2024-2025学年高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列学案新人教B版选修2-3

PAGEPAGE11．2.1排列1.了解基本计数原理与排列的关系．2.理解排列的概念及排列数公式．3．能用排列的概念、排列数公式解决一些简洁的实际问题．1．排列的相关概念(1)排列：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，依据肯定的依次排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．(3)两个排列相同：组成排列的元素相同，并且元素的排列依次也相同．2．排列数与排列数公式(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示．(2)排列数公式①排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)，这里n，m∈N＋，并且m≤n.②全排列数公式：Aeq\o\al(n,n)＝n！．③规定：0！＝1．1．推断(对的打“√”，错的打“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．()(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．()(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生改变．()(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．下列问题属于排列问题的是()①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算．A．①④ B．①②C．④ D．①③④答案：A3．Aeq\o\al(2,4)＝________，Aeq\o\al(3,3)＝________．答案：1264．若Aeq\o\al(m,10)＝10×9×…×5，则m＝________．答案：6排列的概念[学生用书P5]推断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担当班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．【解】(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在依次问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在依次问题，属于排列问题．(3)(4)不存在依次问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在依次问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着依次问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．eq\a\vs4\al()(1)推断一个问题是不是排列问题，关键看是否与元素的依次有关．若与依次有关，就是排列问题，与依次无关，就不是排列问题，必要时可以变换元素的依次比较是否有改变．(2)枚举全部排列时留意“树形图法”、“列表法”等方法的应用．从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数．(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数．(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．解：(1)组成三位数分三个步骤：第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；其次步：选十位上的数字，有3种不同的排法；第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18个不同的三位数．画出下列树形图：由树形图知，全部的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.(2)干脆画出树形图：由树形图知，符合条件的三位数有8个：201，210，230，231，301，302，310，312.排列数公式的有关运算或证明[学生用书P5](1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n<55)；(2)计算eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))；(3)求证：Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).【解】(1)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15个元素，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).(2)eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）)＝1.(3)证明：法一：因为Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(（n＋1）！,（n＋1－m）！)－eq\f(n！,（n－m）！)＝eq\f(n！,（n－m）！)·(eq\f(n＋1,n＋1－m)－1)＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,（n＋1－m）！)＝mAeq\o\al(m－1,n)，所以Aeq\o\al(m,n)＋1－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).法二：Aeq\o\al(m,n＋1)表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有Aeq\o\al(m,n)个．含有a1的可这样进行排列：先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有Aeq\o\al(m－1,n)种排法．故Aeq\o\al(m,n)＋1＝mAeq\o\al(m－1,n)＋Aeq\o\al(m,n)，所以mAeq\o\al(m－1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n).eq\a\vs4\al()排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．解不等式：Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8).解：由Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)，得eq\f(8！,（8－x）！)<6×eq\f(8！,（10－x）！)，化简得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，①又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－2≥0，))所以2≤x≤8，②由①、②及x∈N＋，得x＝8.排列的应用[学生用书P6]某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，假如第一节不排体育，最终一节不排数学，那么共有多少种不同课程表的排法？【解】法一：6节课总的排法是Aeq\o\al(6,6)，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有A55种排法，如图中Ⅰ；数学排在最终一节有Aeq\o\al(5,5)种排法，如图中Ⅱ；但这两种方法，都包括体育在第一节，数学排在最终一节，如图中Ⅲ，这种状况有Aeq\o\al(4,4)种排法，因此符合条件的排法应是：Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504种．法二：依据要求，课程表支配可分为四种状况：(1)体育、数学既不排在第一节也不排在最终一节，这种状况有Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)种排法；(2)数学排在第一节但体育不排在最终一节，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)种排法；(3)体育排在最终一节但数学不排在第一节，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)种排法；(4)数学排在第一节，体育排在最终一节，有Aeq\o\al(4,4)种排法．这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(4,4)＝504种．eq\a\vs4\al()本例用间接法(法一)求解时，简洁出现的错误是：在全排列中，解除了第一节排体育课，又解除了最终一节排数学课后，却未加上第一节排体育课且最终一节排数学课这种状况．事实上这种状况在两种状况(2Aeq\o\al(5,5))都被解除了，因而被解除了两次，但事实上只能解除一次，故须要重新加上这种状况．从六名老师中选四名老师去西藏、新疆、青海、甘肃援教，要求每个省份去一名老师，且这六名老师中甲、乙两名老师不去西藏，则有多少种不同的方案？