2024-2025学年湖北省襄阳市高三上学期第一次联考数学检测试题(一模)附答案_第1页
2024-2025学年湖北省襄阳市高三上学期第一次联考数学检测试题(一模)附答案_第2页
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文档简介

2024-2025学年湖北省襄阳市高三上学期第一次联考数学检测试题(一模)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={−1,−2,−A.{−2}B.{−3}2.若复数z满足z+1−iz=A.−12−12i3.已知非零向量a=0,t,b=1,−4,若向量b在A.-2B.-4C.2D.44.某工厂生产了500件产品,质检人员测量其长度(单位:厘米),将测量数据分成6组,整理得到如图所示的频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过a厘米,根据直方图估计,下列最接近a的数是()A.93.5B.94.1C.94.7D.95.55.下列选项中,与tan55∘A.1+sin20∘cos20∘6.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中,AB=AC=2,∠BAC=2πA.12πB.16πC.20π D.24π7.蒙日是法国著名的数学家,他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆,这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆C:x2m+y23=1的焦点在x轴上,A、B为椭圆上任意两点,动点P在直线x−A.0,33B.0,8.已知函数fx,gx的定义域为R,g'x是gx的导数,且fx+A.80B.75C.70D.65二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知函数fx=2A.fB.函数fx的图象关于点π18C.将fx的图象向左平移π6个单位长度,可得到gD.函数fx在区间0,10.已知函数fx=lnx−1−2A.若a,b∈D且aB.已知a,b∈D且a≠b,则“abC.方程ffx=0D.若a∈1,211.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支,在数学曲线领域占有至关重要的地位,同时也具有特殊的有价值的艺术美.双纽线的图形轮廓像“∞”,是许多艺术家设计作品的主要几何元素.已知在平面直角坐标系中,F1−2,0,F22,曲线C.则下列结论正确的是()A.曲线C既是中心对称又是轴对称图形B.曲线C上满足PF1=PF2的点C.OPD.曲线C上存在四个不同的点,使曲线在该点处切线的斜率为0三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知数列an是等差数列,且其前n项和为Sn.若S3=913.若直线y=2x为曲线y=eax+14.克罗狄斯·托勒密是希腊数学家,他博学多才,既是天文学权威,也是地理学大师.托勒密定理是平面几何中非常著名的定理,它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系,该定理的内容为:圆的内接四边形中,两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形ABCD是圆O的内接四边形,且AC=3BD,​∗(1)圆O的半径是_____;(2)四边形ABCD面积的取值范围是_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,△ABC是边长为2的正三角形,AA1=3,D为(1)当λ=23时,求证:A1E⊥(2)当λ=13时,求直线A1B116.(15分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左顶点为A,右焦点为F(1)求C的离心率;(2)已知a=1,M,N两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、四象限.若MB17.(15分)2024年7月13日,国际汽车博览会在长春举行,已知某汽车模型公司共有25个汽车模型,其外观和内饰的颜色分布如下表所示:红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件A为小明取到红色外观的模型,事件B为小明取到米色内饰的模型,求PB和PB∣A,并判断事件A和事件(2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型,给出以下假设:假设1:拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色;假设2:按结果的可能性大小,概率越小奖项越高;假设3:该抽奖活动的奖金额为:一等奖600元,二等奖300元,三等奖150元.请你分析奖项对应的结果,设X为奖金额,写出X的分布列并求出X的数学期望.18.(17分)已知函数ℎx(1)当a=1时,判断函数g(2)对任意的x≥0时g'x≥ℎ(3)记fx=ℎx−1πx2,若fx1=f19.(17分)已知数列an的前n项和为Sn.