《常微分方程》课件第8章

第8章定性理论8.1解的稳定性8.2一般定性理论的概念8.3平面动力系统8.4结构稳定性、分支与混沌8.5首次积分8.6守恒系统 8.1解的稳定性

1.李雅普诺夫稳定性

考虑方程组(8.1)即对任给的ε>0,都有δ>0,使得只要|ξ-ξ0|<δ,就有

然而如果将有限区间τ≤t≤T换成无限区间t≥τ，情况就大不相同了，这时初值的微小变化有可能引起解的巨大变化.例8.1

初值问题的饱和解为它对所有t≥τ有定义.因为φ(t,τ,0)≡0，所以|φ(t,τ,ξ)-φ(t,τ,0)|=|ξ|et-τ，它在无限区间t≥τ上是无界的，不论|ξ|多么小，只要它不为零.

研究解在无限区间上对初值的连续性，便导致李雅普诺夫意义下的稳定性问题.

假设解x=φ(t,τ,ξ0)在t≥τ上有定义.如果对任意选定的ε>0,都对应存在δ>0,使得当|ξ-ξ0|<δ时，解x=φ(t,τ,ξ)在t≥τ上有定义，且满足注8.1

如果解x=φ(t,τ,ξ0)在t≤τ上有定义，则也可以引出负向稳定性的概念.但是在一般情况下，我们只考虑正向稳定性.

例8.2

如果n维齐次线性方程组(A(t)是n×n矩阵函数)(8.2)任给ε>0，存在t0>0，当t≥t0时,有从而知道解x=x(t)是稳定的，再由式(8.2)知它也是渐近稳定的.

2.按第一近似决定稳定性

若作未知函数的变换：则方程组(8.1)化为方程组(8.1)的解x=φ(t,τ,ξ0)对应于上述方程组的零解y=0.因此我们不妨设方程组(8.1)有零解x=0，而且在适当的可微性假设下，方程组(8.1)可改写为(8.3)其中R(t,x)是f(t,x)关于x的展开式中所有高于一次项的总和.齐次线性方程组(8.4)称为方程组(8.3)的第一近似方程组.

基于这种背景，我们假设A(t)在t≥τ上连续，R(t,x)在t≥τ,|x|<H上连续，局部地满足李氏条件，R(t,0)≡0，且对t≥τ一致地有(8.5)

我们先讨论如何判定方程组(8.4)零解的稳定性.定理8.1

设Φ(t)是方程组(8.4)的一个基本解矩阵.方程组(8.4)的零解:

(1)是稳定的，当且仅当Φ(t)在t≥0上有界；

(2)是渐近稳定（实际上是全局渐近稳定）的，当且仅当定理8.2

当A(t)是常矩阵A时，方程组(8.4)的零解:

(1)是渐近稳定（也是全局渐近稳定）的，当且仅当A的全部特征根都有负的实部；

(2)是稳定的，当且仅当A的全部特征根的实部是非正的，并且那些实部为零的特征根对应的若尔当小块都是一阶的；

(3)是不稳定的，当且仅当A的特征根中至少有一个实部为正，或者至少有一个实部为零，而它所对应的若尔当小块是高于一阶的.

这两个定理容易从通解结构定理推出.

方程组(8.3)的零解稳定性能不能由第一近似方程组(8.4)的零解稳定性决定呢？人们曾对此并不怀疑.李雅普诺夫第一个指出，在一般情形下，对上述问题的回答是否定的.同时他也正面肯定了在很广泛的条件下，方程组(8.3)的零解的稳定性可由其第一近似方程组(8.4)来决定.定理8.3

设A(t)是常矩阵A.

(1)若A的全部特征根都具有负的实部，则方程组(8.3)的零解是渐近稳定的；

(2)若A的特征根中至少有一个具有正的实部，则方程组(8.3)的零解是不稳定的.

证明

结论(1)、结论(2)的证明可参看参考文献［7］第13章定理1.2.证明分以下三步：

①把方程组(8.3)的解x=φ(t,τ,ξ)简记为φ(t).应用常数变易公式，在x=φ(t)的定义区间上，有(8.6)由于A的全部特征根实部为负，因此存在正数K和ρ，使得当t≥τ时有(8.7)由条件(8.5)知，存在正数δ，使得当|x|≤δ及t≥τ时有(8.8)

②应用格朗沃尔不等式，由此推出(8.9)

③应用延展定理，由式(8.9)知，必有t1=∞.再由式(8.9)及渐近稳定的定义即得结论(1)成立.

