第15章　轴对称图形与等腰三角形 综合检测 2023- 2024学年沪科版八年级数学上册

2023-2024学年沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2022福建中考)美术老师让同学们设计窗花,下列作品为轴对称图形的是()ABCD2.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,点P在边AB上,CP平分∠ACB,PB=4cm,AC=12cm,则△APC的面积是()A.24cm2B.32cm2C.48cm2D.55cm23.(2022安徽阜阳太和月考)如图,在△ABC中,∠C=90°,点E是AC上的点,且∠1=∠2,ED垂直平分AB,垂足是D.若CE=4cm,则AE=()A.10cmB.8cmC.6cmD.5cm4.(2023安徽铜陵十五中期中)如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=7,DE=2,则△BCE的面积为()A.10B.7C.5D.45.如图,在等边△ABC中,D为BC边的中点,以A为圆心,AD为半径画弧,与AC边的交点为E,则∠DEC的度数为()A.60°B.75°C.105°D.115°6.(2023安徽芜湖无为月考)如图,∠AOB=150°,OP平分∠AOB,PD⊥OB于点D,PC∥OB交OA于点C,若PD=3,则OC的长为()A.3B.4C.5D.67.如图,在等腰三角形ABC中,∠CAB=120°,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E.若AD=2,则BE的长为()A.2B.3C.4D.68.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=36°,以C为原点,AC所在直线为y轴,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形,符合条件的M点有()A.5个B.6个C.7个D.8个9.(2023安徽淮南谢家集期中)如图,△ABC和△ADE关于直线l对称,连接BE,CD,CE,下列结论:①l垂直平分CE;②∠BAE=∠DAC;③△BCE≌△DEC;④直线BC,DE的交点一定在l上,其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个10.(2022安徽合肥庐江期中)如图,在△ABC中,点D、E在BC边上,点F在AC边上,将△ABD沿着AD翻折,使点B和点E重合,将△CEF沿着EF翻折,点C恰与点A重合.下列结论:①∠BAC=90°;②DE=EF;③∠B=2∠C;④AB=EC,其中正确结论的序号是()A.①②③④B.③④C.①②④D.①②③二、填空题(每小题3分,共12分)11.(2022安徽淮南实验中学期中)点P(-5,9)关于y轴的对称点Q的坐标为.

12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB,已知AD=2,则AB=.

13.(2023安徽合肥庐江期中改编)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,已知∠A=∠ABD,CD=1,则BD的长度为.

14.(2022安徽淮南田家庵期中)如图,已知OD垂直平分AB,OE垂直平分AC,且OD、OE分别交BC于M、N.连接AM,AN,若∠MAN=20°,则∠BAC的度数为.

三、解答题(共58分)15.(6分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.(1)作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C;(2)若网格中每个小正方形的边长是1cm,求△ABC的面积.16.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,CE=6,直线ED是线段AC的垂直平分线,∠BAC=120°,求线段BE的长.17.(6分)如图,AD是△ABC的角平分线,EF是AD的垂直平分线.求证:(1)∠FAD=∠FDA;(2)DF∥AC.18.(6分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,DE是AB的垂直平分线,垂足为点E,DE交BC于点D,连接AD.(1)求证:DC=DE;(2)若BC=9,求AD的长.19.(6分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,∠BAD=∠CAD,CE∥AD,CE交BA的延长线于点E.(1)若∠BAC=120°,AC=5,求CE的长;(2)若AB=AE,求证:△ABC为等腰三角形.20.(2022安徽淮北五校联考)(8分)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点为网格线的交点,点A,C的坐标分别为(-3,2),(-1,3).(1)建立平面直角坐标系,画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;(点A1,B1,C1分别为点A,B,C的对应点)(2)若点P(a,b)是△ABC内任意一点,其关于直线l的对称点是P1,求点P1的坐标.21.(2022安徽铜陵四中期中)(8分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD.(1)求证:△ABD≌△BCE;(2)求证:AC垂直平分线段ED.22.(2022安徽阜阳太和月考)(12分)如图①,等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE.(1)△DBC和△EAC全等吗?请说说你的理由;(2)求证:AE∥BC;(3)如图②,将题干中D是AB边上的动点改为D是BA延长线上任意一点,其他条件不变,则是否仍有AE∥BC?证明你的猜想.图①图②