解：法一：先从六名老师中把甲、乙两名老师去掉，然后从余下的四名老师中选一名老师去西藏的方案有Aeq\o\al(1,4)种，然后从包括甲、乙两名老师在内的五名老师中选三名老师去其他三个省份的方案有Aeq\o\al(3,5)种，所以符合要求的方案为Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＝240种．法二：去除法(间接法)6名老师中任选4名去4个省份的方案有N1＝Aeq\o\al(4,6)＝360种，甲老师去西藏的方案有N2＝Aeq\o\al(3,5)＝60种，乙老师去西藏的方案有N3＝Aeq\o\al(3,5)＝60种．所以符合要求的方案为N＝N1－N2－N3＝240种．————————————————————————————————————————————————1．排列数两个公式的选取技巧(1)排列数的第一个公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要留意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．(2)排列数的其次个公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！)用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在详细运用时，应留意先提取公因式再计算．2．求解排列问题的主要方法干脆法把符合条件的排列数干脆列式计算优先法优先支配特别元素或特别位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时留意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中

续表定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法1．在排列数公式中，Aeq\o\al(m,n)中的m、n满意条件m≤n且m、n∈N＋，在解方程和不等式时，要留意限制条件．2．对于间接法，要清晰不适合题意的排法总数，不要“多减”或“少减”．1．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．Aeq\o\al(4,n) B．Aeq\o\al(n－4,n)C．n！－4! D．Aeq\o\al(n－3,n)解析：选D.原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.2.已知Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，则n＝________．解析：由Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，得(n＋1)·n－n(n－1)＝10，解得n＝5.答案：53．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为________．解析：排法种数为Aeq\o\al(6,6)＝720.答案：7204．5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有________种．解析：第1步，先排5位母亲的位置，有Aeq\o\al(5,5)种排法；第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：母亲____母亲____母亲____母亲____母亲____，共有Aeq\o\al(5,6)种排法．由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(5,6)＝86400种．答案：86400[A基础达标]1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参与数学、物理爱好小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参与一项活动；③从a，b，c，d中选出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选B.由排列的定义知①④是排列问题．2．已知Aeq\o\al(2,n)＝132，则n等于()A．11 B．12C．13 D．14解析：选B.Aeq\o\al(2,n)＝n(n－1)＝132，且n∈N＋，所以n＝12.3．要从a，b，c，d，e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是()A．20 B．16C．10 D．6解析：选B.不考虑限制条件有Aeq\o\al(2,5)种选法，若a当副组长，有Aeq\o\al(1,4)种选法，故a不当副组长，有Aeq\o\al(2,5)－Aeq\o\al(1,4)＝16种选法．4．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．6解析：选B.若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是Aeq\o\al(2,3)；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×Aeq\o\al(2,3)＝12，依据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.5．12名选手参与校内歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数为()A．123 B．312C．Aeq\o\al(3,12) D．12＋11＋10解析：选C.从12名选手中选出3名并支配奖次，共有Aeq\o\al(3,12)种不同的获奖状况．6．若集合P＝{x|x＝Aeq\o\al(m,4)，m∈N＋}，则集合P中共有________个元素．解析：因为x＝Aeq\o\al(m,4)，所以有m∈N＋且m≤4，所以P中的元素为Aeq\o\al(1,4)＝4，Aeq\o\al(2,4)＝12，Aeq\o\al(3,4)＝Aeq\o\al(4,4)＝24，即集合P中有3个元素．答案：37．六个停车位置，有3辆汽车须要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．解析：把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24种．答案：248．若Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)，则x＝________．解析：因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4，,x≥3，))所以x≥3，x∈N＋，由Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)．化简得，4x2－35x＋69＝0，解得，x1＝3，x2＝eq\f(23,4)(舍)．所以方程的解为x＝3.答案：39．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为Aeq\o\al(6,6)＝720.(2)甲不能排头尾，让受特别限制的甲先选位置，有Aeq\o\al(1,4)种选法，然后其他5人排，有Aeq\o\al(5,5)种排法，故排法种数为Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；其次步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480种排法．10．用1，2，3，4，5，6，7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数肯定在奇数位上；(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数．解：(1)用插空法，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440个．(2)先把偶数排在奇数位上有Aeq\o\al(3,4)种排法，再排奇数有Aeq\o\al(4,4)种排法，所以共有Aeq\o\al(3,4)Aeq\o\al(4,4)＝576个．(3)在1和2之间放一个奇数有Aeq\o\al(1,3)种方法，把1，2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有Aeq\o\al(5,5)种排法，所以共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(5,5)＝720个．[B实力提升]11．某班从8名运动员中选取4人参与4×100米接力赛，则不同参赛方案的种数是()A．1680 B．24C．1681 D．25解析：选A.不同的参赛方案共有Aeq\o\al(4,8)＝1680种．12．某停车站画出一排12个停车位置，今有8辆不同的车须要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有()A．Aeq\o\al(8,12)种 B．2Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(4,4)种C．8Aeq\o\al(8,8)种 D．9Aeq\o\al(8,8)种解析：选D.将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有Aeq\o\al(9,9)＝9Aeq\o\al(8,8)种．13．一条铁路有n个车站，为适应客运须要，新增了m个车站，