为了应用定理8.3,人们需要考察矩阵A的特征根的实部.下述的结果常被使用（见参考文献［27］）.命题8.1

设是一实系数多项式.记D1=a1，和其中ai=0(i>n).那么，P(λ)=0所有根的实部均是负的，当且仅当Dk>0(k=1,…,n)，并且ai>0(i=1,…,n).

所谓临界情形，即A的特征根中没有实部为正但有实部为零的情形，方程组(8.3)的零解的稳定性不能应用定理8.3来判定.这时方程组(8.3)的零解的稳定性视具体情况而定.

例8.3

讨论方程组零解的稳定性，其中σ是常数，取值-1、0和1.

解容易算出它的第一近似方程组系数矩阵的特征根是±i，因此定理8.3不能用.但是容易看出，对上述方程组的任何解x=x(t),y=y(t)有若x=x(t),y=y(t)满足初值条件x(0)=x0,y(0)=y0，则由上式可解出由此看出：当σ=-1时，零解全局渐近稳定；当σ=0时，零解稳定；当σ=1时，零解不稳定.例8.4

讨论方程组所以解x=0,y=C是不稳定的.

3.李雅普诺夫第二方法

为了处理稳定性问题，李雅普诺夫创立了两种著名的方法，即第一方法和第二方法.第一方法要利用微分方程的级数解，在他之后没有得到多大发展.第二方法又称为直接方法，是寻求某个与所考虑微分方程有关的所谓李雅普诺夫函数，根据这种函数的特征直接去判断解的稳定性.例8.5中的x2+y2正是这样的函数.例8.5

讨论方程组(8.10)零解的稳定性，其中σ是常数，取值-1、0和1.解取函数(8.11)记方程组(8.10)满足初值条件x(τ)=x0,y(τ)=y0的解为x=x(t),y=y(t),则解之，得由此可见，当σ=-1时，方程组(8.10)的零解是全局渐近稳定的；当σ=0时是稳定的；当σ=1时是不稳定的.

该例中的函数式(8.11)正是方程组(8.10)的李雅普诺夫函数.

现在一般介绍李雅普诺夫第二方法.为简单计，我们只考虑右端不显含自变量t的方程组(8.12)其中x和f(x)都是n维列向量.这种方程组称为自治方程组，或称为驻定系统.

假设f(0)=0（因而方程组(8.12)有零解），f(x)在域上连续，且局部地满足李氏条件.

设V(x)为定义在(8.13)上的连续可微纯量函数.如果则称V(x)是式(8.13)上的定正（定负）函数；如果则称V(x)是式(8.13)上的常正（常负）函数.

引进记号(8.14)其中fi(x)是f(x)的第i个分量，则通常被称为函数V(x)沿着方程组(8.12)的方向导数.

下面的结果就是经典的李雅普诺夫稳定性定理，它巧妙地将微分方程解的稳定性的判定与构造具有某种性质的纯量函数（习惯上称为李雅普诺夫函数）联系起来.定理8.4

设V(x)是式(8.13)上的定正函数.

(1)如果式(8.14)是常负函数，则方程组(8.12)的零解是稳定的；

(2)如果式(8.14)是定负函数，则方程组(8.12)的零解是渐近稳定的；

(3)如果式(8.14)是定正函数，则方程组(8.12)的零解是不稳定的.

从而由此，注意到记号rε的定义就知根据延展定理，上式包含t1=∞.这就证明了结论(1).

再证(2).按假设，式(8.14)是定负的，自然更是常负的，故由结论(1)知，方程组(8.12)的零解是稳定的.还要证明的是，存在δ0>0，使得当|ξ|<δ0时，(8.15)取δ0>0，使得当|ξ|<δ0,t≥τ时，|φ(t,τ,ξ)|<h.根据结论(1),这样的δ0是存在的.

由于φ(t,τ,ξ)在t≥τ上有界，因此必存在递增地趋于+∞的tk，使得(8.16)

另一方面，对任何t>τ，根据式(8.14)的定负性，当tk>t时有由此，注意到tk是递增的，令k→+∞,取极限就得到(8.17)

由于方程组(8.12)是自治的，根据唯一性定理，对任何k,φ(t+tk,τ,ξ)与φ［t+τ,τ,φ(tk,τ,ξ)］必恒等（因为二者都是方程组(8.12)的解，而在t=0时取同样的初值）.特别就有从而

最后证明(3).用反证法.假设零解是稳定的，即对任给的ε>0，恒存在δ(ε)>0，使得(8.18)任取ξ≠0,|ξ|<δ(ε).由式(8.14)的定正性，首先有从而存在α>0，使得|φ(t,τ,ξ)|≥α.据此，按式(8.14)的定正性，存在β>0，使得积分得由式(8.18)知，上式左端是有界的，而右端是无界的.这一矛盾表明结论(3)成立.