答案1.A选项B、C、D不能找到这样的一条直线,使图形沿这条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,所以不是轴对称图形,选项A能找到这样的一条直线,使图形沿这条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,所以是轴对称图形.2.A如图,过P作PD⊥AC于D,∵CP平分∠ACB,∠B=90°,∴PD=PB=4cm.∵AC=12cm,∴△APC的面积=12AC·PD=12×12×4=24(cm3.B∵ED垂直平分AB,∴AE=BE,∴∠A=∠2,∵∠1=∠2,∴∠A=∠1=∠2,∴3∠A=90°,∴∠A=30°,∵ED⊥AB,∠C=90°,∠1=∠2,∴DE=CE=4cm.在Rt△ADE中,∠ADE=90°,∠A=30°,∴AE=2DE=8cm.4.B如图,过点E作EF⊥BC于点F,根据角平分线的性质可得EF=DE=2,所以△BCE的面积=12BC·EF=15.C在等边△ABC中,D为BC边的中点,∴∠DAC=30°(三线合一).在△ADE中,AD=AE,∴∠AED=∠ADE=12×(180°-30°)=75°.∵∠AED+∠∴∠DEC=180°-75°=105°.6.D∵∠AOB=150°,PC∥OB交OA于点C,∴∠PCO=30°.如图,过P作PE⊥OA于E,∵PD⊥OB,OP平分∠AOB,∴PE=PD=3,∠AOP=∠POD=75°,∴∠CPO=75°,∴OC=PC.在Rt△CPE中,∠PCE=30°,PE=3,∴PC=6,∴OC=6.7.B∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=30°.∵AD⊥BC,∴∠BAD=60°.∵DE⊥AB于E,∴∠AED=90°,∴∠ADE=30°,∴AD=2AE=2,∴AE=1.在△ABD中,AB=2AD=4,∴BE=AB-AE=3.8.D当AB是底边时,作AB的垂直平分线分别与AC,x轴负半轴相交,共两个交点,都符合条件.当AB是腰时,①以点A为圆心,AB长为半径画圆,圆与坐标轴的交点中,有三个交点符合条件;②以点B为圆心,AB长为半径画圆,圆与坐标轴的交点中,有三个交点符合条件.综上,共有8个符合条件的点.9.D∵△ABC和△ADE关于直线l对称,∴l垂直平分CE,直线BC,DE的交点一定在l上,易知∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,∴∠BAE=∠DAC,易证△BCE≌△DEC,故正确的结论有4个.10.B∵将△ABD沿着AD翻折,使点B和点E重合,∴AB=AE,∠B=∠AEB.∵将△CEF沿着EF翻折,点C恰与点A重合,∴AE=CE,∠C=∠CAE,∴AB=EC,∴④正确.∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C,∴∠B=2∠C,∴③正确.根据已知条件无法确定①②正确,故选B.11.答案(5,9)解析根据平面直角坐标系中任意一点(x,y)关于y轴的对称点的坐标是(-x,y),可知点P(-5,9)关于y轴的对称点Q的坐标为(5,9).12.答案8解析∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°,∴∠B=∠ACD=30°,∴AC=2AD,AB=2AC,∴AB=4AD.∵AD=2,∴AB=8.13.答案2解析∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵∠A=∠ABD,∴∠A=∠ABD=∠CBD,又∠C=90°,∠C+∠A+∠ABD+∠CBD=180°,∴∠A=∠ABD=∠CBD=30°,∴BD=2CD=2.14.答案100°解析∵OD垂直平分AB,OE垂直平分AC,∴AM=BM,AN=CN,∴∠DAM=∠B,∠CAN=∠C,∴∠BAC=∠DAM+∠MAN+∠CAN=∠B+∠MAN+∠C=180°-∠B-∠C.∵∠MAN=20°,∴∠B+∠C=80°,∴∠BAC=100°.15.解析(1)如图所示,△A'B'C即为所求.(2)△ABC的面积=3×3-12×2×3-12×1×2-1216.解析连接AE,如图,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=12(180°-∠∵直线ED是线段AC的垂直平分线,∴EA=EC=6,∴∠EAC=∠C=30°,∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=90°,∴BE=2AE=12,∴线段BE的长为12.17.证明(1)∵EF是AD的垂直平分线,∴FA=FD,∴∠FAD=∠FDA.(2)∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD,∵∠FAD=∠FDA,∴∠FDA=∠CAD,∴DF∥AC.18.解析(1)证明:∵DE是AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴∠DAB=∠B=30°.∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAD=30°.∵DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE.(2)设CD的长为x,∵∠C=90°,∠CAD=30°,∴AD=2CD=2x,∵BD=AD,∴BC=3CD=3x=9,∴x=3,∴AD=2x=6.19.解析(1)∵∠BAD=∠CAD,∠BAC=120°,∴∠BAD=∠CAD=60°,∠CAE=180°-∠BAC=60°.∵CE∥AD,∴∠ACE=∠CAD=60°,∠E=∠BAD=60°,∴△ACE是等边三角形,∴CE=AC=5.(2)证明:∵CE∥AD,∴∠BAD=∠E,∠CAD=∠ACE.∵∠BAD=∠CAD,∴∠ACE=∠E,∴AE=AC.∵AB=AE,∴AB=AC,∴△ABC为等腰三角形.20.解析(1)建立平面直角坐标系如图所示,△A1B1C1即为所求作.(2)点P1的坐标是(-a+2,b).21.证明(1)如图,∵∠ABC=90°,BD⊥EC,∴∠2+∠3=90°,∠1+∠3=90°,∴∠1=∠2.∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC=90°.在△ABD和△BCE中,∠2=∠1,∴△ABD≌△BCE(ASA).(2)设AC与DE的交点为M,如图.∵E是AB的中点,∴EB=EA.由(1)知△ABD≌△BCE,∴AD=BE,∴AE=AD.∵AD∥BC,∴∠5=∠ACB.∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠4=∠ACB=45°,∴∠4=∠5.∵AD=AE,∴AM⊥DE,EM=DM,即AC垂直平分线段ED.22.解析(1)△DBC和△EAC全等.理由:易知∠ACB=60°,∠DCE=60°,∴∠BCD=6