2024-2025学年高中数学第三章概率3.2.3互斥事件学案含解析北师大版必修3

PAGE2．3互斥事务学问点一互斥事务[填一填]1．互斥事务不能同时发生的两个事务叫作互斥事务(或称互不相容事务)．2．事务A与B的并(或和)一般地，由事务A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A、B都发生)所构成的事务C称为事务A与B的并(或和)，记作C＝A∪B.事务A∪B是由事务A或B所包含的基本领件组成的集合．3．互斥事务的概率加法公式(1)假如A、B是互斥事务，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)假如事务A1，A2，…An两两互斥(彼此互斥)，那么事务“A1∪A2∪…∪An”发生(是指事务A1，A2，…An中至少有一个发生)的概率等于这n个事务分别发生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[答一答]1．怎样正确理解事务A与事务B的和？提示：并(和)事务具有三层意思：(1)事务A发生，事务B不发生；(2)事务A不发生，事务B发生；(3)事务A，B同时发生．即事务A，B中至少有一个发生．与集合的并集的性质A∪B＝B∪A类似，事务A与事务B的并(和)事务等于事务B与事务A的并(和)事务，即A∪B＝B∪A.例如在掷骰子的试验中，事务C，D分别表示投掷骰子出现2点、3点，则C∪D＝{出现2点或3点}．学问点二对立事务[填一填]4．对立事务(1)定义：不能同时发生且必有一个发生的两个事务叫作互为对立事务，事务A的对立事务记作eq\x\to(A).(2)概率公式：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．[答一答]2．怎样正确理解互斥事务与对立事务？提示：互斥事务和对立事务都是针对两个事务而言的，它们两者之间既有区分又有联系．在一次试验中，两个互斥事务有可能都不发生，也可能有一个发生，但不行能两个都发生；而两个对立事务必有一个要发生，但是不行能两个事务同时发生，也不行能两个事务同时不发生．所以两个事务互斥，它们未必对立；反之两个事务对立，它们肯定互斥．1．要留意互斥事务与对立事务的区分与联系：互斥事务是指事务A与事务B在一次试验中不会同时发生，其详细包括三种不同的情形：(1)事务A发生且事务B不发生．(2)事务A不发生且事务B发生．(3)事务A与事务B同时不发生．而对立事务是指事务A与事务B有且仅有一个发生，其包括两种情形：①事务A发生且事务B不发生．②事务B发生且事务A不发生．对立事务是互斥事务的特别情形．2．关于概率的加法公式：(1)运用条件：A、B互斥．(2)推广：若事务A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(3)在求某些困难的事务的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事务，化整为零，化难为易．类型一互斥事务与对立事务的推断【例1】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事务A为“只订甲报”，事务B为“至少订一种报”，事务C为“至多订一种报”，事务D为“不订甲报”，事务E为“一种报也不订”．推断下列事务是否是互斥事务，假如是，推断它们是否是对立事务．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.【思路探究】推断两个事务是否互斥，就是推断它们在一次试验中是否能同时发生；推断两个互斥事务是否对立，就是推断它们在一次试验中是否必有一个发生．【解】(1)由于事务C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事务A与事务C有可能同时发生，故A与C不是互斥事务．(2)事务B“至少订一种报”与事务E“一种报也不订”是不行能同时发生的，故事务B与E是互斥事务．由于事务B和事务E必有一个发生，故B与E也是对立事务．(3)事务B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事务B发生，事务D也可能发生，故B与D不是互斥事务．(4)事务B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事务C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事务B与事务C可能同时发生，故B与C不是互斥事务．(5)由(4)的分析可知，事务E“一种报也不订”仅仅是事务C的一种可能，事务C与事务E可能同时发生，故C与E不是互斥事务．规律方法互斥事务和对立事务的推断方法(1)推断两个事务是否为互斥事务，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事务是互斥事务，若能同时发生，则这两个事务不是互斥事务．(2)推断两个事务是否为对立事务，主要看在一次试验中这两个事务是否同时满意两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．假如这两个条件同时成立，那么这两个事务是对立事务，只要有一个条件不成立，这两个事务就不是对立事务．事实上，解决此类问题的关键是明晰“恰”“至少”“至多”“都”等关键词．抛掷一枚质地匀称的骰子，用图形画出下列每对事务所含结果构成的集合之间的关系，并说明二者之间是否构成对立事务．(1)“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”；(2)“朝上的一面的数字不大于4”与“朝上的一面的数字大于4解：(1)依据题意作出Venn图(如图(1))．从图中可以看出：“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”各自所含结果所组成的集合互为补集，因此它们构成对立事务．(2)依据题意作出Venn图(如图(2))．从图中可以看出：“朝上的一面的数字不大于4”与“朝上的一面的数字大于4类型二互斥事务的概率计算【例2】假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个的概率各为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．【思路探究】本题应先推断“军火库发生爆炸”所包含的结果是否可写成几个互斥事务所包含结果的和的形式，假如可以，则分别计算出每个基本领件发生的概率，再利用概率的加法公式进行计算．【解】设A、B、C分别表示炸中第一、其次、第三个军火库这三个事务，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.又设D表示军火库发生爆炸这个事务，则有D＝A＋B＋C，其中A、B、C彼此互斥．所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225，则军火库发生爆炸的概率为0.225.规律方法利用互斥事务的加法公式解题体现了化整为零、化难为易的思想．但要留意用此公式时，首先要推断事务是否互斥，假如事务不互斥，就不能用此公式．在投掷骰子试验中，依据向上的点数可以定义很多事务，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事务的关系；(2)求两两运算的结果．解：解答时抓住运算定义．在投掷骰子的试验中，依据向上出现的点数有6种基本领件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事务A与事务B互斥，但不对立，事务A包含于事务C，事务A与D互斥，但不对立；事务B与C不是互斥事务，也不对立；事务B与D不是互斥事务，也不是对立事务；事务C与D是互斥事务，也是对立事务．(2)A∩B＝∅，A∩C＝A，A∩D＝∅.A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，A∪C＝C＝{出现点数1或3或5)，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．B∩C＝A3＝{出现点数3}，B∩D＝A4＝{出现点数4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1或3或4或5}．B∪D＝A2∪A3∪A4∪A6＝{出现点数2或3或4或6}．