当一个微分方程组的零解为稳定、渐近稳定或不稳定时，是否一定存在相应的李雅普诺夫函数？这便是著名的李雅普诺夫反问题.已有研究表明：对这个问题的回答是肯定的（见参考文献［34］）.但是理论上存在和实际上能否具体构造出来是两回事.如何构造李雅普诺夫函数，没有一般的方法可遵循，至今仍是一个吸引人的研究课题.例8.6

讨论方程组(8.19)零解的稳定性，其中f(x,y)和g(x)连续，且在原点(0,0)附近f(x,y)≥0,xg(x)>0(x≠0).

解取函数则它在原点附近是定正的，且是常负的，故由定理8.4知方程组(8.19)的零解是稳定的.例8.7

讨论方程组(8.20)零解的稳定性.

解取函数

例8.8讨论方程组(8.21)零解的稳定性.

解尝试选取函数其中a,b,c>0待定.注意到例8.9

假设常系数线性方程组和系数矩阵的特征值都具有负的实部，试找一个二次型V(x,y)使其按方程组对t的全导数并从V的性质讨论方程组的零解的稳定性.

解设 ，则由此得代数方程组解得所以由于原方程组的特征方程的根都具有负的实部，即有于是Δ=(a+d)(ad-bc)<0，因而A>0,AC-B2>0.

因此二次型 是正定的，则是负定的，所以方程组的零解是渐近稳定的. 8.2一般定性理论的概念

假设一个运动质点M在时刻t的空间坐标为x=(x1,…,xn)，并且已知它在x点的运动速度为v(x)=(v1(x),…,vn(x))，它只与空间坐标x有关.则我们推得质点M的运动方程为(8.22)它是一个自治微分方程.如果函数v(x)满足微分方程解的存在和唯一性定理的条件，则对于任何初值条件(8.23)方程(8.22)存在唯一的满足初值条件(8.23)的解(8.24)它描述了质点M在t0时刻经过x0点的运动.我们称x取值的空间Rn为相空间，而称(t,x)取值的空间R1×Rn为增广相空间.按照微分方程的几何解释，方程(8.22)在增广相空间中定义了一个线素场，而解式(8.24)在增广相空间中的图像是一条通过点(t0,x0)与线素场吻合的光滑曲线（亦即积分曲线）.

现在我们从运动的观点给出另一种几何解释：方程(8.22)在相空间中的每一点x，给出了一个速度向量(8.25)因而它在相空间中定义了一个速度场(或称向量场)；而解的表达式(8.24)在相空间中给出了一条与速度场(8.25)吻合的光滑曲线（称它为轨线），其中时间t为参数，且参数t0对应于轨线上的点x0.随着时间t的演变，质点的坐标x(t)在相空间中沿着轨线变动，通常用箭头在轨线上标明相应于时间t增大时质点的运动方向.

须注意，积分曲线是增广相空间中的曲线，而轨线则是相空间中的曲线.容易看出，积分曲线沿t轴向相空间的投影就是相应的轨线.而且轨线有明显的力学意义：它是质点M运动的轨迹.

由于在一般情形下得不出解式(8.24)的明显表达式，因此我们面临的任务是：从向量场式(8.25)的特性出发，去获取轨线的几何特征，或者更进一步，去弄清轨线族的拓扑结构图（称为相图）.因此，微分方程的定性理论又称做几何理论.

如果x0是速度场(8.25)的零点，即v(x0)=0，则方程(8.22)有一个定常解x=x0.换句话说，点x0就是一条（退化的）轨线.这时我们称点x0为方程(8.22)的一个平衡点,它表示了运动的一种平衡态.今后我们会看到，在平衡点附近的轨线可能出现各种奇怪的分布，而且当t→∞（或-∞）时，其他轨线有可能趋向（或远离）平衡点.通常，把方程(8.22)的平衡点叫做奇点.

如果解式(8.24)是一个非定常的周期运动，即存在T>0，使得则它在相空间中的轨线是一条闭曲线，亦即闭轨.随着t→∞，质点M在闭轨上作周而复始的运动.

在定性理论中，对奇点和闭轨的分析是一个基本的问题.例8.10

设质点M(x,y)在oxy平面上运动，已知它在(x,y)点的速度v(x,y)具有如下的水平与垂直分量：则质点的运动方程为(8.26)应用极坐标，令x=rcosθ，y=rsinθ,可以把方程(8.26)转化为然后由此积分得

(1)当(x0,y0)=(0,0)时，轨线就是奇点(0,0).此时，(0,0)是系统式(8.26)的唯一平衡点.

