广东省深圳市宝安区2021-2022学年八年级下学期数学第一阶段综合练习题（解析版）

广东省深圳市宝安区2021-2022学年北师大版八年级数学下册第一阶段综合练习题一．选择题1.通过平移图中的吉祥物“海宝”得到的图形是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题根据平移的特点即可找到答案．【详解】A、B、C吉祥物“海宝”是原图形通过旋转得到的，因此不是平移，只有D符合要求，是平移．故选：D．【点睛】此题考查平移的性质即平移后图形不变．2.如图，∠C＝∠D＝90°，若添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则以下给出的条件适合的是()A.AC＝AD B.AB＝AB C.∠ABC＝∠ABD D.∠BAC＝∠BAD【答案】A【解析】【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用证明两直角三角形全等，需要添加条件为一对直角边相等，即或．【详解】解：需要添加的条件为或，理由为：若添加的条件为，在Rt△ABC与Rt△ABD中，，；若添加的条件为，在Rt△ABC与Rt△ABD中，，．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是知道“”即为斜边及一直角边对应相等的两直角三角形全等．3.已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是（）A.13 B.17 C.22 D.17或22【答案】C【解析】【分析】由于等腰三角形的底和腰长不能确定，故应分两种情况进行讨论．【详解】分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，∵4+4＜9，∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；②当三角形的三边是4，9，9时，此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9=22．故选C．4.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）AAB=AD B.AC平分∠BCDC.AB=BD D.△BEC≌△DEC【答案】C【解析】【详解】解：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，故A成立，∴AC平分∠BCD，BE=DE．故B成立，∴∠BCE=∠DCE．在Rt△BCE和Rt△DCE中，∵BE=DE，BC=DC，∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）．故D成立，没有可证明AB=BD的条件，故C不一定成立，故选：C．5.如图，将△ABC沿射线BC的方向移动，使点B移动到点C，得到△DCE，连接AE.若△ABC的面积为2，则△ACE的面积为()A.2 B.4 C.8 D.16【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵将△ABC沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到△DCE，∴BC=CE，∵△ACE和△ABC底边和高都相等，∴△ACE的面积等于△ABC的面积，又∵△ABC的面积为2，∴△ACE的面积为2．故选：A．6.下列命题中，逆命题正确的是（）A.对顶角相等 B.两直线平行，同位角相等C.全等三角形对应角相等 D.等腰三角形是轴对称图形【答案】B【解析】【分析】根据题意先分别写出各个选项的逆命题，再判断其是否正确即可．【详解】解：A的逆定理是：相等的角是对顶角，故A的逆定理错误；B的逆命题是：同位角相等，两直线平行，故B的逆定理正确；C的逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，故C的逆定理错误；D的逆命题是：轴对称图形是等腰三角形，故D的逆定理错误；故选：B．【点睛】本题考查学生对逆命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握．7.如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C’的位置，使得CC'AB，则∠BAB'=（）A.30° B.35° C.40° D.50°【答案】A【解析】【分析】根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求，即可求出的度数．【详解】解：∵CC'AB，∠CAB=75°，∴，∵，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角，同时考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关知识推导角之间的关系．8.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是()A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7【答案】D【解析】【详解】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP的长不能大于6．∴故选D．9.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（）A.70° B.120° C.125° D.130°【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，点O是三角形三条角平分线的交点，再由的度数可得的度数，再根据三角形的内角和等于即可求出的度数．【详解】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，∴点O是三角形三条角平分线的交点，∵，∴，∴，在中，．故选：C【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理是解答本题的关键．10.如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】B【解析】【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题．【详解】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，∴EB=EA，GB=GC，∵△BEG周长为16，∴EB+GB+EG=16，∴EA+GC+EG=16，∴GA+EG+EG+EG+EC=16，∴AC+2EG=16，∵EG=1，∴AC=14，故选：B．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．二．填空题11.将点P（2，1）沿x轴方向向左平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是_______．【答案】（﹣1，3）【解析】【分析】根据点坐标的平移规律：左减右加，上加下减的变化规律运算即可．【详解】解：将点P（2，1）沿x轴方向向左平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是（2-3，1+2）即（-1，3）．故答案为：（-1，3）【点睛】本题主要考查了根据平移方式确定点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握点坐标平移的规律．12.如图，在中，，，，则内部五个小直角三角形的周长的和为______．【答案】30cm【解析】【分析】由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB==13，由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=30(cm)．故答案为：30cm．【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．13.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB交BC于点E，EC＝2，则△ACE的面积为_______．【答案】2【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质可知EA＝EB，由等边对等角的性质及外角的性质可得∠AEC＝45°，易知△ACE为等腰直角三角形，可得CA长，利用三角形面积公式求解即可.【详解】解：∵DE垂直平分AB交BC于点E，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B＝22.5°，∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝45°，∵∠C＝90°，∴∠CAE=90°-∠AEC=45°=∠EAC，∴AC＝EC＝2，∴CA＝CE＝2，∴S△ACE＝×AC×EC=×2×2＝2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形面积，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形的两底角相等，灵活利用性质是解题的关键.14.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有_______个．【答案】6【解析】【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可．【详解】解：如图所示：C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；C在C5，C6位置上时，AB＝BC；即满足点C的个数是6，故答案为:【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．15.如图，已知在中，，在边上方作等边，则的长为_________．【答案】【解析】【分析】如图，以AB为边，在AB的左侧作等边△ABE，连接EC，作EF⊥CB交CB的延长线于F．利用全等三角形的性质证明BD=EC，解直角三角形求出EC即可解决问题．【详解】解：如图，以为边，在的左侧作等边△ABE，连接，作交的延长线于．∵△ABE，△ACD都是等边三角形，，，，，∴△EAC≌△BAD（SAS），，，，在Rt△EFB中，，，，，，在Rt△ECF中，，，，，故答案为．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题16.在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）将△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．【答案】（1）图见解析，点C1的坐标为（﹣3，3）（2）图见解析，点C2的坐标为（﹣3，﹣3）【解析】【分析】（1）根据平移方式先分别得到A、B、C对应点的、、的坐标，然后顺次连接、、即可；（2）根据旋转方式先分别得到、、对应点的、、的坐标，然后顺次连接、、即可；【小问1详解】如图，△A1B1C1即为所求，∵△A1B1C1是△ABC向左平移4个单位得到的，点C的坐标为（1，3）∴点C1坐标为（﹣3，3）；【小问2详解】解：如图，△A2B2C2即为所求，∵△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，点的坐标为（-3，3）∴点C2的坐标为（﹣3，﹣3）．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，熟知点坐标平移和旋转的特点是解题的关键．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母：（保留作图痕迹，不写作法）①作∠DAC的平分线AM；②连接BE并延长交AM于点F；（2）求证：且AF＝BC．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）①以A为圆心，任意长为半径画弧，与的两边相交，得到两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点的距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，再以为端点，过两弧的交点作射线即可；②按照提示作图即可；（2）利用角平分线的性质与三角形的外角的性质证明：∠C＝∠FAC，可得，再证明△AEF≌△CEB，可得AF＝BC．【详解】解：（1）如图所示，AM即为所求，BE的延长线交AM于F．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DAC＝∠ABC+∠C＝2∠C，∠DAC的平分线AM，∵∠DAC＝2∠FAC，∴∠C＝∠FAC，∴，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB，∴AF＝BC．【点睛】本题考查的是角平分线的作图，三角形的外角的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握“等腰三角形+角平分线平行线”是解本题的关键.18.如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）判断DF与DE的大小关系，并说明理由；（2）若BE＝8，CF＝6，求：①EF的长；②△DEF的面积．【答案】（1）相等，见解析；（2）①10；②25【解析】【分析】（1）连接AD，首先利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，AD=CD=BD，从而得到∠CDF=∠ADE，然后利用ASA证得后即可证得DF=DE；（2）①由（1）知：AE=CF，AF=BE，在中，运用勾股定理可将EF的值求出，②根据DE=DF，即为等腰直角三角形，运用勾股定理可求出DE、DF的值，即可求解的面积．【详解】解：（1）连接AD，∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，AD＝CD＝BD，∵DE⊥DF，∴∠CDF+∠ADF＝∠EDA+∠ADF，即∠CDF＝∠ADE，在△DCF和△ADE中，，∴△DCF≌△ADE（ASA），∴DF＝DE；（2）①解：由（1）知：AE＝CF＝6，同理AF＝BE＝8．∵∠EAF＝90°，∴EF2＝AE2+AF2＝62+82＝100．∴EF＝10，②∵由（1）知：△AED≌△CFD，∴DE＝DF，∴△DEF为等腰直角三角形，DE2+DF2＝EF2＝100，∴DE＝DF＝，∴S△DEF＝．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．19.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）晓晓在操作中发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是_______；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_______；（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，晓晓猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明晓晓的猜想．【答案】（1）①DE∥AC；②S1＝S2；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用旋转可知，根据，得出是等边三角形，得出，利用内错角相等两直线平行可证，

