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4.5.1几种函数增长快慢的比较

情境引入一次函数：幂函数：指数函数：对数函数：学习过的增函数有：

图象法感知函数增长的快慢

作商法比较函数增长的快慢

差分法比较函数增长的快慢

图像法感知函数增长的快慢同类函数图象比较观察下列四个幂函数的图象，看一看谁跑得快？幂函数:当

时

越大函数的增长速度越快；当

时

越大函数的增长速度越快；同类函数图象比较观察下列三个指数函数的图象，看一看谁跑得快？指数函数：

越大函数的增长速度越快；同类函数图象比较对数函数：

越小函数的增长速度越快；观察下列三个对数函数的图象，看一看谁跑得快？同类函数图象比较不同类函数图象比较例1通过图象比较

和

在区间

上增长的快慢。不同类函数图象比较思考：对于同学们能够大胆猜一猜它们在区间上增长的快慢吗？不同类函数图象比较思考：对于同学们能够大胆猜一猜它们在区间上增长的快慢吗？猜想幂函数？

作商法比较函数增长的快慢例1变式

推理并证明

和

在区间

上增长的快慢。证明：对于函数值的比值当

时，,此时两函数的图象交于一点；当

时，,此时函数

的图象在

的下方；当

时，,此时函数

的图象在

的上方；随着

的增长，比值

也越大，说明

增长得更快.例2利用作商法比较

和

在区间

上增长的快慢。上述证明表明无论

有多大,当

大到一定程度,就会比

的

倍还大.证明:当

时,有,

因而有不同类函数图象比较思考：对于同学们能够大胆猜一猜它们在区间上增长的快慢吗？幂函数

比较函数增长的快慢，还可以看增长速度的变化。

计算速度的简单办法就是看单位时间内走过的路程，所以这里我们可以通过计算当自变量变化单位1时，函数值的增长量，即：

的大小。

差分法比较函数增长的快慢指数爆炸

一般地,对于指数函数

和幂函数

在区间

上无论

比

大多少,尽管在

的一定变化范围内,但由于

的增长速度快于,因此总存在一个,当

时.直线上升当自变量变化单位1时，一次函数

的增长量恒定不变，我们把这种增长特征称为“直线上升”；对数增长

一般地,对于对数函数

和幂函数

在区间

上随着

的变大,尽管在

的一定范围内,可能会大于,但由于

的增长速度慢于,因此总存在一个,当

时.

在区间

上,尽管函数

都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一“档次”上,随着

的增长,总会存在一个,当

时,就有:

归纳小结

课堂练习下列函数中，增长速度越来越慢的是(

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