广东省深圳市福田实验教育集团侨香学校2022-2023学年八年级下学期第一次段考数学试卷（解析版）

2022－2023学年广东省深圳市福田实验教育集团侨香学校八年级（下）第一次段考数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.在下列四个图案中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的特点进行分析即可．【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2.下列分解因式正确的是()A.x2﹣3x+1=x(x﹣3)+1 B.a2b﹣2ab+b=b(a﹣1)2C.4a2﹣1=(4a+1)(4a﹣1) D.(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2【答案】B【解析】【分析】直接利用公式法以及提公因式法分解因式得出答案．【详解】解：A、x2﹣3x+1，不能提取公因式，故此选项错误；B、a2b﹣2ab+b=b(a﹣1)2，正确；

C、4a2﹣1=(2a+1)(2a﹣1)，故此选项错误；

D、(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2不是因式分解，故此选项错误.

故选：B．【点睛】此题主要考查了公式法以及提公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．3.要使分式有意义，x必须满足的条件是（）A. B. C. D.且【答案】A【解析】【分析】要使分式有意义，分母必须不等于0.【详解】解：要使分式有意义，则x-1≠0，所以，故选：A.【点睛】考核知识点：分式有意义条件.理解分式有意义的条件是关键.4.如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由旋转的性质知∠AOD=30°、OA=OD，根据等腰三角形的性质及内角和定理可得答案．【详解】解：由题意得，，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等是解题的关键．5.如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若BE=17，AD=7，则BC为()A.3 B.4C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根据△ABC旋转得到△DCE，得到EC=AC，根据已知条件得到BC+7+BC=17，即可求出BC．【详解】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，∴，E、C、B在同一直线上，∴EC=AC，∴BE=BC+CE=BC+AD+CD，∵BE=17，AD=7，∴BC+7+BC=17，∴BC=5．故选：C【点睛】本题考查了旋转的性质，根据题意得到EC=AC，是解题关键．6.如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【详解】解：设外角为x，则相邻的内角为2x，由题意得，2x+x=180°，解得，x=60°，360°÷60°=6，故选：C．7.若分式方程有增根，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求出分式方程的增根，然后代入整式方程，解关于的方程即可得解．【详解】解：，去分母，得，由分式方程有增根，得到，即，把代入，并解得．故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8.如图，某公园的三个出口、、构成.想要在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口距离都相等.则公共厕所应该在()A.三条边的垂直平分线的交点B.三个角的角平分线的交点C.三角形三条高的交点D.三角形三条中线的交点【答案】A【解析】【分析】根据到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上解答．【详解】解：∵公共厕所到出口A、B的距离相等，

