备考2024年新高考数学一轮复习专题66 解三角形的最值（范围）及图形切割含详解

专题6.6解三角形的最值(布围)及图形切割

三(题型目录

题型一利用基本不等式求最值(范围)

题型二利用二角函数值域求角的范围

题型三利用三角函数值域求边的范围

题型四图形切割

题型五角平分线的应用

题型六中线的应用

题型七解二角形的结构不良

才典例集练

题型一利用基本不等式求最值(范围)

例1.(2023・湖北武汉・华中师大一附中校考模拟预测)已知中，角A,B,C所对边分别为。，力，J若满

足a(sin2A—cos“cQsC)+/)sinAsinC=0.

(I)求角A的大小；

(2)若。=2,求.月次?面积的取值范围.

例2.(2023春•浙江•而二期中)已知平面向量a=kinx,2Gcosx),/?=(2sinx,sinx),函数〃x)=aZ>+l.

⑴求/W的单调增区间.

⑵在AAAC中，a,b,。分别是内角A,B,C所对的边，若〃A)=4,a=2,求&44C周长的取值范围.

举一反三

练习I.(2023・全国•高二专题练习)已知》水?的内角B,C的对边分别为/?.r.5acainB=b2-(a-c)2.

⑴求sinB：

(2)求的最小值.

cr+c'

练习2.(2023・湖南•校联考模拟预测)在一A8C中，a、b、c•分别是用4B、C所对的边，向量

//=(c-2/?,«),v=(cosAcosC),且〃JLy.

(I)求角A的大小；

⑵若泥.湘=2,求必〃。外接圆半径的最小值.

练习3.(2023春•四川南充•高三四川省南充高级中学校考阶段练习)已知向量〃?=(siM,l),〃=(6cosxScos2，，

函数y(x)=〃?〃.

(1)求函数/(力的最大值及相应自变量的取值集合；

(2)在中，角AB,C的对边分别为〃力,c,若/(A)=g,a=2,求/3C面积的最大值.

练习4.(2023•河南洛阳•模拟预测)已知SBC的内角A,B,C的对边分别为小b,c,若耳csinB=a-bcosC.

⑴求A;

(2)若DC=AO，4D=2,求”4。的面积的最大值.

练习5.(2023春.内蒙古赤峰.高三校考阶段练习)在中，内角A,B,。所对的边为〃，b,「，且A=g,

则下列说法正确的是.

①〃=2asinb；②sinAisinA；③一"C周长的最大值为3；④罚.送的最大值为)

题型二利用三角函数值域求角的范围

例3.(2023春・全国信二专题练习)锐角△AAC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,C,若/=〃(〃+)),则siM

的取值范围是()

八・亭季B.(界)C.(l,f)D.(0与)

例4.(2023•全国•高三专题练习)在锐角一43c中，内角A、B、C所对边分别为〃、b、c,且乃sinA=Ga.

⑴求角B；

⑵求cosA+cosA+cosC的最大值.

举一反三

练习6.（2023春・全国•高三专题练习）锐角_A£?C中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,a=\,且

Z?cosA-cosB=l,则Gsin8+2sin2A的取值范围为（）

A.（0,6+1）B.（2,6+1）C.D.（2,石］

练习7.（2023春•河南南阳•高三河南省桐柏县第一高级中学校考期中）己知锐角./8C的内角A,B,C的对边分别

为a,b,c,且$「必卜『+/?2-（？）=。"2$访8-$111。）.

⑴求A;

⑵求sinB+sinC的取值范围.

练习8.（2023・陕西榆林・统考三模）已知，力"分别为.工8C的内角AB,C所对的边，八丛AC=4，且msinA=8sinA.

⑴求A;

（2）求sinAsinBsinC的取值范围.

练习9.（2023春•河南平顶山•高三校联考阶段练习）已知_A3C的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,若一ABC的

面积S邛（/+02一/），则角8=,sinAsinC的最大值为.

练习10.（2023春•四川成都•高三成都实外校联考阶段练习）在BBC中，先A,B,C的对边分别为a,b,c,且

6/tanC=2csinA,则sinA+sin8的取值范围为.