(2)当(x0,y0)点在单位圆周Γ之上时，相应的轨线就是闭轨Γ，它以逆时针方向为正向.

(3)当(x0,y0)点在Γ之内并且不同于点(0,0)时，相应的轨线是Γ内的非闭曲线.当t→+∞时，它逆时针盘旋趋向于平衡点(0,0)；当t→-∞时，它顺时针盘旋趋于闭轨Γ.

(4)当(x0,y0)点在Γ之外时,相应的轨线就是Γ外部的非闭曲线，而且当t→-∞时，它顺时针盘旋趋于Γ.图8.1图8.2

下面是动力系统的几个基本性质.

（1）积分曲线的平移不变性：即系统式(8.22)的积分曲线在增广相空间中沿t轴任意平移后还是系统式(8.22)的积分曲线.事实上，设x=φ(t)是系统式(8.22)的一个解，则由方程的自治性可以直接验证：对任意的常数C，x=φ(t+C)也是系统式(8.22)的解.

(2）过相空间每一点轨线的唯一性：即过相空间中的任一点，系统式(8.22)存在唯一的轨线通过此点.图8.3性质（1）和性质（2）说明，每条轨线都是增广相空间中沿t轴可平移重合的一族积分曲线在相空间中的投影，而且只是这族积分曲线的投影.

此外，由性质（1）还可知道，系统式(8.22)的解式(8.24)的一个平移φ(t-t0,0,x0)也是系统式(8.22)的解，并且容易看出它与解式(8.24)一样满足相同的初值条件式(8.23),从而由解的唯一性得知它们应该恒等，即因此，在系统式(8.22)的解族中我们只需考虑相应于初始时刻t0=0的解，并简记为

(3）群的性质：系统式(8.22)的解φ(t,x0)满足关系式:(8.27)注8.2

假设对于任意的x0∈Rn，系统式(8.22)的解φ(t,x0)都在-∞<t<+∞上存在(不难证明：如果系统式(8.22)不具有此性质，那么系统

注意，性质②是前面性质(3)的一个等价写法.从性质②中不仅可以看出集合Σ中元素对复合运算的封闭性，而且显示了对复合运算的结合律和交换律；这使得Σ在变换的复合运算下做成一个加法群(现在得以明了，我们为什么把性质(3)叫做群的性质).性质①说明，φ0是群中的单位元，而从性质①和②不难得出，φ-t是φt的逆元.这种具有性质①与③的单参数连续变换群称为一个抽象动力系统(拓扑动力系统)；如果再要求φt是可微的，则称它为微分动力系统.这是近二三十年来发展很快的一个研究方向.注8.3

对于非自治系统:(8.28)上面的性质(1)～(3)不再成立.但我们可以把它视为高一维空间上的自治系统.事实上，令则系统式(8.28)等价于n+1维相空间中的自治系统:当然，维数的升高一般会使讨论的难度增大.8.3平面动力系统考虑平面动力系统(8.29)其中X(x,y)和Y(x,y)在平面R2上连续可微.

我们将对系统的奇点和闭轨附近轨线的形态及其全局结构进行一个简要的考察.由于平面本身的特殊性，使得平面动力系统的轨线分布比较单纯，因而相应的理论也比较完善.8.3.1奇点

先研究系统式(8.29)的奇点的性质.不失一般性，我们只考虑奇点是坐标原点的情形.这是因为经简单变换，系统式(8.29)的任一奇点都能化成原点，而后者是另一自治系统的奇点.假设系统式(8.29)在点(0,0)附近能写成如下形式：(8.30)其中A是二阶实数矩阵，R(x,y)在点(0,0)附近连续可微，R(0,0)=0，且这里

如果detA≠0，则称(0,0)是系统式(8.30)的初等奇点；否则称它为高阶奇点.容易想到在奇点(0,0)附近，系统式(8.30)的轨线分布应该和它的第一近似方程组(8.31)的相似.当(0,0)是初等奇点时，情况基本上是这样（见定理8.5）.下面我们在假设detA≠0的前提下，详细地来分析方程组(8.31)的轨线分布情况.

根据矩阵化标准型的定理，经一非奇异线性变换，可将方程组(8.31)化成另一方程组，其系数矩阵为实标准型.记p=-trA,q=detA.对于初等奇点，即当q≠0时，存在下列几种情形：不妨设矩阵A已具有上述标准型之一，下面分别加以讨论.

