专题05 椭圆的标准方程及几何性质（12大考点知识串讲+热考题型+专题训练）（【含答案解析】）

专题05椭圆的标准方程及几何性质知识点1椭圆的定义1、椭圆定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半叫作半焦距。2、椭圆定义的集合语言表示：注意：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段；②当时，其轨迹不存在．3、椭圆的焦点三角形椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立AF1+AF（设∠F1A性质1：AF1+A拓展：∆AF1∆ABF1性质2：4c知识点2椭圆标准方程1、椭圆标准方程的推导过程（1）以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1.（2）设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.焦点的坐标分别是，图1又设M与的距离的和等于常数.图1由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|}因为，所以（3）两边平方得，整理得再平方并整理得两边同除以得考虑,应有，故设，就有2、椭圆两种标准方程的对比知识点3椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围，，对称性关于轴、原点对称轴长长轴长：；短轴长：长轴长：；短轴长：顶点离心率离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁通径通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长通径的大小：知识点4直线与椭圆的位置关系1、点与椭圆的位置关系焦点在x轴上焦点在y轴上点在椭圆内点在椭圆上点在椭圆外2、直线与椭圆的位置关系（1）直线与椭圆的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程．①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．（2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：=1\*GB3①得出直线方程，设交点为，；=2\*GB3②联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；=3\*GB3③写出根与系数的关系；=4\*GB3④将所求问题或题中关系转化为关于，的形式；=5\*GB3⑤代入求解．3、直线与椭圆相交的弦长公式（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．（2）求弦长的方法=1\*GB3①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．=2\*GB3②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：4、解决椭圆中点弦问题的两种方法（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。证明：设、，则有，上式减下式得，∴，∴，∴。特的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。考点1椭圆定义的辨析【例1】（2023·江苏·高二专题练习）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【答案】A【解析】因为，，所以，所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.故选：A.【变式1-1】（2022秋·北京·高二校考阶段练习）设定点，，动点P满足条件，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．双曲线【答案】C【解析】定点，，，常数，，所以动点满足条件或，则点的轨迹是线段或椭圆．故选：C．【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（）A．线段B．圆C．椭圆D．直线【答案】C【解析】的几何意义为点与点间的距离，同理的几何意义为点与点间的距离，且又由为大于零的常数，可知，当且仅当，即时取等，故，即动点到点与到点的距离之和为定值，且大于，所以动点的轨迹为椭圆，故选：C.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（）A．B．C．1D．3【答案】C【解析】因为点P为椭圆上的一点，所以，因为，所以.故选：C.【变式1-4】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（）A．B．3C．6D．8【答案】BC【解析】由题意可知，所以，即.故选：BC.考点2求椭圆的标准方程【例2】（2022春·四川遂宁·高二校考阶段练习）过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为所求椭圆与椭圆有相同的离心率，可设所求椭圆的方程为，又由椭圆过点，代入椭圆的方程，可得，解得，即所求椭圆的方程为，即.故选：D.【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为椭圆，即，，，可得，椭圆的焦点为，设椭圆方程是，则，解得所求椭圆的方程为.故选：A．【变式2-2】（2023秋·河南·高三统考阶段练习）已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】显然离心率，解得，即，分别为C的左右顶点，B为上顶点，则，，于是，而，即，又，因此联立解得，所以椭圆的方程为.故选：B【变式2-3】（2023秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；（2）焦点坐标为和，且经过点.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由于椭圆的焦点在轴上，故可设它的标准方程为，由椭圆的定义知，所以，又因为，所以，因此，所求椭圆的标准方程为.（2）由于椭圆的焦点在轴上，故可设它的标准方程为，已知焦点坐标及椭圆上一点，由椭圆的定义可知，因此.又因为，所以.因此，所求椭圆的标准方程为.