题型三利用三角函数值域求边的范围

例5.（2023・重庆・统考模拟预测）在锐角58C中，角A、B、C的对边分别为〃、b,c,其面积为S,且

?</3

（b-a）（b+a）+accosB=----S.

⑴求角4的大小；

⑵若。=26，求S的取值范围.

sinC+sinB

例6.（2023•全国•高三专题练习）记-A8C的内角力，B,。的对边分别为a,b,c,已知tanA=

cosC+cosB

(1)求A的值;

(2)若“灰:是锐角三角形，求史g的取值范围.

a"

举一反三

练习11.(2023・全国•高三专题练习)在.45。中，角A丛C的对边分别为〃也c,已知〃=7,且但=学嗯

csinA-sinfi

(1)求"AC的外接圆半径/?；

(2)求A8C内切圆半径广的取值范围.

练习12.(2023春・浙江宁波•高二余姚中学校考期中)在中，角人丛。的对边分别为且

a=2>/2,>/2(/sin4+J=/?.

⑴求角C；

(2)若一ABC为锐角三角形，。为A3边的中点，求线段长的取值范围.

练习13.(2023・高三单元测试)在锐用三角形A8C中，sin2B+sin2C-sin2(B+C)=V2sinBsinC,AC=2,则AC边

上的高的取值范围是()

A.(1,2>/2)B.(1,>/2)C.(75,272)D.(1,2)

练习14.(2023春・重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)在锐角中，分别是角ARC

所对的边，csinB+C=sinC,且a=l.

2

⑴求A；

(2)若一A8c周长的范围

练习15.(2023・全国•高三专题练习)在锐角ABC中，角4,8,C所对的边为己知+而=0,

Z?csinC=3ccosA+3〃cosC.

(1)求C\

(2)求a+〃的取值范围.

题型四图形切割

例7.（2023春•陕西榆林・高三绥德中学校考阶段练习）在..ABC中，4C=V13,。为N48C的角平分线上一点，且

与B分别位于边AC的两侧，若NA£>C=150,AO=2.

（1）求，D4C的面积;

(2)若乙ABC=120，求3£＞的长.

例8.（2023•全国•高三专题练习）如图，在梯形A8CO中，已知AD〃8C,AD=1,BD=2M，NCAO==,

(2)-4CO的面积.

举一反三

练习16.（2023秋•浙江•高三浙江省永康市第一中学校联考期末）如图，在58C中，点。在边BC上,

BDsinZCAD=ABsin/BAD

(2)若CD=28。，sin/BAO=!，求cosC.

练习17.（2023•山东•烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形A8CD中，AB//CD,BC=&D,/BAD=2/BCD.

⑴求/M。；

（2）若CD=4,ZABD=ZADB,求四边形A4CO的面积.

练习电（2023春•全国•高三专题练习）如图，在..A6C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知匕=3,

c=6,sin2C=sinZ?,且A。为BC边上的中线，4E为/8AC的角平分线.

（1）求cosC及线段AC的长;

⑵求VA£>£的面积.

练习19.（2023春•广•东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习）如图,在平面四边形A8c。中，若AB=6,8c=10,

67）=12,AD=2>/7»2（ACcosZ.BAC+BCcosB）cosB+AB=0.

⑴求B：

(2)求证：ZACB=ZACD.

练习2d.（2023春・福建福州•高三福建省福州高级中学校考期中）如图，在aABC中，点。在边BC上，且AO_LAC,

（1）若BC=2,求sinC的值；

（2）若8C边上点石满足BE=2EC，Z.ADE=—,求卜耳.

题型五角平分线的应用

例9.（2023春•辽宁大连•高三校联考期中）在非直角一A3C中，设角A,B,C的对边分别为a,〃，c,若

asinA4-Z?sinB-csinC=4Z?sinBcosC,CQ是角。的内角平分线，fiCD=b,则tanC等于（）

3「l11

A.jWB.3不C.-D.-

oo3

例10.(2023•安徽合肥•合肥巾第八中学校考模拟预测)已知A5c的内角A6、c所对的边分别为“杈c,且满足

2而os5=2c+〃.