(1) .容易得到方程组(8.31)的通解为故方程组(8.31)的全部轨线可表示为和其中c1、c2、c都是任意常数.这时又有三种情形：

①λ=μ.方程组(8.31)的轨线是由原点及自原点出发但不含原点的全体射线组成的，这时称奇点(0,0)为星型结点或临界结点.依λ的符号有如图8.4所示的两种相图.图8.4②λ≠μ且λμ>0.当时，方程组(8.31)的轨线除了y轴上的两条轨线外，其他轨线均在原点与x轴相切；当 时，除了x轴上的两条轨线外，其他轨线均在原点与y轴相切.当λ、μ<0时，方程组(8.31)的零解(0,0)是稳定的；当λ、μ>0时，零解(0,0)是不稳定的.我们称此种奇点(0,0)为两向结点或正常结点.相图如图8.5所示.图8.5③λμ<0.这时方程组(8.31)的轨线除了在x轴上的两条和y轴上的两条轨线外，均以x轴和y轴为其渐近线，这种奇点(0,0)称为鞍点.相图如图8.6所示.这时方程组(8.31)的零解(0,0)是不稳定的.图8.6

(2) .这时方程组(8.31)的通解为故方程组(8.31)的全部轨线可表示为和

x=0由此知和因此，方程组(8.31)的每一轨线都在原点与y轴相切.这时称(0,0)为单向结点或退化结点.依λ的符号有如图8.7所示的两种相图.图8.7

(3),即A有一对共轭复特征根.令x=rcosθ,y=rsinθ.则方程组(8.31)化为(8.32)其通解为从而方程组(8.31)的全部轨线的极坐标形式为(8.33)其中c≥0为任意常数.易见，当c>0时，曲线族式(8.33)都不通过点(0,0).由式(8.32)的第二式知，β的符号决定了轨线的盘旋方向.确切地说，β>0时，沿逆时针方向；β<0时，沿顺时针方向.相图依α的不同符号分为三种：α<0时，曲线族式(8.33)是螺线族，当t→+∞时盘旋地趋近于点(0,0)，因而是稳定的，这时奇点(0,0)称为稳定焦点；α>0时，曲线族式(8.33)仍为螺线族，只是当t→-∞时盘旋地趋于点(0,0)，这时我们称(0,0)为不稳定焦点；α=0时，曲线族式(8.33)成为以(0,0)为心的同心圆族，因而奇点(0,0)是稳定的，但不是渐近稳定的.它称为中心点.相图如图8.8所示.图8.8综合上面的讨论，我们有如下判定初等奇点类型的结果.

定理8.5

设p=-trA,q=detA.则有:

(1)当q>0,p2=4q时，(0,0)为单向结点或星型结点；

(2)当q>0，p2>4q时，（0，0）为两向结点；

(3)当q<0时，(0,0)为鞍点；

(4)当q>0，0<p2<4q时，(0,0)为焦点；

(5)当q>0,p=0时，(0,0)为中心点.

此外，在情形(1)、(2)、(4)中，奇点(0,0)的稳定性由p的符号来决定：当p>0时，(0,0)是稳定的；而当p<0时，(0,0)是不稳定的.

定理8.6

(1)如果(0,0)是方程组(8.31)的焦点，则它也是方程组(8.30)的焦点，并且它们的稳定性相同；

(2)如果(0,0)是方程组(8.31)的鞍点或两向结点，则它也是方程组(8.30)的鞍点或两向结点，并且有相同的稳定性；

(3)如果(0,0)是方程组(8.31)的单向结点，又对任意ε>0，都有(8.34)则(0,0)也是方程组(8.30)的单向结点，并且稳定性相同；

(4)如果(0,0)是方程组(8.31)的星型结点，又R(x,y)满足条件式(8.34),则(0,0)也是方程组(8.30)的星型结点，并且稳定性相同.

还可以证明：如果(0,0)是方程组(8.31)的双曲奇点，即矩阵A的特征值的实部都异于零，则只要R(x,y)及其导数足够小，方程组(8.30)就局部拓扑等价于方程组(8.31)，即在(0,0)的一个小邻域内，存在一个同胚变换（即本身及其逆都连续的变换）将方程组(8.30)的轨线变到方程组(8.31)的轨线，并且还保持轨线的方向.这时我们称方程组(8.31)在(0,0)附近是局部结构稳定的.这样的结果对高维动力系统同样成立.8.3.2极限环

下面研究系统式(8.29)的极限环，即孤立闭轨的性质.我们将通过研究极限环来考察平面动力系统式(8.29)的轨线分布.所谓孤立的闭轨,是指存在闭轨的一个邻域，使得在此邻域内系统别无其他轨线.极限环的稳定性，习惯上是指通常意义下的闭轨的渐近稳定性,设Γ是系统式(8.29)的一个极限环.如果存在Γ的一个邻域，使得从这个邻域内点出发的轨线在t→+∞(t→-∞)时都盘旋趋于Γ，则称Γ是稳定（不稳定）的.如果存在Γ的一侧(内侧或外侧)邻域，使得从这个邻域内点出发的轨线在t→+∞(t→-∞)时都盘旋趋于Γ，则称Γ是单侧稳定(不稳定)的.有时也称一侧稳定而另一侧不稳定的极限环为半稳定极限环.例8.11

考虑方程组作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ,这时方程组变为由此容易推出x2+y2=1是极限环，并且是稳定的.