C∩D＝∅，C∪D＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6＝{出现点数1,2,3,4,5,6}．类型三对立事务的概率计算【例3】一个箱子内有9张票，其号数分别为1,2，…，9.从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？【思路探究】从9张票中任取2张，要弄清晰取法种数为eq\f(1,2)×9×8＝36，“号数至少有一个为奇数”的对立事务是“号数全是偶数”，用对立事务的性质求解特别简洁．【解】从9张票中任取2张，有(1,2)，(1,3)，…，(1,9)；(2,3)，(2,4)，…，(2,9)；(3,4)，(3,5)，…，(3,9)；…(7,8)，(7,9)；(8,9)，共计36种取法．记“号数至少有一个为奇数”为事务B，“号数全是偶数”为事务C，则事务C为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种取法．∴P(C)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，由对立事务的性质得P(B)＝1－P(C)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).规律方法(1)求困难事务的概率通常有两种方法：一是将所求事务转化成彼此互斥的事务的和；二是先去求对立事务的概率．(2)涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事务以及分类探讨的思想求解，当涉及的互斥事务多于两个时，一般用对立事务求解．将一颗质地匀称的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是eq\f(5,6).解析：方法1：将一颗质地匀称的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和小于10的有30种，故所求概率为eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).方法2：将一颗质地匀称的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6种，故所求概率为1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).类型四互斥事务、对立事务的综合应用【例4】一个盒中装有除颜色外完全相同的12个球，其中有5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．【解】方法1：(1)从12个球中任取1球，得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9(种)不同的取法，任取1球有12种取法．所以任取1球得到红球或黑球的概率为eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)从12个球中任取1球，得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).方法2：(利用互斥事务求概率)记事务A1＝“任取1球为红球”；A2＝“任取1球为黑球”；A3＝“任取1球为白球”；A4＝“任取1球为绿球”，则P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).依据题意知，事务A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事务概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).方法3：(利用对立事务求概率)(1)由方法二知，取出1球为红球或黑球的对立事务为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事务为A3＋A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1＋A2＋A3的对立事务为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).规律方法解决此类问题要留意分类探讨和等价转化的数学思想的运用，在确定用哪个公式前，首先应结合互斥事务和对立事务的定义分析出相关事务是不是互斥事务或对立事务，不要由于乱套公式而出错．甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．解：(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事务，所以“甲获胜”的概率P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).即甲获胜的概率是eq\f(1,6).(2)法1：设事务A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事务的并事务，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).法2：设事务A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事务，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).即甲不输的概率是eq\f(2,3).——易错警示——不能区分事务是否互斥而致错【例5】掷一枚质地匀称的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率均为eq\f(1,6)，记事务A为“出现奇数”，事务B为“向上的数不超过3”，求P(A∪B)．【易错点分析】事务A与事务B不是互斥事务，不能应用概率的加法公式．【防范措施】1.明确概率的加法公式运用的条件．2．驾驭互斥事务的特点，分清事务是否为互斥事务．【正解】记事务“出现1点”，“出现2点”，“出现3点”，“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4.这四个事务彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).某城市2024年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤150时，空气质量为稍微污染．该城市2024年空气质量达到良或优的概率为(A)A.eq\f(3,5) B.eq\f(1,180)C.eq\f(1,19) D.eq\f(5,9)解析：所求概率为eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5)，故选A.一、选择题1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事务“甲分得红牌”与事务“乙分得红牌”是(C)A．对立事务 B．不行能事务C．互斥但不对立事务 D．以上答案都不对解析：由互斥事务的定义可知：甲、乙不能同时得到红牌，由对立事务的定义可知：甲、乙可能都得不到红牌，即“甲或乙分得红牌”的事务可能不发生．2．一人打靶连续射击两次，事务“至少有一次中靶”的对立事务是(C)A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶解析：连续射击两次包含的基本领件有“两次都不中靶”、“一次中靶”、“两次中靶”，而“至少有一次中靶”包含“一次中靶”与“两次中靶”，故其对立事务为“两次都不中靶”．3．2015年5月12日尼泊尔发生里氏7.5级地震，此后，连续下了几天的雨，下表是气象人员记录的一组视察值及其概率的状况：日降雨量(单位：mm)[0,50)[50,100)[100,150)概率0.140.300.32则日降雨量在[50,150)内的概率及日降雨量不低于150mm的概率分别为(B)A．0.24,0.62 B．0.62,0.24C．0.24,0.72 D．0.14,0.62解析：记“日降雨量在[0,50)内”为事务A，“日降雨量在[50,100)内”为事务B，“日降雨量在[100,150)内”为事务C，事务A，B，C彼此互斥，且P(A)＝0.14，P(B)＝0.30，P(C)＝0.32，则日降雨量在[50