⑴求A：

(2)若。在8C上，A。是/B4C的角平分线，且AO=1,求S八”的最小值.

举一反三

练习21.(2023春•吉林长春•高三长春十一高校考期中)记“4。的内角A、3、C的对边分别为a、〃、c,已知

Z?c(1+cosA)=4t/2.

(I)证明：b+c=3a；

(2)若a=2,cosA=(,角8的内角平分线与边AC交于点。，求80的长.

练习22.(2023春・天津武清・高三天津英华国际学校校考阶段练习)在..A4C中，角A,B,C的对边分别为a,

c,已知(sinA+sin8)(4-b)=sinC("c),若角A的内角平分线4。的长为3,则。+c•的最小值为()

A.12B.24C.27D.36

练习23.(2023・全国・高三专题练习)在“灰?中，角41(所对的边分别是a/",其中新。=35访4,3=60。"=疗.

若B的角平分线8。交AC于点。，则4/1=.

练习24.(2023春•全国•高三专题练工)已知」1BC的内角ARC的对边分别为a也c,且乃cosA-a=2c.

⑴求角伙

(2)设NA8C的角平分线8。交AC于点。，若RD=2,求/8C的面积的最小值.

练习2"(2023・全国•高三专题练习)记.A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三

个正三角形的面积依次为5，S2,S3.已知S「S?+S3=当".

(1)求8s6;

⑵若48c外接圆面积为号，求ac的最大值；

4

（3）若依=辿，且ABC的角平分线8。=辿，求a+c.

43

题型六中线的应用

例11.（2023春•辽宁大连•高三校联考期中）在58C中，内角4,B,C的对边分别为a,江c,c=2b,2siM=3sin2C.

（l）^csinC；

（2）若.ABC的面积为6",求AB边上的中线。。的长.

例12.（2023春•福建福州•高三福建省连江第一中学校考期中）记》8C的内角AB,C的对边分别为例

点。为8c边的中点.若a=26AD=BA=],则必8C的面积为

举一反三

练习26.（2023春・湖北孝感・高三湖北省汉川市第一高级中学校联考期中）已知〃、b、。分别为“8C内角A、B、

C的对边，且acosC+GasinC—〃一c=0.

（1）求A;

（2）若中线A£>=2,求/8C面积的最大值.

练习27.（2023春・吉林长春・高三长春市第二实验中学校考阶段练习）如图，在工6c中，已知

AB=2.AC=5,ZBAC=60,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,则NMPN的余弦值为.

练习28.（2023春•山东淄博•高三山东省淄博实验中学校考期中）已知在二ABC中，A3为4C边上的中线，且BD=2,

AD=4,则cos/84c的最小值为.

练习29.（2023•全国•模拟预测）在中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c,c=〃，点。在线段AC上，

设BD=L

⑴若BD是NA8C的平分线，/=友〃，求。的大小；

3

（2）若是4c边上的中线，，=疗，/48C=1,求.ABC的周长.

练习30.（2023春•四川成都•高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）在以8c中，角43,C的对边分

别为ab,c,且的面积为曰W+d—吗

（I）求角A的大小；

⑵若b=3、c=6.AD是..ABC的一条中线，求线段AD的长.

题型七解三角形的结构不良

例13.（2023•山西・校联考模拟预测）如图，在“8C中，。为边BC上一点，AB=26,BD=\,AD=H.

⑴求角3;

⑵从下面两个条件中选一个，求角。

®AC=ZAD<CD；

②cos/DAC=.

14

例14.（2023・重庆・统考三模）在①（2h-c）cosA=〃cosC,②asin〃=6z?cos4,@acosC+y/3cs\nA=b+c,这三

个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.

问题：锐角4ABe的内角4,B,C的对边分别为小b,c,已知.

⑴求4

（2）若8=2,。为/W的中点，求CD的取值范围.