∴公共厕所到在线段AB的垂直平分线上，

同理可得，公共厕所应该在三条边的垂直平分线的交点，

故选A．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9.有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是（）A.＝ B.＝C.＝ D.＝【答案】C【解析】【分析】设第一块试验田每亩的产量为x千克，根据题意列出方程解答即可．【详解】设第一块试验田每亩的产量为x千克，可得：，故选：C．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验．10.如图，在中，，，D为BC的中点，，垂足为过点B作交DE的延长线于点F，连接CF，现有如下结论：平分；；；；．其中正确的结论有A.5个 B.4个 C.3个 D.2个【答案】B【解析】【分析】由，推出AD是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误．易证是等腰直角三角形，故BF．由≌，推出，由，推出，即．在中，，易证．由于≌，推出，推出，于，即可推出．【详解】解：错误，，是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误．正确，，，，是等腰直角三角形，故BF．正确，，，≌，，，，．正确在中，，，是等腰直角三角形，．正确≌，，，，．故选B．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11.分解因式：_______.【答案】．【解析】【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可【详解】解：，故答案为：．12.当x=_______时，分式值为0.【答案】x=-4【解析】【分析】根据分式的值为0，分子等于0分母不为0即可解答．【详解】∵分式值为0，∴且x-4≠0，∴x=-4故答案为-4．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．13.如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则ABC的边长为________．【答案】2【解析】【分析】作BH⊥PC于H，如图，把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，可判断△PBD为等边三角形，利用勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，易得∠BPC=150°，利用平角等于有∠BPH=30°，在Rt△PBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和PH的长，在Rt△BCH中，根据勾股定理即可求解．【详解】解：作BH⊥PC于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，∠ABC=60°，∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，∴CD=AP=4，BD=BP=，∠PBD=60°，∴△PBD为等边三角形，∴PD=PB=，∠BPD=60°，在△PDC中，∵PC=2，PD=，CD=4，∴PC2+PD2=CD2，∴△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=150°，∴∠BPH=30°，在Rt△PBH中，∵∠BPH=30°，PB=，∴BH=PB=，PH=BH=3，∴CH=PC+PH=2+3=5，在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2=()2+52=28，∴BC=2，∴ABC边长为2．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质与勾股定理的逆定理．14.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为_______．【答案】【解析】【分析】首先求出P点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．【详解】把代入可得：解得n=2∴∴一次函数与的图象相交于点∴关于的不等式的解集为：故答案为：【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，关键是求出P点坐标．15.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为______.【答案】10【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到AC=BC，∠B=60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG=2BF=14，求得EG=8，于是得到结论．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠B=60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，∵∠B=60°，∠BFG=90°，∴∠G=30°，∵BF=7，∴BG=2BF=14，∴EG=8，∵CE=CG=4，∴AC=BC=10，故答案为10．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．三．解答题（共7小题，满分55分）16.解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集．【答案】4<x≤6【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【详解】解：解不等式①可得x≤6解不等式②可得x＞4在数轴上表示出①②的解集如图，∴不等式组的解集为4＜x≤6．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．17.（1）因式分解：；（2）解分式方程：．【答案】（1）（2）无解【解析】【分析】（1）原式前三项作为一组，先用完全平方公式、再用平方差公式分解即可；（2）根据解分式方程的方法和步骤解答即可．【详解】解：（1）原式=；（2）去分母，得，解得：x=4，经检验：x=4是原方程增根，∴原方程无解．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和分式方程的解法，属于基础题型，熟练掌握分解因式的方法和分式方程的解法是解此题的关键．18.先化简，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】首先把括号内通分合并，把除变乘，分子分母进行因式分解，约分对分式化为最简分式，再把字母的值代入计算．【详解】解：原式，∴当时，原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，根据整式和分式的运算法则对分式进行化简是解题关键．19.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中线段BC所扫过的面积（结果保留根号和π）．【答案】（1）图见解析，A1（2，－4），B1（1，－1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特点确定三个点的坐标，然后依次连接即可；（2）先作出线段BC、线段AC旋转后的位置，然后连接即可；（3）根据勾股定理先计算出BC长度，然后利用扇形面积公式计算即可得．【详解】解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A1（2，－4），B1（1，－1），C1（4，－3），如图，连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．（2）如图，△A2BC2即为所求：（3）由图形可得：，，∴线段BC所扫过的面积．【点睛】题目主要考查图形的对称及旋转，扇形面积的计算，理解题意，熟练掌握作轴对称和旋转的方法是解题关键．20.如图，根据图中信息解答下列问题：（1）关于x的不等式ax+b＞0的解集是；（2）关于x的不等式mx+n＜1的解集是；（3）当x，y1≤y2；（4）当x，0＜y2＜y1．【答案】（1）x＜4（2）x＜0（3）x≤2（4）2＜x＜4【解析】【分析】（1）利用直线y=ax+b与x轴的交点为（4，0），然后利用函数图象可得到不等式kx+b＞0的解集．（2）利用直线y=mx+n与x轴的交点为（0，1），然后利用函数图象可得到不等式mx+n＜1的解集．（3）结合两条直线的交点坐标为（2，1.8）来求得y1≤y2解集．（4）结合函数图象直接写出答案．【小问1详解】∵直线y2=ax+b与x轴的交点是（4，0），∴当x＜4时，y2＞0，即不等式ax+b＞0解集是x＜4；故答案是：x＜4；【小问2详解】∵直线y1=mx+n与y轴的交点是（0，1），∴当x＜0时，y1＜1，即不等式mx+n＜1的解集是x＜0；故答案是：x＜0；【小问3详解】由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是（2，1.8），当函数y1的图象在y2的下面时，有x≤2，所以当x≤2时，y1≤y2；故答案为：x≤2；【小问4详解】根据图象可得，当2＜x＜4时，0＜y2＜y1．故答案为：2＜x＜4．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．(1)求AB的长；(2)求△ABC的面积；(3)求CD的长．【答案】（1）25；（2）150；（3）12【解析】【分析】（1）根据勾股定理可求得AB长；（2）根据三角形的面积公式计算即可求解；（3）根据三角形的面积相等即可求得CD的长．【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，∴AB2=AC2+BC2，即AB2=202+152，解得AB=25．答：AB的长是25；（2）由（1）可得：△ABC的面积为AC•BC=×20×15=150．答：△ABC的面积是150；（3）∵CD是边AB上的高，∴AC•BC=AB•CD，解得：CD=12．答：CD的长是12．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．22.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．【答案】（1）①DE∥AC；②S1=S2；（2）见解析；（3）或．【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．【详解】（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，∴△BDC的面积和△ADC的面积相等，∵DE∥AC，∴△ADC的面积和△AEC的面积相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等，即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点