定理8.7

设x=φ(t)是系统式(8.29)的一条轨线，它的ω极限集Ω+非空，有界且不含奇点,则Ω+恰是系统式(8.29)的一条闭轨.

这个定理是平面定性理论的基础，它的证明完全依赖于平面上的若尔当曲线分离定理.这个定理的证明可在相关微分方程定性理论的专著中找到.

由定理8.7可推出如下简明而有用的定理.定理8.8（庞加莱-本迪克松环域定理）设D是由两条简单闭曲线Γ1和Γ2所围成的环域，并且在D=Γ1∪D∪Γ2上，系统式(8.29)无奇点.如果从Γ1和Γ2上出发的轨线都离不开（或都不进入）D，而Γ1和Γ2均不是系统式(8.29)的闭轨，则D内至少存在一条闭轨(见图8.9).图8.9这个定理的物理意义是很明显的.设系统式(8.29)描述了平面流体运动,如果流体都从边界流入D，D中又没有源或汇，那么在D内就有环流存在.这里源指不稳定的结点和焦点，而汇则指稳定的结点和焦点.通常Γ2称为外境界线，Γ1称为内境界线.定理8.8虽然肯定了D内有闭轨，但没有说明闭轨是否是极限环.可以证明:如果系统式(8.29)是解析向量场，即X(x,y)和Y(x,y)在D上解析，则D内的闭轨都是极限环.应该指出，在一般情形下，作这种环域本身就是很复杂的问题，没有方法可遵循.然而对某些特殊类型的方程，如李纳(Liénard)方程定理8.9（本迪克松准则）设X(x,y)、Y(x,y)在单连通区域D上是连续的.若在D的任何子区域中散度

判别系统(8.29)的极限环的个数及其相对位置是一个非常困难的问题，即使对多项式系统，即和是二元多项式（甚至是二次多项式）的情形，极限环个数的上界问题也未获得完全解决，后者是1901年希尔伯特(Hilbert,1862-1943)提出的著名的23个数学难题中第16问题的后半部分.许多数学家对这一问题的研究作出了不懈的努力，其间充满反复和曲折.一个重要的结果是：定理8.10（有限性定理）

任何多项式系统式(8.29)的极限环的个数在R2中都是有限的.

关于这方面的研究状况可参看参考文献［14］、［16］、［33］.

例8.12

证明方程组有唯一的闭轨C:x2+y2=1，并证明它是稳定的极限环.

证明作变换x=rcosθ，y=rsinθ,原方程组化为例8.13

设方程组

证明用反证法.假设原方程组有一条闭轨线C,C连同其内部区域G全部被包含在D内，因为D是单连通的，于是由Green公式有在区域D内最多有一条闭轨线.证明

用反证法.假设方程组在D内有两条闭轨线C1和C2.C1和C2所围区域记作G，则由Green公式有 8.4结构稳定性、分支与混沌

8.4.1结构稳定性与分支现象

我们曾在8.3节中介绍过动力系统在其奇点附近的局部结构稳定性.结构稳定的概念是由安德洛诺夫(Andronov,1901-1952)和庞特里亚金(Pontryagin,1908-1988)于1937年对平面系统引进的.几十年来，关于结构稳定性的研究有了很大的发展.可以说近三十年来，动力系统的研究中所发生的重大变化，主要来源于结构稳定性的研究.结构稳定的概念除了理论上的意义之外，对于实际应用也有着重要意义.这是因为从实际问题中提出微分方程模型，往往经历了近似与简化过程.为使对数学模型进行研究所得出的结论能真实地反映实际，就要求在小扰动下仍能保持某种程度的不变结构，即要求这一数学模型具有一定的结构稳定性.

设G为Rn中一有界闭域，X(x)∈C1(G)，即X(x)为连续可微的n维向量场.考虑自治系统(8.35)如果存在ε>0，使得对G上任何n维的C1向量场Y(x)，有则系统(8.36)在G上拓扑等价于系统式(8.35),即存在一个同胚变换P:G→G，将系统式(8.36)的每条轨线变到系统式(8.35)的相应轨线，并且保持轨线的方向不变，就称系统式(8.35)在G上是结构稳定的.