举一反三

练习31.（2023・北京•高三专题练习）3c的内角ARC的对边分别为sin«=1,且

在①/-//+1=2,②AB.AC=-1，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

⑴求ABC的面积；

⑵若sinAsinC=,求b.

3

练习32.(2023•江苏南通・统考模拟预测)在①‘mA=,2a：…②sin4-cos3=叵』这两个条件中任

cosBcosCa~+c~-b~c

选一个，补充在下面问题中，并完成解答

记JWC的内角4,B,C的对边分别为。，b,c,已知.

(1)求角。的大小;

3

⑵若点。在边上，且%)=24),cosB=-t求tan/BCO的值.

练习33.(2023•安徽阜阳•安徽省临泉第一中学校考三模)在J18C中，角4,B,C所对边长分别为。，4c,满足

(«-/?)(sinA4-sin8)=(Z?+c)sinC.

(1)求的大小；

(2)A8=2及，点。在BC上，AD1AC,在①8。=6,@cosZADC=—,③处=通土!.这三个条件中任选

3DC5

个作为条件，求53C的面积.

练习34.(2023・北京・人大附中校考三模)在以AC中，〃也。分别为内角4,凡。所对的边,且满足•/1时4+胃=；.

⑴求知4的大小；

(2)试从条件①②③中选出两个作为已知，使得“4C存在且唯一，写出你的选择,并以此为依据求

/BCH勺面积.(注：只需写出一个选定方案即可)

条件①：。=2：条件②：8=f；条件③：c=J3〃.

4

注：如果选择的条件不符合要求，第：2)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

练习3"(2023・江苏无锡•校联考三模)已知的内角A,B,C所对的边分别是b,c,且______.

在①。sin空C=asin8；②石sinC+cosC=23；③〃+c?一/=3叵力^inA这三个条件中任选一个，补充在上

2a3

面横线上，并加以解答.

⑴求A；

(2)若8=2,c=3,点N为AC的中点，点M满足8M=2MA，且8N,CM相交于点尸，求cos的C.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

专题6.6解三角形的最值（范围）及图形切割

三I题型目录

题型一利用基本不等式求最值（范围）

题型二利用二角函数值域求角的范围

题型三利用三角函数值域求边的范围

题型四图形切割

题型五角平分线的应用

题型六中线的应用

题型七解二角形的结构不良

才典例集练

题型一利用基本不等式求最值（范围）

例1.（2023・湖北武汉・华中师大一附中校考模拟预测）已知中，角A,B,C所对边分别为。，b,c,若满

足“（sin24-cosAcosC）+AsinAsinC=0.

（I）求角A的大小；

（2）若。=2,求ABC面积的取值范围.

【答案】（呜

（2）（0,1]

【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换化简等式，可以得到角人=；.

（2）根据勾股定理，由基本不等式得到两直角边积的最值即可.

【详解】（1）由正弦定理知，sinA（s\n24-cosBcosC）+sin/?sinAsinC=0,

,:Ae（0,兀）,:.sinAw0,

sin2.4-cosBcosC+sinAsinC=0,

化简得sin2A=cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=cos（乃一A）=sin（A—,

vAe（0,7r）,「.2A+A-£=〃（其中2A=A-£舍去），即4=四.

222

(2)由(1)知A=',则从+c?=/=4,

那么的面积S=gbc<生产-=I(当且仅当〃=c=&时等号成立)，

则ABC面积的取值范围为(。』.

例2.(2023春・浙江•高二期中)己知平面向量〃Hsinx,26cosx),/?=(2sinx,sinx),函数/(x)=a・b+l.

⑴求/(力的单调增区间.

(2)在△ABC中，a,。，c•分别是内角4,B,C所对的边，若/(A)=4,a=2,求AABC周长的取值范围.

【答案】⑴-g++E,kwZ

o3

⑵(4,6]

【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算求出，再通过二倍角与辅助角公式化简，带入三角函数的单调递增区间即可

求得；

(2)代入已知条件，余弦定理可以获得边之间的关系，再结合基本不等式即可求得周长的取值范围.