若对每一个n∈N∗,有且仅有一个m∈N∗,使得Sm≤an<Sm+1.则称an为“(1)若an的前四项依次为0,1,−1,2,试判断(2)若Sn=2n+1,证明an为“(3)已知a1=1的正项数列an为“X数列”,且an答案1.【正确答案】C集合A={−1,−2,−3由z+1−iz=1+3.【正确答案】A由题意b⋅aa⋅a4.【正确答案】C由图可得1所以a∈94,95,且a−94×5.【正确答案】DD中,1−tan6.【正确答案】C由C点到直线A1B1的距离为7△ABC的外接圆直径设三棱柱ABC−A1B1则R2=r2+7.【正确答案】B由题m>3,又直线x=±m,y=±3都与椭圆x2m+y23=1m>0相切,因此直线x=±m,y=±3所围成矩形的外接圆x2+y2=3+m即为椭圆x2m+y23=−得m<9,则e2=m所以椭圆C的离心率的取值范围为08.【正确答案】B因为gx为偶函数,所以gx=g−x,所以因为fx+g′x=5f所以f4−x+又fx=5−g′x=k9.【正确答案】ABA中,fx的周期T=2π3B中,令fx=2sin3x−π6=0C中,将fx的图象向左平移π6个单位长度,得到fx+π6D中,由fx的对称轴为x=2π9+kπ故D错误.10.【正确答案】BCD由函数fx=lnx−1且f′x=1x+2x−A中,令a=1e,b=e,得B中,由已知得f1x+fx=−C中,fx有两个零点x1,x2,方程fx=x1D中,由fa−1>f令gx=lnx+1所以gx在(0,1)为单调递减函数,所以gx>g1因为a∈1,2,可得1−得fa−1−fa11.【正确答案】ACD设P点坐标为(x,y),则曲线C:x−22B中,若PF1=PF2,则PF1=PF2C中,由x−22+整理得,x2+y22=D中,从双纽线的图形上,可以观察有四个点处切线的斜率为0,另外,由x2+y22=8x2令yx′=0⇒x=±3或0,经计算曲线12.【正确答案】1由S3=9,S6=36得:a213.【正确答案】2设fx=eax+b,则f′x=可得切线方程为y−eax0所以1−ax0eax0+b=0a设gx=2xe1+x,则g′x=当x∈1,+∞时,g′x<0,gx单调递减,所以当所以ab的最大值为2e14.【正确答案】(1)2;(2)3,(1)由托勒密定理,得AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅设圆O的半径为R,由正弦定理,得ACsin∠ADC=BDsin∠所以sin∠ADC=3sin∠BAD.因为∠因为0<∠BAD<π,所以sin∠BAD所以sin∠BAD=1−cos2∠BAD=(2)如图,假设BD边固定,结合AC=23得,圆心O到直线AC的距离d=1,即AC是以过B(或D)分别做小圆的切线时,可得直线BA2,BA4,DA1,DA3当C点在劣弧BD时,顶点A可以在劣弧A1A2,A3A4上运动,由对称性可知,不妨考虑点A在劣弧15.(13分)(1)证明:∵△ABC为正三角形,D为AC中点,∴在直三棱柱ABC−A1B1C1中,平面ACC1A1⊥故BD⊥平面ACC1A1当λ=23时,tan∠A1∴∠A1ED=90∘,即A1E⊥DE(说明:也可以用坐标法证明)(2)当λ=13时,CE=1,易证A1E⊥DE以D为坐标原点,以DB,DC,DD1向量方向分别为x轴,y建立如图所示的空间直角坐标系,则有D0,由A1E⊥平面BDE可得:平面BDE的一个法向量是且BA=−3,−1,0.记直线A1B1sin所以直线A1B1与平面BDE所成角的正弦值是(说明:也可以用几何法求解)16.(15分)(1)当BF⊥AF且AF=BF时,c+a=b2a=c(2)由a=1得:c=2,b=3不妨设Mm,3m,Nn,−3n由B在双曲线C上得:m+2n而∠MON=120∘(1)若小明取到红色外观的模型,棕色内饰的有12个,米色内饰的有2个,则对应的概率PA若小明取到米色内饰的模型,红色外观的有2个,蓝色外观的有3个,则对应的概率P(2分)同时取到红色外观、米色内饰的模型有2个,即PAB=225,则∵PAPB=1425×15=14(2)由题意知X=则外观和内饰均为同色的概率P1=外观和内饰都异色的概率P2=仅外观或仅内饰同色的概率P3∵1则X的分布列为:(13分)X150300600P14913则EX=150×18.(17分)(1)当a=1时,g令mx=ex当x<ln2时,m′x<0,即m当x>ln2时,m′x>0,即mx所以mx≥mln所以gx在R上为增函数;-4(2)因为gx=ex设F则F′x令nx=ex−∴nx在[0,+∞)为增函数,即F′x故F′x当a≤−12时,F′x≥F′0=−故Fx≥F0当a>−12时,F′0=−2a−1<0故存在x0>0满足F′x0=0,则所以当x∈0,x0综上所述,a的取值范围为a≤−(3)证明:fx由fx1=fx所以2x1两边同除以x1−x2所以2−1令x0=x1+x22因为f′所以f′x因为sinx1−x22x1−x22=sinx2−x12x2−x12,又x(说明:第(3)问用极值点偏移的方法对应给分,易知部分不证明也给分)19.(17分)(1)an不为“X数列”.由题意得:S1=因为S1≤a1<S2,S3≤a所以an不为“X数列”;-5(2)证明:因为Sn=2n+1,所以当n=1解得m=1,所以b当n≥2时,an=Sn−Sn因此m=n−1,此时所以

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