EF；

（3）如图，作CF⊥AD，交AD的延长线于F，取FG＝BE，连接CG，

∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，

∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，

∵BE＝GF，

∴△CBE≌△CFG（SAS），

∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，

∵∠DAB＝60°，

∴∠FCB＝120°，

∵∠DCE＝60°，

∴∠DCF＋∠BCE＝60°，

∴∠DCG＝60°，

又∵CG＝CE，

∴△ECD≌△GCD（SAS），

∴GD＝DE，

∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL），

∴AF＝AB，

∴b＋a−BE＝c＋BE，

abc

∴BE＝．

2

21．如图，ABCD为矩形，AB＝43，AD＝4，EF为ABCD内两点，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值．

第30页共47页.

【答案】83

【详解】解：如图所示，将△ADF绕点A逆时针旋转60°于△ADF，将BEC绕点B顺时针旋转60°于

△BEC，连接FF，EE，作DGAB交BA的延长线于点G，作CHAB交AB的延长线于点H，

∴△ADF≌△ADF，△BEC≌△BEC，

∴DFDF，CⅱE=CE，AFAF，BEBE，

又∵旋转角等于60°，

∴FAF60，EBE60，

∴AFF和BEE都是等边三角形，

∴AFFF，BEEE，

∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE=DFFFFEEEECDC，

∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE的最小值为DC的长度．

∵DAD60，CBC60，

∴DAG30，CBH30，

又∵DGAB，CHAB，

1111

∴DGADAD2，CHCBCB2，

2222

∴DGCH，

又∵DG∥CH，

∴四边形DGHC是平行四边形，

又∵DGAB，

∴四边形DGHC是矩形，

∴DCGH，

第31页共47页.

∴AGDA2DG2422223，BHBC2HC2422223，

∴GHGAABBH23432383．

∴DCGH83．

∴（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值为83．

22．RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为△ABC外一点，且∠CEA＝45°．求证：AE⊥BE．

【答案】见解析

【详解】证明：过C点作CFCE交EA的延长线于F，

CEA45，

FCEA45，

CFCE，

FCAACEACEECB90，

FCAECB，

在FCA和ECB中，

CFCE

FCAECB，

ACBC

ACFBCE(SAS)，

BECF45，

AEBAECBEC90，

即AEBE．

第32页共47页.

23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝23．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，

求DE的长．

【答案】DE＝33﹣3．

【详解】解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示：

过点A作ANBC于点N，如图，

∵AB＝AC＝23，BAC＝120，

∴BN＝CN，B＝ACB＝30，

在RtBAN中，B＝30，AB＝23，

1

∴AN＝AB＝3，

2

∴BN＝AB2AN2＝3，

∴BC＝6，

∴ACB＝B＝ACF＝30，

∴ECG＝60．

∵CF＝BD＝2CE，

∴CG＝CE，

∴CEG为等边三角形，

∴EG＝CG＝FG，

1

∴EFG＝FEG＝CGE＝30，

2

∴△CEF为直角三角形，

∵BAC＝120，DAE＝60，

∴BADCAE＝60，

∴FAE＝FACCAE＝BADCAE＝60．

在VADE和△AFE中，

第33页共47页.

ADAF

DAEFAE，

AEAE

∴ADE≌AFE（SAS），

∴DE＝FE．

设EC＝x，则BD＝CF＝2x，DE＝FE＝6﹣3x，

在RtCEF中，CEF＝90，CF＝2x，EC＝x，

EF＝CF2EC2＝3x，

∴63x3x，

∴x33，

∴DE3x333，

答：DE的长为333．

24．（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是边BC、CD上的点，且

1

EAFBAD．求证：EFBEFD；

2

（2）如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E、F分别是边BC、CD上的点，且

1

EFBEFD；求证：EAFBAD，

2

（3）如图3，在四边形ABCD中，ABAD，BADC180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，

且EAF40，BAD80，写出EF、BE、FD之间的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EFBEFD；理由见解析

【详解】（1）证明：如图1中，延长EB到G，使BGDF，连接AG．

第34页共47页.