[详解】(1)==2sin?x4-2\/3sinxcosx+l=1-cos2x+V3sin2.r+1=2sin(2.r--)+2,

6

所以令-Z+2E?2x-?-2kjt,k?Z,解得2+E.A?Z,

26263

所以函数的单调递增区间为|"-3+也5+也]«£2；

(2)因为/(A)=4,即2sin(24-.)+2=4,解得24-'=；+2E,kwZ,KPA=^+WeZ,

因为A为三角形的内角，所以A=

又因为4=2,所以COSA="2+'-4=_L,即6+。2-4=反，即S+c>-4=3仇W3如立，解得Hc«4,

2bc24

又因为。，b,c是一48c的边，所以〃+c>2,故△ABC周长4<C八8c=a+"cK6.

所以周长的取值范围是(4,6].

举一反三

练习1.(2023・全国•高三专题练习)已知工BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,M^sin«=/?2-(«-c)2.

(1)求sin8；

⑵求「J的最小值.

w+c

4

【答案】(l)sin8=m

2

⑵二

(1)由题意和余弦定理可得cos8=l-gsinB,结合sinY+cosYW计算即可求解；

【分析】

(1)可得cos8=3,则从=/+/一§农，代入1千，结合基本不等式计算即可求解.

(2)由

55a~+c~

(1)由余弦定理知。2=/+c2-2accos8,

所以acsinB=b2-(a-c)2=-laccosB+2ac,

由w0,得sin8+2cos8=2,即cosB=1—gsin8,

又因为sin'8+cos'8=1,所以sin~B+(l——sinB)2=1,

2

即5sin，8-4sin8=0,在丛8C中,sinB>0,

4

所以sinB=w.

41I43

(2)由(1)知sin8=一，则cosA=l-—sin=I——x-=-,

52255

226

,2cr+c——acj-ac

所rr(>以l6士5二］6ac.5=2n,

a2+c2a2+(?5a2+c~2ac5

当且仅当。=c时等号成立.

A29

所以「J的最小值为二.

a'+c'5

练习2.(2023•湖南•校联考模拟预测)在一A3C中，。、b、c分别是用4B、C所对的边，向量

//=(c-2Z?,«),v=(cosAcosC),且〃1u.

(I)求知A的大小：

⑵若髭.:捐=2,求外接圆半径的最小值.

【答案】⑴9

⑵挛

3

【分析】(1)利用正弦定理边化角求解即可；

(2)由正，余弦定理及重要不等式求解即可.

【详解】(I)：〃=(c-2"a),y=(co$AcosC),且〃_LI，，

/.(c-2ZJ)cos4+«cosC=0,

由iF弦定理知：a=2/?sinA,b=2/?sinB,c=2/?sinC(Z?是MBC外接圆半杼).

.-.(2/?sinC-2(2/?sinB))cos>4+2/?sin/\cosC=(),

sinC-cosA-2sin13■cosA+sinA-cosC=0，

即sin（A+C）=2sinBcosA,

而ABC是jWC的三内角，，sin（A+C）=sinB>0,

..\.7T

••cos4=—,A=一；

23

llLHlHLU

（2）VACAB=2^becosA=2、bc=4,

a2=b2+c2-2/?ccosA>2bc-4=4»

：,a>2,当且仅当c=〃=2,等号成立.

-迪R>空

/彳一五一亍'亍，即一力BC外接圆半径的最小值为士.

3

2

练习3.（2023春•四川南充•高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知向量〃?=（sinA,l）,〃=（6cosx,gcos2x）,

函数=〃?•〃.

⑴求函数的最大值及相应自变量的取值集合；

（2）在.ABC中，角A8C的对边分别为a,仇c,若/（A）=g,a=2,求.ABC面积的最大值.

【答案】（1）/（X）M=1,此时自变量的取值集合为=t+

⑵G

【分析】（I）根据题意，由向量数量积的坐标运算即可得到“X）解析式，再由辅助角公式化简，由正弦型函数的

最值即可得到结果；

（2）根据题意，结合（1）中“X）解析式可得人=T，再由余弦定理以及基本不等式即可得到结果.

