2025届高考数学一轮知能训练第六章不等式第5讲不等式的应用含解析

PAGE1-第5讲不等式的应用1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析：每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x的函数关系为y＝－(x－6)2＋11(x∈N*)，要使每辆客车运营的年平均利润最大，则每辆客车营运的最佳年数为()A．3年B．4年C．5年D．6年2．某单位用2160万元购得一块空地，支配在该地块上建立一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，假如将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为()层．A．10B．15C．20D．303．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是()A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元4．(2024年安徽合肥模拟)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都须要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可运用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能刚好售出，则该企业每月利润的最大值为()A．320千元B．360千元C．400千元D．440千元5．已知实数x满意logx>1，则函数y＝8x＋eq\f(1,2x－1)的最大值为()A．－4B．8C．4D．06．(2024年江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是__________．7．某项探讨表明，在考虑行车平安的状况下，某路段车流量F(单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其关系式为F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20l).(1)假如不限定车型，l＝6.05，那么最大车流量为______辆/时；(2)假如限定车型，l＝5，那么最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/时．8．某地方政府打算在一块面积足够大的荒地上建一如图X6­5­1的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形态相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．(1)分别写出用x表示y和用x表示S的函数关系式(写出函数定义域)；(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？图X6­5­19．已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元，设公司一年内共生产该手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400－6x，0<x≤40，,\f(8400,x)－\f(40000,x2)，x>40.))(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．10．(2024年天津)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，须要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧连续剧播放时长/分广告播放时长/分收视人次/万甲70560乙60525已知电视台每周支配的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周支配播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x，y列出满意题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？11．某森林出现火灾，火势正以每分钟100m2的速度顺风扩散，消防站接到警报马上派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．问应当派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？12．(2024年陕西西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年起先获得纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？

第5讲不等式的应用1．C2．B解析：设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋eq\f(2160×10000,2000x)＝560＋48x＋eq\f(10800,x)＝560＋48eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(225,x)))≥560＋48×2eq\r(x·\f(225,x))＝2000(x≥10，x∈N*)，因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2000.3．D解析：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z＝5x＋3y，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,3x＋y≤13，,2x＋3y≤18，))联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝13，,2x＋3y＝18，))解得x＝3，y＝4.由图D172可知，最优解为P(3,4)．∴z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．故选D.图D172图D1734．B解析：设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润z千元，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≤480，,6x＋y≤960，,x，y∈N，))z＝2x＋y，作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，y≥0，,2x＋3y≤480，,6x＋y≤960))表示的可行域如图D173中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150,60)(满意x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.5．D解析：由logx>1,0<x<eq\f(1,2)⇒－1<2x－1<0，y＝8x＋eq\f(1,2x－1)＝4(2x－1)＋eq\f(1,2x－1)＋4＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(41－2x＋\f(1,1－2x)))＋4≤－4＋4＝0，当且仅当x＝eq\f(1,4)上式取等号．故选D.6．307．(1)1900(2)100解析：(1)当l＝6.05时，F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20l)＝eq\f(76000,v＋\f(121,v)＋18)≤eq\f(76000,2\r(v·\f(121,v))＋18)＝eq\f(76000,22＋18)＝1900，当且仅当v＝eq\f(121,v)，即v＝11时，等号成立．(2)当l＝5时，F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20l)＝eq\f(76000,v＋\f(100,v)＋18)≤eq\f(76000,2\r(v·\f(100,v))＋18)＝eq\f(76000,20＋18)＝2000，当且仅当v＝eq\f(100,v)，即v＝10时，等号成立．此时车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时．8．解：(1)由xy＝3000,2a＋6＝y，得y＝eq\f(3000,x)(6<x<500)．S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·eq\f(y－6,2)＝(x－5)(y－6)＝3030－6x－eq\f(15000,x)(6<x<500)．(2)S＝3030－6x－eq\f(15000,x)≤3030－2eq\r(6x·\f(15000,x))＝3030－2×300＝2430.当且仅当6x＝eq\f(15000,x)，即x＝50时，等号成立，此时x＝50，y＝60，Smax＝2430.∴设计x＝50米，y＝60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．9．解：(1)当0<x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40；当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq\f(40000,x)－16x＋8360，∴W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6x2＋384x－40，0<x≤40，,－\f(40000,x)－16x＋8360，x>40.))(2)①当0<x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6104，∴Wmax＝W(32)＝6104；②当x>40时，W＝－eq\f(40000,x)－16x＋8360，由于eq\f(40000,x)＋16x≥2eq\r(\f(40000,x)·16x)＝1600，当且仅当eq\f(40000,x)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，∴W≤－1600＋8360＝6760，∴W的最大值为6760，综合①②可知，当x＝50时，W取得最大值为6760.∴当年产量为50万部时，公司在该款手机的生产中所获得利润最大，且最大利润为6760万元．10．解：(1)由已知，x，y满意的数学关系式为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(70x＋60y≤600，,5x＋5y≥30，,x≤2y，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x＋6y≤60，,x＋y≥6，,x－2y≤0，,x≥0，,y≥0，))该二元一次不等式组所表示的平面区域为如图D174所示的阴影部分．图D174图D175(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－eq\f(12,5)x＋eq\f(z,25)，这是斜率为－eq\f(12,5)，随z改变的一族平行直线.eq\f(z,25)为直线在y轴上的截距，当eq\f(z,25)取得最大值时，z的值最大．又∵x，y满意约束条件，∴由图D175可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距eq\f(z,25)最大，即z最大．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x＋6y＝60，,x－2y＝0，))得点M的坐标为(6,3)．∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．11．解：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则t＝eq\f(5×100,50x－100)＝eq\f(10,x－2).y＝灭火材料、劳务津贴＋车辆、器械和装备费＋森林损失费＝125tx＋100x＋60(500＋100t)＝125·x·eq\f(10,x－2)＋100x＋30000＋eq\f(60000,x－2)＝1250·eq\f(x－2＋2,x－2)＋100(x－2＋2)＋30000＋eq\f(60000,x－2)＝31450＋100(x－2)＋eq\f(62500,x－2)≥31450＋2eq\r(100×62500)＝36450，当且仅当100(x－2)＝eq\f(62500,x－2)，即x＝27时，y有最小值36450.故应当派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．12．解：(1)设第n年获得利润为y万元．n年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n年付出的装修费之和为n×1＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2，又投资81万元，n年共收入租金30n万元，∴利润y＝30n－n2－81(n∈N*)．令y>0，即30n－n2－81>0，∴n2－30n＋81<0，解得3<n<27(n∈N*)，∴从第4年起先获得纯利润．(2)方案①：年平均利润t＝eq\f(30n－81＋n2,n)＝30－eq\f(81,n)－n＝30－eq\b\lc\(\