河南省开封市高三第三次模拟考试（5月）数学（理）

高三数学试题（理科）一、选择题1.已知集合A={x|y=lg(1x)}，B={y|}，则A． B．C． D．【答案】D2.下面是关于复数的四个命题：；；；.其中真命题为(B)A.B.C.D.3.已知，则(C)A.B.C.D.4.已知函数，则 （A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数 （C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数【答案】C5.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝(C)A.35B.33C.31D.296.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，。）（B）A．4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%7.直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(C)A.eq\f(4,3)B．2C.eq\f(8,3) D.eq\f(16\r(2),3)8.中国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果A．2B．3C．4D．5【答案】B8.设函数，，若实数满足，则（）DA．B．C．D．9.设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作AB，AC的垂线交于，若到直线的距离不小于a+c，则该双曲线的离心率的取值范围是（C）A.B.C.D.10.11.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（B）A．B．2C．8D．612.已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为（B）A．B．C．D．二、填空题13.已知非零向量的夹角为，且，则.14.若满足，则的最大值为.215.甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9、0、2、1、5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为.8016.设数列是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的总有两个不同的根，则的通项公式为___________．三、解答题17.的内角的对边分别为，面积为，已知.（1）求；（2）若，求周长的取值范围.解：（1），由已知得：，化简得：，，，（2）在中，由正弦定理得：，记周长为，化解得：，周长综上所述：周长的取值范围.18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，二面角,点为线段的中点，点在线段上．（Ⅰ）平面平面；（Ⅱ）设平面与平面所成二面角的平面角为，试确定点的位置，使得．解：（Ⅰ）∵，，∴，又，∴平面，3分又平面，∴平面平面．………………5分（Ⅱ）过作交于点，则由平面平面知，平面，故两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，………………7分∵平面，,则，，，，又为的中点，设，则，，，．…………8分设平面的法向量为，则∴取，可求得平面的一个法向量，…………9分设平面的法向量为，则所以取．…………10分∴，解得∴当时满足．………………12分19.某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元。（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，）的函数解析式；（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得下表：周需求量n1819202122频数12331以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望.解：（I）当时，2分当时，4分所以5分（=2\*ROMANII）由（1）得6分7分9分的分布列为12分20.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，为分别为左、右焦点，过的直线（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）∵∴又，所以椭圆方程是…………4分（Ⅱ）设N(x,y)，AB的方程为由整理得.由，得.∴则,由点N在椭圆上，得化简得…①………8分又由即将，代入得化简，得则,∴②由①，得,联立②，解得∴或………12分21.已知函数在处的切线与直线垂直.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）函数，若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.解：（Ⅰ）∵∴∵切线与直线垂直，∴∴………………2分（Ⅱ）∵∴………………3分由题知在上有解∵∴设而，所以要使在上有解，则只需即，所以的取值范围为.………………5分（Ⅲ）∵令，得∵是函数的两个极值点∴是的两个根∴，…………6分…………8分令，则∵∴又，所以，所以整理有，解得∴…………11分而，所以在单调递减故的最小值是.…………12分22.（本题满分10分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点，倾斜角为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程，将圆锥曲线C的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，到到曲线写出标准方程；（Ⅱ）设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，求的值．解：（Ⅰ）l经过定点，倾斜角为直线l的参数方程为（为参数）……2分，且，圆锥曲线C的标准方程为…………4分（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆锥曲线C的标准方程得=1\*GB3①