【详解】（1）由题知，f（x）=mn=TSsiarcosx+-cos2x=—sin2x+-cos2.r=sinflx+—1,

222I

・•・当2x+e=]+2KaeZ,即x.+EMeZ时，/（x）最大，旦最大值为1,即/（初叫印，此时自变量的

取值集合为｛中=看+&兀丘2».

（2）由（1）知，/（x）=sin（2x+-^l则/（A）=sin（2A+B]=1,

因为在.48。中，0<人<兀，所以2<2A+=<斗兀，

666

所以2%+?=乎，所以八二、

663

又由余弦定理及o=2,人=々得：a2=h2+c2-27;c'cosA>

即22=b2+c2-2bccos~,

3

所以从+，—4=AN»C—4,即从K4（当且仅当匕=（;时等号成立）.

所以5=-bcsinA=—bcx多*6

22

练习4.（2023•河南洛阳•模拟预测）已知一A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若Gcsin3=a-0cosC.

⑴求B；

（2）若/）C=A/）,BD=2,求必BC的面积的最大值.

【答案】⑴:

O

⑵8-46

【分析】（1）利用三角形内角和，正弦定理即可求出角8；

（2）利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出a的取值范用，即可得到工8c的面积的最大值.

【详解】（1）由题意，

在S8C中，\/3csinB=a-bcosC»

==A+B+C=n

sinAsin13sinC

>/3sinCsinB=sinA-sinBcosC,BP>/3sinCsin^=sin（Z?+C）-sin^cosC,

/.（>/3sin/?-cos/^jsinC=0,

丁sinCw0,0</?<7i

，Gsin8-cos8=0,可得tanB=—,解得：B=J.

36

（2）由题意及（1）得

在/8C中，B=1,DC=ADBD=2,

o

为边AC的中点，4,。F=4x2]=16

LUUUUUllU

:・2BD=BA+BC,

A4（BD）2=（4A+BC）2=（5A）2+2BABC+（Z?C）2,即4阿『=网?+2网国际3+„=16,

设|叫=e,|fic|=«,则/+c>+2accos工+c「+6ac=16N（2+6）ac,

所以acwf=32-166，当且仅当。=。时，等号成立.

••・S,iBc=gacsinB=（acT8-46,当且仅当时，等号成立，

・•・的面积的最大值为8-46.

练习5.（2023春•内蒙古赤峰•高三校考阶段练习）在.v48c中，内角A,6,。所对的边为“，b,c,且。=1,4=],

则下列说法正确的是

uuuuuu

①〃=2asinB；®sinB=bsinA；③MBC周长的最大值为3；④4rAe的最大值为;.

【答案】②③④

【分析】对于①、②，利用正弦定理判断即可，对于③，利用余弦定理结合基本不等式可判断，对于④，由选项③

HlUluuu

可知〃+/一力c=1,结合基本不等式可得庆工1,从而可求出AC的最大值

"，_=上/7

【详解】对于①，因为A=S，所以由正弦定理得.7："sinB.所以〃=±9〃sin8,所以①错误；

3sin—7

3,

对于②，因为。=1,所以由止弦定理得」7=工，所以sin8=MnA,所以②止确：

sinAsinB

对于③，根据余弦定理得cosA」+:/J+；_]=:，所以加+°2-bc=l,

2bc2hc2

即(b+c)2—3儿=1,所以S+c)?-3bc=lN(〃+c)2-3f^^=—(Z?+c)2,

I2)4

所以〃+cW2,当且仅当力=c=l时，等号成立，所以"+C+1W3,所以③正确.

对于④,由选项③可知从+C?-反=1.所以从+°2=1+反之2".则反Y1,当且仅当b=。、=1时.等号成立.

所以A8•AC=hccosA=-bc<-,所以④正确.

22

故答案为：②③④

题型二利用三角函数值域求角的范围

例3.(2023春・全国•高三专题练习)锐角△ABC中，先A,B,C所对的边分别为。，b,C,若/="(〃+〃)，则sinA

【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得。=2人，再求出A的范围即可.

