《直线与平面垂直和直线与平面所成的角》教学设计二

高中数学精选资源3/3《直线与平面垂直和直线与平面所成的角》教学设计二教学设计一、情境引入出示天安门广场上五星红旗的照片，激发学生的爱国热情.引导学生思考：如果要在本校操场上竖立一面新的旗杆，将旗杆抽象成一条直线，地面抽象成一个平面，怎样检验旗杆与地面是不是垂直的？并点出这个问题就是“如何判定直线与平面垂直”的问题，也就是今天要研究的课题.设计意图：借助观察生活中的数学问题引出课题，自然生动，既提高了学生学习数学的兴趣，又体现了数学来源于生活.观察图片，将图片中的实物抽象为几何图形，直观感知直线与平面的垂直.同时，也激发学生的爱国热情.2.复习学习过的空间中点、直线、平面的位置关系中的直线与平面平行的探究过程，类比出研究直线与平面垂直的探究思路.直线和平面有几种位置关系？已经掌握了直线和平面平行的哪些内容？怎样研究“直线与平面垂直”呢？应该研究关于“直线与平面垂直”的什么内容？设计意图：启发引导学生类比探究线面平行的研究过程，明确按照“定义—判定定理—有关结论—性质定理”的研究程序，强化空间位置关系的常用研究策略——降维化归.二、探索新知从路由器模型中判断哪些直线与平面垂直，哪些不垂直，找出直观感受的结论，“在平面内找出一条直线和已知直线不垂直，则线面不垂直”，即“已知直线与所有直线都垂直才可以达到线面垂直的目的”“所有直线”不能换为“无数条直线”，归纳出直线与平面垂直的准确定义.1.定义：如果直线a与平面内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面垂直，记作，直线a叫作平面的垂线，平面叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足.记法：a垂直于内的任意一条直线.画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直（如图）.设计意图：借助模型的演示过程构建直线与平面垂直的定义，可以帮助学生建立对定义的直观感受，既真实又有效.并引导学生用“正难则反”的思想来思考问题，进步概括直线与平面垂直的定义.【师生活动】学生思考作答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义词，“任意一条直线”不能用“无数条直线”代替.定义是说这条直线和平面内所有的直线垂直.引导学生主动思考辨析，利用现有工具摆出反例模型，提高学生的动手能力，同时给出线面垂直的记法与画法.2.定义应用.小实验：拿一块教学用的直角三角板，验证旗杆与地面的垂直.学生设计：如图，三角板的直角顶点C与旗杆底端重合，直角边BC所在直线与旗杆所在直线重合，将三角板绕BC转动，在转动过程中，直角边AC与地面紧贴.教师动画展示.问题1：在转动前，BC边与AC边是什么位置关系？问题2：在转动过程中，AC边一直在移动，BC边与AC边是什么位置关系？问题3：BC边与地面任意一条不过C点的直线又是什么位置关系？（教师用几何画板证明）设计意图：通过实验，让学生应用直线与平面垂直的定义，培养学生的动手操作能力和几何直观能力.同时，再次加深对定义的理解：如果要得到一条直线与一个平面垂直，需要证明直线与平面内所有直线垂直.让学生感受到定义的烦琐，为寻找判定定理埋下伏笔.【师生活动】在验证过程中，学生会出现验证“BC与平面内过点C的所有直线垂直”和“BC与平面内不过点C的所有直线垂直”的两种情况，教师应引导学生全面考虑问题，感受过程的严谨性.3.（1）分组探究直线与平面垂直的判定定理：显然，根据定义判定直线与平面垂直，需要判定直线与平面内“任意一条直线”即“所有直线”都垂直而事实上这往往是难以实现的，我们可否寻求一个更为简便的方法，用有限条直线来代替所有直线？【师生活动】分小组讨论，一起探究直线与平面垂直的判定定理.教师引导学生可以类比之前探究其他判定平行或垂直的判定定理的过程和方法，大胆猜想可能的线面垂直判定定理，再通过实例论证猜想正确与否，最终得出小组的探究成果.用“智慧课堂”让小组成员展示他们的探究过程和探究成果.设计意图：通过问题思考与实例分析，寻找具有可操作性的判定方法，体验有限与无限之间的辩证关系.让学生通过类比探究过程，不断地猜想和论证，在探究过程中加深对探究方法和过程的感受和深刻理解，也让判定定理的得出更加水到渠成.（2）探究判定定理的实验：请同学们拿出准备好的一块三角形纸片，如图（1）所示，过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？为什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直（如图（2））？教师进行动画演示.思考：你能归纳出除定义以外的直线与平面垂直的证明方法吗？设计意图：1.通过实验，引导学生独立发现直线与平面垂直的判定条件，培养学生的动手操作能力和几何直观能力.2.从另一个角度理解定义：如果要说明一条直线与平面不垂直，只需在平面内找到一条直线与它不垂直就够了.【师生活动】在折纸实验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因.学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高，即，翻折后折痕AD就与桌面垂直，再利用多媒体演示翻折过程，增强几何直观性.4.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.图形语言：符号语言:若,则.设计意图:引导学生根据直观感知及已有知识经验,进行合情推理,获得判定定理，并体会将空间问题平面化、无限问题有限化的转化思想.5.直线与平面垂直的性质定理.（1）归纳定理情境1：(课件展示)教师展示课件,并提出问题:垂直于同一个平面的直线之间具有怎样的位置关系?观察图片,你能得到什么启发?学生独立思考,分组讨论,同学间交流各自的意见,最终分析得出猜想结论:垂直于同一个平面的直线互相平行.设计意图：通过熟悉的生活情境进行引入，引发学生探究知识的兴趣,培养学生发现、归纳、概括数学问题的能力.情境2:如图,长方体中,棱,所在直线都与底面垂直,各侧棱之间具有什么位置关系?教师提出问题，引导学生分组讨论问题.学生认真观察、思考得出结论：因为棱所在直线都与底面ABCD垂直，所以棱.