谈盈亏问题的解法

谈盈亏问题的解法/谈盈亏问题的解法小学数学应用题中的盈亏问题是把一定数量的物品平均分给若干对象，每个对象少分，则物品有余；如果每个对象多分，则物品不足。所以分物时经常出现盈（有余）、亏（不足）、尽（恰好分完）的情况，所以古人把这类问题称为盈不足问题。盈亏问题情况多样，解法巧妙，倍受古人重视，在许多古代算书上留下了不少好题。例1：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？

题意：有一群人凑钱买一件物品。如果每人出8枚钱币，就比物价多出3个钱币。如果每人出7枚钱币，就比物价少4个钱币。求人数和钱数各是多少？分析与解答：这是属于“一盈一亏”类的问题。当第一次每人出8枚钱币时多3枚，但第二次每人出7枚钱币时不但没得多，还要少4枚，即共少了4＋3＝7枚。这是由于第二次比第一次每人少出了8－7＝1枚钱币。相差7枚，就说明有7÷1＝7人。这样物价也就可以算出来了。解法一：人数：（4＋3）÷（8－7）＝7（人）物价：8×7－3＝53（枚）或7×7＋4＝53（枚）答：人数为7人，物价53枚。

小结：“一盈一亏”类的问题，如果运用算术方法来解，解题公式是：（盈数＋亏数）÷两次分数数量差＝分物对象的个数事实上，古代数学家发现，在计算人数（即分物对象的个数）时，还有一个简单易记、琅琅上口的口诀：“有余加不足，大减小来除”。这种算法的绝妙之处在于它几乎可以不动脑筋，只要把几个数按口诀对号入座，马上可以得出答案。

例2今有散钱不知其数，作七十七陌穿之，欠五十凑穿；作七十八陌穿之，不多不少。问钱数几何？

题意：有一些零散的钱币，如果每77枚穿成一串，那么还会剩50枚没穿；如果78枚穿成一串，正好穿完。这些钱币共有多少枚？

分析与解答这道题属于“一盈一亏”类的问题。当77枚钱币为一串时，还余50枚没穿，当78枚钱币为一串时，正好穿完。表明原先的每一串77枚，都加上1枚（78－77＝1枚）时，余下的50枚刚好被穿完，说明有50串。解：串数：50÷（78－77）＝50（串）

钱数：78×50＝3900（枚）或钱数：77×50＋50＝3900（枚）小结“一盈一尽”类的问题，可用公式：盈数÷两次分物数量差＝分物对象的个数例3今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？题意有若干人共同买羊，如果每人出5枚钱，则还缺45枚钱；如果每人出7枚钱，则仍缺3枚钱。求买关的人数和羊价分别是多少？分析与解答这道题与前两题的不同在于，无论按哪种方法分，都不足，即属于“两亏”。当每人出5枚钱，缺45枚钱；每人出7枚钱，仍缺3枚钱。所以，每人出5枚钱时比每人出7枚钱时，要少：45－3＝42（枚）。为什么要少42枚？因为先前每人出5枚，而后来每人出7枚，也就是说，先前每人比后来每人少出7－5＝2枚。先前每人少出2枚，共比后来少出42枚。所以买羊人数为：（45－30）÷（7－5）＝21（人）羊的价格是：5×21＋45＝150（枚）

或

7×21＋3＝150（枚）小结：对于两亏类的盈不足问题，可以用公式来计算分数对象的个数。（大亏－小亏）÷两次分物数量差＝分物对象的个数对于和“两亏”相反的“两盈”类问题，我们可以举一反三：（大盈－小盈）÷两次分数数量差＝分数对象的个数环保小组的同学上山植树，如果每人种3棵，则还剩3棵；如果每人种4棵，则还差2棵。环保小组有多少人？一共植树多少棵？分析与解：这是一道典型的盈亏应用题。盈，就是多余；亏，就是不足、少的意思。比较两种植树方式，第一种多了3棵，第二种少了2棵，一多一少共相差（棵）。显然，相差5棵的原因是第二种植树方式每人种的棵数比第一种多了（棵）。根据“相差的总数÷相差的每份数＝份数”得出，环保小组的人数是（人），一共植树（棵），或（棵）。从中得出：解盈亏问题，要先比较“盈”与“亏”两种情况，求出两种情况下总数之间的差，像上题是一盈一亏，差＝盈＋亏；再找出出现这个差的原因是每份数不同，求出两个每份数之间的差；最后根据“差��差”对应求出份数以及总数。盈亏问题还有另外两种情况：两盈与两不足。有些题还要通过转化，先找出“盈亏”数。例4.工程队修一条路，如果每天修150米，则可以提前2天完成任务；如果每天修180米，则可以提前5天完成任务。这条路全长多少米？分析与解：这道题没有直接给出“盈亏”数，但由题意可知，第一种情况如果再修2天，还可以修（米）；第二种情况如果再修5天，还可以修（米）。这300米与900米就是两个“盈”数。因此，可以把条件转化为：如果每天修150米，可以多修300米；如果每天修180米，可以多修900米。显然，这道题是“两盈”类盈亏问题，相差的总数是900-300米，相差的每份数是180-150米，所以计划修的天数是（900-300）÷（180-150）＝20（天），这条路全长150×（20-2）=2700（米），或180×（20-5）=2700（米）。例5、如果每间房住5人，则有14人未住房，如果每间住7人，有4间房未住人，问：房间有几间?人数有多少？分析：每间房住5人，则有多14人（盈）