由定义可知，在C1小扰动下结构稳定的系统的奇点的稳定性保持不变.

当n=2时，系统式(8.35)为结构稳定的充要条件是：

(1)系统在G上只有有限个奇点和闭轨，且奇点都是双曲的，而闭轨都是单重的；

(2)在鞍点之间无轨线连接.

系统式(8.35)的奇点是双曲的，是指系统式(8.35)在奇点处线性部分的矩阵的特征根的实部不为零.图8.10结构不稳定的系统，称之为分支系统.分支系统由于不具有结构稳定性，因此对它加上适当的扰动，轨线分布就会发生定性变化，表现出一些复杂的现象.

下面介绍平面动力系统几种常见的分支模式.考虑带有一个参数的系统(8.37)其中参数α∈［0,1］,X(x,y,α)和Y(x,y,α)关于(x,y,α)在G×［0,1］上是两次连续可微的，G是R2中一有界闭域.设系统式(8.37)在α=0时是结构不稳定的，此时，称α=0是一个分支值.

（1）霍普夫(Hopf,1902-1983)分支.设(0,0)是系统式(8.37)在α=0时的奇点，并且矩阵的特征根是一对共轭纯虚数，这时(0,0)是系统式(8.37)在此点处的线性部分的中心点.当α从零增大时，有可能从原点分出周期解分支，称为霍普夫分支，而(0,0,0)则称为霍普夫分支点.定理8.11（霍普夫分支定理）假设X(0,0,α)≡0,Y(0,0,α)≡0，并且含参数α的矩阵有特征根λ(α)±iμ(α)，满足(8.39)则(0,0,0)是系统式(8.38)的霍普夫分支点.

证明不妨设因为经过适当的坐标变换，可以化成这种情形.这样，引进极坐标(θ,ρ)就可在原点附近将系统式(8.38)写成如下的形式：(8.40)(8.41)由此知，ρ(θ,ρ0,α)为系统式(8.41)的周期解，当且仅当对上式两边除以ρ0，得其中不难看出r*(0,0)=0,rα*

(0,0)=0，并且由条件式(8.39)，得于是由隐函数定理知，对小正数ρ0，存在连续函数α(ρ0),使得(8.42)当ρ0→0时，上式右端的积分趋于0，故（2）同宿轨分支和异宿轨分支.当t→±∞时趋于同一个奇点的轨线称为同宿轨(见图8.11).当t→+∞和t→-∞时分别趋于两个奇点的轨线称为异宿轨(见图8.12).可以构造单参数的系统族式(8.38)，使得当α=0时存在一条同宿轨，而当α≠0时，这条轨线“破裂”为两条轨线，其中每一条都有一端趋于所论奇点(见图8.11).这种由于同宿轨“破裂”而产生的分支，称为同宿轨分支.同样可以构造这样的系统族式(8.38)，使得当α=0时存在一条异宿轨，而当α≠0时，这条轨线“破裂”为两条轨线，分别趋于所论的两个奇点(见图8.12).这种由异宿轨“破裂”而产生的分支，称为异宿轨分支.图8.11图8.128.4.2动力系统的混沌

我们知道，一个动力系统的平衡解、周期解和概周期解，都对应着比较规则的运动.早在20世纪60年代，人们就发现：某些动力系统有非常复杂的、不规则的轨线.为了描述动力系统的这种不规则的行为，1975年，李天岩和约克(Yorke)在研究从区间到区间的某些映射的性质时，提出了混沌这一概念.从此，混沌就逐渐成为许多学科分支研究的主要课题之一.下面我们就二维动力系统简单地介绍混沌现象及判别混沌的基本数学方法.

设φ(t)是R2到R2的Cr(r≥1)同胚映射，p0是它的一个不动点，即φ(p0)=p0.如果雅可比矩阵不具有模为1的特征根，则称不动点p0为双曲的.一个点p0∈R2的稳定流行和不稳定流行分别定义为集合和定理8.12

设φ:R2→R2是微分同胚，且具有双曲不动点p0和关于p0的横截同宿点q0,则存在φ的不变集Λ，这个不变集包含:

(1)可数多个周期轨道，包括任意大周期的轨道；

(2)不可数多个非周期轨道，包括可数多个同宿轨和异宿轨；

(3)一条稠密轨道.

下面对定理叙述中的一些概念作简单的说明.

所谓可数，是指像整数一样多；所谓不可数，是指像实数一样多.假如φ有两个不同的双曲不动点p1、p2，则称Ws(p1)∩Wu(p2)中的点为异宿点，由异宿点所产生的轨道称为异宿轨.一个点p∈R2称为φ的k(>1)周期点，如果

φk(p)=p,φi(p)≠p

(1≤i≤k-1)

不动点也称为1周期点.k周期点产生的轨道称为周期轨，k称为周期.

