专题06 双曲线的标准方程及几何性质（10大考点知识串讲+热考题型+专题训练）

专题06双曲线的标准方程及几何性质知识点1双曲线的定义1、双曲线定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点、为焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为.2、双曲线定义的集合语言表示：．要点注意：（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；（2）若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。知识点2双曲线的方程与几何性质1、双曲线的方程与几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性质图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：eq\a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq\a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq\a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq\a\vs4\al(b)离心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x2、等轴双曲线在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有：（1）离心率：等轴双曲线的离心率为：；（2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°.3、双曲线的焦点三角形（1）定义：双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，（2）焦点三角形的应用：设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是知识点3直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线的位置关系2、直线与双曲线的位置关系将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程，（1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；（2）当，即，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.3、直线与双曲线相交的弦长问题若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）．4、解决中点弦问题的两种方法（1）根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算；（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过双曲线上两点、，其中中点为，则有.证明：设、，则有，上式减下式得，∴，∴，∴.考点1双曲线定义的辨析【例1】（2023·河北石家庄·高二石家庄精英中学校考阶段练习）（多选）已知平面直角坐标系中，,点P为平面内一动点，且,则下列说法正确的是（）A．当时，点P的轨迹为一条直线B．当时，点P的轨迹为一条射线C．当时，点P的轨迹不存在D．当时，点P的轨迹是双曲线【变式1-1】（2023·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）平面内动点到两定点的距离之差为，若动点的轨迹是双曲线，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023·广西玉林·高二校联考阶段练习）是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则.【变式1-3】（2023·江西南昌·高二江西师大附中校考期中）已知动圆C与圆外切，与圆内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线一支【变式1-4】（2023·重庆·高二统考期末）与圆：及圆：都外切的圆的圆心在（）A．椭圆上B．双曲线的一支上C．抛物线上D．圆上考点2求双曲线的标准方程【例2】（2023·湖北武汉·高二武汉外国语学校校考阶段练习）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【变式2-1】（2023·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【变式2-2】（2023·河北·高二校联考阶段练习）一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2023·安徽宣城·高二宣城中学校考阶段练习）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．【变式2-4】（2023·福建泉州·高二校考期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程．（1）经过点，且；（2）经过点、．考点3根据双曲线方程求参数【例3】（2023·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2023·广西河池·高二校联考阶段练习）“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式3-2】（2023·上海·统考一模）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【变式3-3】（2023·江苏常州·高二校联考期中）方程表示实轴在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【变式3-4】（2023·河南郑州·高二郑州四中校考期末）已知曲线的方程为（），若曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（）A．B．C．或5D．考点4双曲线的焦点三角形应用【例4】（2023·山东德州·高二统考期中）双曲线的左右焦点分别为，，点为双曲线上异于顶点的任意一点，且，则（）A．B．C．1D．【变式4-1】（2023·河北石家庄·高二校联考期中）设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（）A．B．C．D．【变式4-2】（2022·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（）A．B．C．D．【变式4-3】（2023·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考阶段练习）若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则【变式4-4】（2022·福建厦门·高二统考期末）已知点P在双曲线的右支上，直线交曲线C于点Q（异于P），点F为C的左焦点，若为锐角，则b的取值范围为（）A．B．C．D．考点5双曲线中距离和差的最值【例5】（2023下·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【变式5-1】（2023·河南郑州·统考一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（）A．B．C．D．【变式5-2】（2023·江苏宿迁·高二统考期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是．【变式5-3】（2023·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是.【变式5-4】（2023·江苏南京·高二校考开学考试）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为.考点6与双曲线相关的轨迹问题【例6】（2023·广东广州·高二统考期末）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．B．C．D．【变式6-1】（2022·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，若四边形（为原点）的面积为4，则动点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2023·宁夏银川·高二贺兰县第一中学校考期中）已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程.【变式6-3】（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【变式6-4】（2023·广东广州·高二广州市天河中学校考阶段练习）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为.考点7双曲线离心率的值或范围【例7】（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过向直线引垂线，垂足为点，，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【变式7-1】（2023·江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【变式7-2】（2023·四川泸州·高二泸县第一中学校考阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，是左支上一点，，若存在点满足，则的离心率为.【变式7-3】（2023·四川绵阳·高二南山中学实验学校校考期末）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为【变式7-4】（2023·湖北鄂州·高二校考阶段练习）已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．考点8直线与双曲线位置关系判断【例8】（2023·陕西西安·高二西安中学校考阶段练习）（多选）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为（）A．B．C．D．【变式8-1】（2023·湖北·高二宜昌市一中校联考阶段练习）已知直线：与双曲线：的右支交于两点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【变式8-2】（2023·辽宁沈阳·高二沈阳市第十五中学校考阶段练习）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（）A．2条B．3条C．4条D．5条【变式8-3】（2023·广东清远·高二阳山县南阳中学校考阶段练习）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则的取值范围是（）A．或B．C．或D．【变式8-4】（2022·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点9双曲线的中点弦与点差法【例9】（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）A．B．C．D．【变式9-1】（2023·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期中）双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是.【变式9-2】（2023·广西河池·高二校联考阶段练习）过点的直线l与双曲线交于A、B两点，若M恰好是线段AB的中点，则直线l的斜率为．【变式9-3】（2023·江西赣州·高二校联考期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为.【变式9-4】（2023·宁夏银川·高二校考阶段练习）过双曲线的弦，且为弦的中点，求直线的方程.考点10直线与双曲线相交弦长【例10】（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）（多选）已知直线经过双曲线（，）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（）A．B．C．D．【变式10-1】（2022·高二课时练习）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（）A．一条B．两条C．三条D．四条【变式10-2】（2023·广东东莞·高二校考期中）动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，动点M的轨与经过点且倾斜角为的直线交于D、E两点．（1）求动点M的轨迹方程；（2）求线段的长．【变式10-3】（2023·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A，B两个不同的点．（1）求曲线E的方程；（2）求实数k的取值范围；（3）若，求直线AB的方程．【变式10-4】（2023·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期中）已知双曲线：的左右焦点分别为，，到其中一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且.（1）求E的方程；（2）过的直线交曲线E于M，N两点若，求直线的方程1．（2023·辽宁·高二校联考期中）双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A．4B．C．D．22．（2023·北京·高二陈经纶中学校考阶段练习）化简方程的结果是（）A．B．C．D．3．（2023·重庆·高二重庆十八中校考阶段练习）曲线（）与曲线（）的（）A．焦距相等B．离心率相C．焦点相同D．顶点相同4．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（）A．B．C．D．5．（2023·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习）已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为（）.A．B．C．D．6．（2023·湖北·高二郧阳中学校联考期中）已知双曲线，F为其右焦点，过F点的直线与双曲线相交于A，B两点，若，则这样的直线l的条数为（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．（2023·甘肃·高二天水市第一中学校考期末）已知圆具有性质：若是圆上关于原点对称的两点，点是圆上异于任意一点，则为定值．类比圆的这个性质，双曲线也具有这个性质：若是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于任意一点，则为定值（）A．B．C．D．8．（2023·四川甘孜·统考