【详解】由/=〃(〃+〃)，得。2=/+出,，由余弦定理得/="+〃_2而8SC,

•**a2+ab-a2+b2-2abcosC,b=aI2^cosC»

由正弦定理得sin4+2sinAcosC=sin8,

,.，5=兀一(A+C),

sin/4+2sinAcosC=sin=sin?!•cosC+cosAsinC,

即sinA=sin(C-A).

Vc2=a2+ab.：.c>a,AC-A>0,

又_A8C为锐角三角形，・・・0<4<5,0<C—A<],

：,A=C-At解得C=2A,

X0<4<-,0<B=n-3A<-,0<C=2A<-,

222

.・"l间

..sinAe一，——

122

故选：C.

例4.（2023・全国•高三专题练习）在锐角aABC中，内角A、B、C所对边分别为〃、b、J且》sinA=Ga.

（1）求角8；

⑵求cosA+cos3+cosC的最大值.

【答案】⑴：

（2）1

【分析】（I）利用正弦定理将边化角，即可求出sinB,从而得解；

（2）将cosA+cos4+cosC转化为关于A的三角函数，再结合A的取值范围，求出最大值.

【详解】（1）由2〃sinA=结合正弦定理可得2sinBsinA=GsinA,

因为“BC为锐角三角形，所以sin8=』L又故〃=g.

2k2J3

।（2JU\

（2）由（1）可得cosA+cos8+cosC=cos4+—+cos------A

.12n..2n..

=cosA+—+cos—cos4+sin—sinA

233

A।A耳.A1

=cosA——cosA+——sinA+—

222

G•A1A•

=——sinA+—cosA+—

222

=sin(A+2+g(或者=cos(A-()+；)

八2兀.71

0<------A<—

由32,可得

,、，兀62

当八='时，sinA-\—=1,即8SA+COS2+COSC的最大值是：.

316niax,

举一反三

练习6.（2023春・全国•高三专题练习）锐角/BC中，内角A,B,C所对的边分别为"，b,c,a=\,且

Z?cosA-cosB=1,则6sinB+2sin2A的取值范围为（）

A.（0,75+1）B.（2,V3+1）C.（1,6]D.（2,g]

【答案】B

【分析】由正弦定理边化角可得3=2A,由“8C为锐角三角形可得2VA<5,运用二倍角的正弦公式以及辅助

64

角公式将已知式化为2sin（2A-g1+l,再由三角函数的性质求解即可.

【详解】因为在锐角,中，4=1：且〃cos4—cos3=l,

所以〃cosA-acos4=a,则sinAcos4-sinAcosA=sinA，

所以sin（4-A）=sinA,则4一人=人或A+4=兀（舍去），所以B=2A,

Gsin8+2sii?A=gsin24+2sin2A=Gsin2A+20-c°s2A

2

=V3sin2/4-cos2/\+l=2sin2A一看）+1,

因为.SBC为锐角三角形，C=n-A-R=jr-3A,

0<A<—0<A<—

22

所以1O<B<¥=>1O<2A<2=>-<A<—

2264

<C<0<TI-3A<-

°t2

所以Ud抬｝所以sin（2A用系孝

2sin2A--2sin（24—卷）+1e+

6

故选：B.

练习7.（2023春・河南南阳•高三河南省桐柏县第一高级中学校考期中）已知锐角J4C的内角A,B,C的对边分别

为a,b,c,且sin/A（，J+序-c2）=H?（2sin8-sinC）.

（1）求八；

⑵求sin8+sinC的取值范围.

【答案】（1）A=1

⑵停同

【分析•】（1）利用余弦定理进行求解即可；

（2）利川两角差的F弦公式和辅助隹公式,结合F弦函数的件质进行求解即可

【详解】（1）由条件得2siiiA-a——=2sin4-sinC>

2ab

由余弦定理得2sinAcosC=2sinB-sinC,

因为A+〃+C'=7t,所以2sin/\cosC=2sin(A+C)-sinC,

得2sinAcosC=2sin/\cosC+2cosAsinC-sinC,即sinC=2cosAsinC,

因为sinCw0,所以cosA=J,

2

又0<工<兀，所以A=g.