∵ABGABCD90，ABAD，

∴ABG≌ADF（SAS），

∴AGAF，12，

1

∴1323EAFBAD，

2

∴GAEEAF，

∵AEAE，

∴AEG≌AEF（SAS），

∴EGEF，

∵EG=BE+BG，

∴EFBE+FD；

（2）证明：如图2，延长CB至M，使BMDF，连接AM．

∵ABC+D180，1+ABC180，

∴1D，

在ABM与△ADF中，

ABAD

1D，

BMDF

∴ABM≌ADF（SAS），

∴AFAM，23，

∵EFBE+DFBEBMEM，

在△AME与△AFE中，

AEAE

EMEF，

AMAF

∴AME≌AFE（SSS），

∴MAEEAF，

1

∴34EAFMAF，

2

第35页共47页.

∵MAF34EAF，23，

∴MAF24EAFBAD，

1

∴EAFBAD；

2

（3）解：EFBEFD．

证明：如图3，在BE上截取BG，使BGDF，连接AG．

∵BADC180，ADFADC180，

∴BADF．

在ABG与△ADF中，

ABAD

ABGADF，∴ABG≌ADF（SAS）．

BGDF

∴BAGDAF，AGAF．

∴BAD＝BAGGADDAFGADGAF80，

∴GAEGAFEAF804040，

∴GAEEAF．

∵AEAE，

∴AEG≌AEF（SAS）．

∴EGEF，

∵EGBEBG，

∴EFBEFD．

25．如图，菱形ABCD与菱形EBGF的顶点B重合，顶点F在射线AC上运动，且BCDBGF120，对

角线AC、BD相交于点O．

AE

（1）如图1．当点F与点O重合时，直接写出的值为；

FD

（2）当顶点F运动到如图2的位置时，连接CG，CGBG，且CGBC，试探究CG与DF的数量关系，

说明理由，并直接写出直线CG与DF所夹锐角的度数；

（3）如图3，取点P为AD的中点，若B、E、P三点共线，且当CF＝2时，请直接写出BP的长．

第36页共47页.

3

【答案】（1）；（2）FD3CG，30；（3）37

3

【详解】解：（1）设菱形ABCD边长AB=2a，

∵在菱形ABCD中，BCDBGF120，

∴ACBD，ABC60，BAD120，

3

∴ABD30，BAO60，BF=FDAB=3a，

2

∵在四边形EBGF是菱形，BGF120，BEEF，

EBHEFH30，

AFE60，

∴AFEEAO=60，

∴AEEF，

1

∴AEEF=BEABa，

2

AEa3

．

FD3a3

（2）FD3CG，直线CG与DF所夹锐角的度数为30．

理由如下，如图，连接BF，延长GC交FD于N，

设菱形ABCD的边长为2a，

第37页共47页.

∵CGBG，且CGBG，

2

∴GBCGCB=45，CGBC2a

2

∵GBE60，

∵四边形EBGF是菱形，BGF120，

1

GBFBFG=GBE30，

2

∴CBFGBCGBF15，

∴OBFOBCCBF301545，

∵ACBD，BODO，

∴BFOOBF45，BFDF，

由（2）可知：BO3a，

∴BFDF6a，

∴DF3CG，

由B、D是关于AC的轴对称可知，CDFCBF15，

又∵DCN180BCGBCD15，

∴GNFCDFDCN30，

即直线CG与DF所夹锐角的度数为30；

（3）BP37，

过程如下：依题意，作出图形，此时B、E、P三点共线，

连接BF，并将线段BF绕点B逆时针旋转60°到BM位置，连接MG、MA，

∵CBAFBM=60，BCBA

∴BCFBAM（SAS）

∴AM=CF=2，MABFCB60，

1

∵EBFGBE30，

2

第38页共47页.

∴MBNFBM-FBN30，

∴MBGFBG30，

∴BNFBNM（SAS），

∴FNMN

过M点作MH⊥CH，

∵BAO60，

∴MAH60，HMA30，

1

∴AHAM1，MH3AH3，

2

取OD的中点Q，连接QP，

∵AP=PD，

1

∴PQOA，PQ//OA，

2

∴BNOBPQ，

NOBO2OQ2

∴，

PQBQ3OQ3

21

∴NOPQOA，

33

1

设菱形ABCD的边长为2a，则AOCOABa，

2

12

∴ANAOONaaa，

33

14

MNFNCOONCFaa2a2，

33

2

NHNAAHa1，

3

在RtMGH中，NH2MH2MN2，

22

224

∴a1(3)a2，

33

解得a1=0（舍去），a2=3，

13339

∴PQa，BQOD3a3，

22222

∵在RtBPQ中，BQ2PQ2BP2，