设计意图：借助学生最熟悉的长方体模型和生活中的简单经验，引导学生分析，将“垂直问题”逐步转化为“平行问题”，以此为基础，进行合情推理，验证猜想，使学生的思维更加顺畅；让学生在发现定理的过程中，不仅有直观上的感知，提高直观想象核心素养，而且通过理性的说理，增强逻辑推理核心素养.【设计说明】在直观感知、操作确认的基础上，使学生经历从实际背景中抽象出几何结论的全过程，从而形成完整和正确的概念.这种立足于感性认识的归纳过程，既有助于学生对知识本质的理解，又使学生的抽象思维得到发展，在培养学生几何直观能力的同时，也培养勇于探索的科学精神.经过师生对话猜想结论进行完善，并引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的性质定理.学生自主完成.教师巡视课堂，对学生的完成情况进行个别指导.教师板书定理：文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：，则.图形语言：学生校对答案，完善自己的作品.设计意图：通过板书加深学生对所学知识的印象，达到巩固新知的目的；通过三种语言间的转化，加深学生对定理的认识与记忆，培养学生的数形结合能力、转化化归能力和书写表达能力.（2）证明定理已知:.求证:.师:怎样证明两条直线平行?学生思考回答判定线线平行的方法.师:由于无法把两条直线归入到一个平面内,无法应用平行直线的判定知识,也无法应用基本事实4,在这种情况下,我们常采用“反证法”.证明:如图,假设不平行于,设是经过点且与直线平行的直线.直线与确定平面,设.因为,所以.又因为,所以，这样在平面内,经过直线上同一点,就有两条直线与垂直,显然不可能.因此.设计意图：通过证明，加深对性质定理的理解和记忆，教师板书示范，让学生体会反证法的证明步骤.6.两个距离.（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过点有且只有一个平面与已知直线垂直.（2）从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离.（3）一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离.【师生活动】教师给出上述几个概念，学生识记.让学生分析两个距离的联系和区别.7.线面所成的角.类比直线与直线的夹角，得到直线与平面所成的角.一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段.如图,过平面外一点向平面引斜线和垂线,那么过斜足和垂足的直线就是斜线在平面内的射影,线段就是斜线段在平面内的射影.平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面所成的角.思考:线面角的范围是多少?线面角多大时直线和平面垂直?学生思考、回答,教师总结.如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;如果一条直线与平面平行或在平面内,那么称它们所成的角是角.直线与平面所成的角的取值范围是.设计意图:让学生学会类比思考问题,探索新知,推广线面角的概念,得出类似于两直线所成的角的相关内容,为后面学习平面与平面所成的角(二面角)做铺垫.三、应用举例例1证明:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.已知:(如图).求证:.分析只要证明与平面内任意一条直线都垂直.证明设是内的任意一条直线.，则.例2已知:.求证:直线上各点到平面的距离相等.证明过直线上任意两点分别作平面的垂线,垂足分别为(如图).因为,所以.设经过直线和的平面为,则与的交线为直线.因为,所以,从而四边形是平行四边形,所以.故直线上各点到平面的距离相等.例3如图,已知分别是平面的垂线和斜线,分别是垂足和斜足,,求证:.分析因为平面ABC，所以只要证明平面ABC.证明.例4如图,已知在平面内,.求证:点在平面内的射影在的平分线上.证明作,垂足分别为,连接...同理.在和中,,所以Rt,从而.故点在平面内的射影在的平分线上.设计意图：利用教材中的4个例题，使学生初步感受如何运用直线与平面垂直的性质定理、判定定理解决问题，明确运用线面垂直判定、性质定理的条件，提升逻辑推理和直观想象核心素养.【师生活动】教师引导学生理清思路，并做规范化的解答，为学生后面熟练的应用定理打下基础.四、课堂小结1.本节课你学会了哪些判定直线与平面垂直的方法？（1）定义法：强调是“任何一条直线”.（2）判定定理法：必须是“两条相交直线”.2.直线与平面垂直的判定定理中体现了什么数学思想方法？转化、化归、类比，先猜想后论证.3.线面垂直性质定理的实质是什么？线面垂直，线线平行4.如何求线面所成的角？通过作辅助线，转化为求直线与直线所成的角.设计意图：回顾和总结本节课的主要内容，优化重组认识结构，并鼓励学生多总结，多反思.【师生互动】学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的方法.五、布置作业1.教材第171页练习第5题；教材第173页练习第6，7题.2.请借助信息网络，以“生活中的垂直”为题，写一篇数学应用小论文3.探究：（1）线面垂直判定定理的证明;（2）有没有线面平行的相关结论类比推理成线面垂直的正确命题？设计意图：进一步巩固新知，提高运用直线与平面垂直的定义和判定定理解决问题的能力；研究性作业的设计可以提高学生独立思考、自主探究的能力，满足学有余力的同学需要.板书设计第2课时直线与平面垂直和直线与平面所成的角一、情境引入二、探索新知1.定义：a垂直于内的任意一条直线画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直2.定义应用3.（1）分组探究直线与平面垂直的判定定理（2）探究判定定理的实验4.直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言：符号语言:若,则5.直线与平面垂直的性质定理（1）归纳定理文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言:,则图形语言：（2）证明定理（反证法）6.两个距离7.线面所成的角如图,过平面外一点向平面引斜线和垂线,那么过斜足和垂足的直线就是斜线在平面内的射影,线段就是斜线段在平面内的射影平面的一条斜线与它在这个平面