②由图得知和等底同高，和同底等高，利用三角形面积公式，得到．（2）延长EC，过A作AN⊥EC交延长线于N，过D作DM⊥AC于M，由图形是旋转得到，利用可以证明，所以，利用三角形面积公式可以求证.【详解】解：（1）①如图2中，

由旋转可知：，

∵，，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；②设过C作CH⊥AB于H，DG⊥AC于G，过E作EF⊥AC交延长线于F，∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴，∵△ACD为等边三角形，∴，

∴，

∴，；∴，

∵，∴DG=EF，∴，

∴，

∴，即：．故答案为：；（2）如图3中，延长EC，过A作AN⊥EC交延长线于N，过D作DM⊥AC于M，

∵是由绕点旋转得到，

∴，，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，，．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形面积性质同底等高，与等底同高两个三角形面积相等等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊图形解决问题.20.把正方形纸片放在直角坐标系中，如图所示，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知3BE＝BC．（1）请直接写出D、E两点的坐标，并求出直线EF的解析式；（2）在直线EF上是否存在点M，使得△AFM的面积是△AEF的面积的一半，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）若点P、Q分别是线段AG、AF上的动点，则EP＋PQ的最小值是多少？并求出此时点Q的坐标．【答案】（1）D点坐标为（3，3），E点坐标为（1，0），直线EF的解析式为；（2）当M的坐标为（2，）或（4，）时，使得△AFM的面积是△AEF的面积的一半；（3）（2，2）【解析】【分析】（1）根据正方形的性质即可得到BC=CD=3，∠BCD=90°，则D点坐标为（3，3），再由3BE=BC，得到BE=1，则E点坐标为（1，0），CE=BC-BE=2，由折叠的性质可知，EF=BE=1，FG=DF，设CF=x，则GF=DF=3-x，EF=EG+FG=4-x，由，得到，即可求出F的坐标为（3，），设直线EF的解析式为，把E、F的坐标代入求解即可；（2）由△AEF和△AFM等高，则，从而得到，然后分当M在线段EF上时，即M为EF的中点时，此时记作M