从不变集Λ的结构我们看出，Λ中的轨道呈现非常复杂的行为.特别地，在周期点附近初值的微小偏差，可引起相应轨道的不可预见的偏差，或者说，轨道对初始条件具有敏感依赖性.正是由于这个原因，数学家们才称φ产生了混沌.

伯克霍夫曾阐述了这种复杂性的一部分，他证明了同宿点的任一邻域内存在可数多个周期轨道.1963年，斯梅尔(Smale)证明了上述定理.因此这个定理也称为斯梅尔－伯克霍夫定理.

为了应用这个定理，首先要判断一个微分同胚是否存在双曲不动点以及关于这个不动点的横截同宿点.应该指出，如何判断一个微分同胚是否存在横截同宿点，并不是容易的事.1963年，梅利尼科夫(Melnikov)建立了一种非常重要的方法，它使我们能对某些特殊的周期性受扰系统证明它们的庞加莱映射存在着横截同宿点，从而应用斯梅尔－伯克霍夫定理，便可证明混沌的存在性.

考虑二维周期系统(8.43)记a∧b=a1b2-a2b1.对系统式(8.43)定义梅利尼科夫函数如下：(8.44)例8.15

考虑系统(8.45)(8.46)（0，0）是它的鞍点，即其线性近似的鞍点，并且存在与它相连的同宿轨其中, 是系统式(8.46)的解，可直接验算.

沿着Γ的梅利尼科夫函数为可以算出(计算很复杂，其中还要用到复变函数论中的留数理论)由于在 上，因此在上的零点都是简单的.注意到可知,当即(8.47) 8.5首次积分

考虑自治方程组(8.48)其中c是某一常数，大小随解而异，则称(8.49)为方程组(8.48)在D内的一个首次积分.例8.16

对常微分方程组的任一解x=x(t),y=y(t)，都有因此是这一方程组的一个首次积分.注8.4

对于非自治系统(8.50)只需引进新未知函数xn+1=t，即可化成自治系统：则称是系统式(8.50)在G内的一个首次积分.

如果已知式(8.49)是方程组(8.48)的首次积分，从定义出发就知，只要ω(u)是连续可微的，ω(Φ(x1,…,xn))有意义且不恒等于一个常数，则也是方程组(8.48)的一个首次积分.

假设方程组(8.48)有k个首次积分：如果在(x1,…,xn)空间的域D内它们的雅可比矩阵的秩数处处为k，则称它们在域D内相互独立.命题8.2

在方程组(8.48)中，如果fi(x1,…,xn)(i=1,…,n)在域D内连续可微且处处不同时为零，则在D中任一点附近，方程组(8.48)恰有n-1个相互独立的首次积分.

证明任取点P0=(x01,…,x0n)∈D，不妨设在此点f1≠0.于是有此点的邻域，在其上f1≠0.在U0上把方程组(8.48)改写为(8.51)其中gi=fi/f1.对任意的(x01,c2,…,cn)∈U0，方程组(8.51)满足初值条件(8.52)的解记为(8.53)根据解对初值的可微性定理，该解对(x1,c2,…,cn)是连续可微的，且雅可比行列式因此可从式(8.53)中解出c2,…,cn,即(8.54)其中函数ψi(x1,…,xn)(i=2,…,n)在点P0的某邻域U上是连续可微的，且雅可比行列式由此可知，在点P0的邻域U上式(8.54)是方程组(8.51)的n-1个独立的首次积分.进而根据方程组(8.48)与方程组(8.51)的解之间的对应关系知，在U上式(8.54)也是方程组(8.48)的首次积分.

如果方程组(8.48)在点P0的某邻域上有n个首次积分：而x1=x1(t),…,xn=xn(t)(t∈I)是方程组(8.48)位于此邻域的任一解，则由知由于f1,…,fn不全为零，因此上述方程组的系数行列式，即雅可比行列式这表明在点P0的邻域U1内，方程组(8.48)的任何n个首次积分都不是相互独立的.命题证毕.

例8.17

用首次积分法求解方程组解由原方程组可得即这个微分方程关于变量t和x2+y2是可以分离的，因此易求得它的积分为它是原方程组的一个首次积分.

再次利用方程组，得到即由此得方程组的另一个首次积分

这两个首次积分是相互独立的.采用极坐标，令x=rcosθ,y=rsinθ，由两个首次积分推得由此解得因此微分方程组的通解为 8.6守恒系统

有些物理系统遵从某些形式的能量守恒定律，它们的能量随着