J

(2)sinB+sinC=sinB+sin(与-=*cosB+-1sinB=百sin(8+2).

因为/8C为锐角三角形，

所以0<=—8vg,且0<8vg,所以

32262

所以瓜in(呜)e(1,6,

即sin^+sinC的取值范围是.

练习8.(2023・陕西榆林•统考三模)已知。也c分别为58C的内角AB,C所对的边，AC=4，且acsinB=8sin4.

⑴求A；

⑵求sinAsinAsinC的取值范围.

【答案】⑴4=]

【分析】（1）利用向量的数量积的定义及正弦定理的边角化即可求解；

（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，利用诱导公式、两角和的正弦公式及降暴公式，结合辅助角公式及

三角函数的性质即可解.

【详解】（1）AB-AC=bccosA=4>

由acsin8=8sin4及正弦定理,得abc=8a»

得次:8,代入/NCOSA=4得cosA=',

2

又因为4c（0,2,

所以A=.

（2）由（1）知

所以。=兀一4一8=空一8.

3

月7以sinAsinZ?sinC—^^sinZ?sinf^-Z?l--^sinSsin（1十Z?）

13

=——SillcosB+—sinB=—sinBcos8+叵sin?B

2244

=料28邛COS2B+4

sin2B-—\+

-468，

Orr

因为0<8<:

目1以一£<28—5<乂，

666

所以一!1<sin28—三41,

2I6/

所以。〈迫L63g

sin2B--十—s--，

46J88

故sinAsinBsinC的取值范围是0,

练习9.（2023春•河南平顶山•高三校联考阶段练习）已知.工8c的内角4,B,C的对边分别为小b,若58C的

面积5=41/+。2一片），则角8=，sinAsinC的最大值为

713

【答案】

4

【分析】运用余弦定理及三角形面积公式可得&再运用三角恒等变换得加―轲24国Ji+

64

（A€[o,yb,转化为求三角函数在区间上求最值即可.

【详解】因为S=¥（/+c2—〃）=gacsin3,

所以巫乂24。808=’。。$布8,则tan5=6,

42

因为8三（0,兀），所以B=1.

J

-sinf2A--兀1

sin4sinC=sinAsiny-A=—sinAcosA+—sin2A=—sin2A+—cos2A=+-

22444264

n7n

又因为4c0,,所以

所以§仙（24一弓,pli]sinAsinCe^O,3-,

24

3

所以s"smc的最大值为r

故答案为：3

练习10.（2023春•四川成都•高三成都实外校联考阶段练习）在_/功。中，角4,B,C的对边分别为9b,c,.且

atanC=2csinA,则sinA+sin5的取值范围为

【答案】⑻

【分析】利用正弦边角关系得cosC=!，进而有A+8=§,应用三角恒等变换将目标式化为Gsin(A+J),注意

236

角的范围，即可求范围.

【详解】由正弦定理边角关系知：sinAtanC=2sinCsinA,而sinC,sinA工0,

所以cosC=1,又0<。<兀，则。=:，故A+4=§,即

2333

所以sin4+sinB=sin4+sin(笄-A)=^^cosA+^sinA=\/3sin(j4+^)>

ifij—<AH—<,故sinA+sin8e([，5/5].

故答案为：(|,我

题型三利用三角函数值域求边的范围

例5.(2023•重庆・统考模拟预测)在锐角一A8C中，角A、B、C的对边分别为a、b,c,其面积为S,且

(Z;-a)(b+。)+67ccosB=S.

(1)求角A的大小；

⑵若4=26,求S的取值范围.

【答案】(1)A=W；

⑵(2底3肉.

【分析】(1)根据给定条件，利用余弦定理、三角形面积公式变形给定等式，求出tan4即可作答.

(2)利用正弦定理把三角形面积表示为角C的函数，再利用正弦函数性质求解作答.

【详解】(1)在锐角ABC中，(b-a)(b+a)+accosB=—S,由余弦定理cosB=土土之2，

32ac

2

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