第一章图形的相似期末复习训练 青岛版数学九年级上册

2023-2024九年级上学期青岛版数学（第一章图形的相似）期末复习训练一、选择题下图1中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是(

)A.点P B.点O C.点R D.点S图1图2图3如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与下图中△ABC相似的是(

)

A. B. C. D.如图2，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DEAE=12，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE=3，DF=4，则▱ABCDA.21B.28C.34D.42如图3，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，AE，BD交于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是(

)A.△BFEB.△AFDC.△ACED.△BAE如图4，△ABC，点D，点E分别在AC，AB上，连接DE，DE//BC，过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，则下列结论错误的是(

)A.ADAC=AEABB.ADCD=在平面直角坐标系中，△AOB三个顶点的坐标分别为A(2,0)，O(0,0)，B(−1,1).以坐标原点O为位似中心，作与△AOB的位似比为23的位似图形△A'OB'，则点B的对应点B'的坐标为(

)A.(−23,23) B.(23,−2如图5，有一块等腰三角形材料，底边BC=80cm，高AD=120cm，现要把它加工成正方形零件，使其一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为(

)36cmB.40cmC.48cmD.60cm图4图5图6如图6，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE=12CF；②BHDH=3；A.①②③④ B.②③ C.①②④ D.①③④图7图8如图7，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F.若AC=2，则线段EF的长为(

)A.35B.4515C.2在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图8所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)，延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点AA.5⋅(32)2010 B.5⋅(94二、填空题如图9，在梯形ABCD中，AD//BC、AD=3，BC=5，E，F是两腰上的点，且EF//AD，AE：EB=1：2，则EF=______．图9图10

已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形图10中如图①排列，则图中阴影部分的面积为______；若将正方形换成三个菱形如图②排列，菱形的较小锐角为60°，则图中阴影部分的面积为______．如图11，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=8，AD是△ABC的中线，点P是射线AD上的一个动点，P与A不重合，连接PC，PB，当△PBC为直角三角形时，CP的长为______．

图11图12图13如图12，AB⊥BC，AB=5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D=90°，连接AD，则AD的最小值为______．如图13，四边形ABCD为平行四边形，点F为BC上点，AF交BD于点E，且∠BAE=∠ADB，BFCF=12，∠ABC=60°，则BC如图1是个家用折叠梯子，使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，BC=CD=DE=EL，将踏板往上收起时(如图2)，点A与点F重合，此时，踏板可以看作与支架AL重合，将梯子垂直摆放时，量得点A离地面110cm，点H离地面65cm，则踏板宽BF=______cm；图3是图1的简略视图，记支架AM交BF于点P，此时点G恰好在A的正下方，且量得PB：PF=13：4，则AM=______cm．

三、解答题如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=4，BD=14，点P在BD上移动，以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，已知PE⊥EC．

(1)求证：△AEP∽△DEC；

(2)若AB=3，BC=4，求AP的长．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE=∠BAD=90°．

(1)求证：BD2=BA⋅BE；

(2)求证：△CDE∽△CBD；

(3)若AB=6，BE=8如图，在□ABCD中，点E在AB上，AE=13AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG//AB，交AD于点(1)求FG：AE的值．(2)若AB：AC=3：2①求证：∠AEF=∠ACB．②求证：DF如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连接EF交AD于点G．

(1)求证：AD2=AB⋅AE；

(2)若AB=5，AE=4如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，且AE//CD，DE//AB，过点C作CF//AD交线段AE于点F，连接BF．

(1)求证：△ABF≌△EAD；

(2)如图2，若AB=9，CD=5，∠ECF=∠AED，求BE的长；

(3)如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BECE的值．

答案1.A

2.B

3.C

4.D

5.B

6.B

7.C

8.A

9.B

10.D

11.11312.154

，1513.1255或24514.5215.13−116.20

5501017.解：设DP=x，则BP=BD−x=14−x，

∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，

∴∠B=∠D=90°，

∴当ABCD=BPDP时，△ABP∽△CDP，即64=14−xx，

解得x=285

BP=14−285=8.4；

当ABDP=BPDC时，△ABP∽△PDC，即6x=14−x4，

整理得x2−14x+24=0，

解得x1=2，x2=12，

BP=14−2=12，BP=14−12=2，

∴当BP为18.证明：(1)∵AE⊥BD，PE⊥EC，

∴∠AED=∠PEC=90°，

∴∠AEP=∠DEC，

∵∠EAD+∠ADE=90°，∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠EAP=∠EDC，

∴△AEP∽△DEC；

(2)在Rt△ADE和Rt△BAE中，∠AEB=∠AED=90°，

又∵∠DAE+∠BAE=90°，

∠DAE+∠ADE=90°，

∴∠BAE=∠ADE，

∴△AEB∽△DEA，

∴AEDE=ABAD=34，

由(1)知，△AEP∽△DEC，

∴AE19.(1)证明：∵BD平分∠ABC，

∴∠DBA=∠DBE．

∵∠BAD=∠BDE=90°，

∴△BAD∽△DBE，

∴BABD=BDBE，

∴BD2=BA⋅BE；

(2)证明：∵∠BDE=∠BAD=90°，

∴∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB+∠EDC=90°，

∴∠ABD=∠EDC．

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBA=∠DBE．

∴∠EDC=∠DBE，

∵∠C=∠C，

∴△CDE∽△CBD；

(3)解：由(1)知：BD2=BA⋅BE，

∵AB=6，BE=8，

∴BD2=6×8，

∵BD>0，

∴BD=43．

∴DE=BE2−BD20.(1)解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD，AB//CD，

∵AE=13AB，

∴AECD=13，

∵AB//CD，

∴△AFE∽△CFD，

∴EFFD=AECD=13，

∴DFDE=34，

∵FG//AB，

∴△DFG∽△DEA，

∴FGAE=DFDE=34；

(2)证明：①设AC=2a，则AB=3a，

∴AE=33a，

由(1)可知，△AFE∽△CFD，

∴AFFC=AECD=13，

∴AF=12a，

∴AEAC=21.(1)证明：∵AD⊥BC，DE⊥AC，

∴∠ADC=∠AED=90°，

∵∠DAE=∠CAD，

∴△ADE∽△ACD，

∴AD：AC=AE：AD，

∴AD2=AC⋅AE，

又∵AB=AC，

∴AD2=AB⋅AE；

(2)解：连接DF，如图所示：

由(1)得：AD2=AB⋅AE，

∴AD2=AB⋅AE=5×4=20，

∴AD=25，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

∵F是AB的中点，

∴DF是△ABC的中位线，22.(1)证明∵AE//CD，

∴∠AEB=∠BCD，

∵∠ABC=∠BCD，

∴∠ABC=∠AEB，

∴AB=AE，

∵DE//AB，

∴∠DEC=∠ABC，∠AED=∠BAF，

∴∠DEC=∠BCD，

∴DE=CD，

∵CF//AD，AE//CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∴AF=CD，

∴AF=DE，

在△ABF和△EAD中，

AB=EA∠BAF=∠AEDAF=ED,

∴△ABF≌△EAD(SAS)；

(2)解：∵CF//AD，

∴∠EAD=∠CFE，

∵∠ECF=∠AED，

∴△EAD∽△CFE，

∴ADEF=DECE=AECF，

由(1)知：四边形ADCF是平行四边形，

∴AD=CF，AF=CD，

∵AB=9，CD=5，

∴AE=9，DE=5，

∴EF=AE−AF=9−5=4，

∴CF4=5CE=9CF，

∴CF2=4×9=36，即CF=6，

∴CE=206=103，

∵∠ABC=∠BCD=∠AEB=∠DEC，