【变式2-4】（2023秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长为，离心率为；（2）x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）由题意，椭圆的长轴长为，离心率为，可得，可得，则，当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为.综上，椭圆的方程为或.（2）由题意，设椭圆的标准方程为，如图所示，为椭圆的一个焦点，分别为短轴的两个端点，且焦距为，则为一等腰直角三角形，所以，所以，故所求椭圆的标准方程为.考点3根据椭圆方程求参数【例3】（2023·全国·高二专题练习）方程表示焦点在轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】方程可变形为，表示焦点在轴上的椭圆，则有，解得.易知当时，，当时未必有，所以是的充分但不必要条件.故选：B.【变式3-1】（2021秋·高二课时练习）（多选）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的可能取值为（）A．1B．C．2D．3【答案】ABC【解析】方程可化为，依题意，解得.故选：ABC．【变式3-2】（2023秋·高二课时练习）已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是．【答案】且【解析】由方程表示椭圆，则，可得且.【变式3-3】（2023·全国·高二专题练习）若曲线是焦点在x轴的椭圆，则的取值范围为．【答案】【解析】由曲线，得，因为曲线是焦点在x轴的椭圆，所以，解得，即的取值范围为.【变式3-4】（2023秋·安徽淮南·高二校考阶段练习）对于方程，（1）若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围；（2）若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围；（3）若该方程表示椭圆，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以.（2）因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以.（3）因为表示椭圆，所以，解得且，所以.考点4椭圆的焦点三角形应用【例4】（2023·江苏·高二专题练习）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为.【答案】24【解析】由椭圆的方程可得：，，，，，且根据椭圆的定义可得：，，，则在中，，，【变式4-1】（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（）A．B．C．4D．【答案】D【解析】椭圆中，，由及椭圆定义得，因此为等腰三角形，底边上的高，所以的面积为.故选：D【变式4-2】（2023秋·重庆沙坪坝·高二校考阶段练习）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意椭圆，为两个焦点，可得，则①，即，由余弦定理得，，故，②联立①②，解得：，而，所以，即，故选：B【变式4-3】（2023·全国·高二专题练习）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，则，，即.设，所以由椭圆的定义可得：①.因为，所以由数量积的公式可得：，所以.在中，所以由余弦定理可得：②，由①②可得：，所以.故选：A.【变式4-4】（2023秋·吉林长春·高二校考阶段练习）已知点P为椭圆C：上一点，点，分别为椭圆C的左、右焦点，若，则的内切圆半径为【答案】【解析】因为，，所以，，则，等腰边上的高，所以，设的内切圆半径为，则，所以考点5椭圆中距离和差的最值【例5】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（）A．B．1C．D．【答案】A【解析】由为椭圆的焦点，，，，，，设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义得，，所以的最小值为.故选：A.【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（）A．8，11B．8，12C．6，10D．6，11【答案】C【解析】的圆心为，的圆心为，两圆半径均为，由于，，所以椭圆的两个焦点分别为和，由椭圆定义可知：，所以的最大值为，的最小值为.故选：C【变式5-2】（2023春·河南焦作·高二校考阶段练习）已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为．【答案】【解析】由椭圆标准方程可知，又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以所以易知，当且仅当三点共线时等号成立；又，所以；即的范围为.【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为.【答案】【解析】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，N为圆E：上任意一点，故，当且仅当共线时等号成立，故，当且仅当共线时等号成立，而，故，即的最小值为.【变式5-4】（2023春·安徽六安·高二校考开学考试）若点P在椭圆C1：＋y2＝1上，C1的右焦点为F，点Q在圆C2：x2＋y2＋10x－8y＋39＝0上，则的最小值为．【答案】【解析】记椭圆C1：＋y2＝1的左焦点为E(－1,0)，右焦点F(1,0)，由椭圆的定义可得，，所以，由，得，即圆C2的圆心为，半径为，作出图形如图所示，由圆的性质可得，，＝＝4－3＝(当且仅当C2，Q，P，E四点共线时，等号成立)，所以的最小值为.故答案为：考点6与椭圆相关的轨迹问题【例6】（2023秋·高二单元测试）是椭圆的两个焦点，A是椭圆上任一点，过任一焦点向的外角平分线作垂线，垂足为P，则P点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】A【解析】如图，平分的外角，，垂足为，直线交的延长线于，令椭圆长轴长为，于是，为的中点，而为的中点，则，若过作的外角平分线的垂线，垂足为，同理得，所以P点的轨迹是以椭圆中心为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆.故选：A【变式6-1】（2023秋·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为【答案】【解析】设动圆P的圆心为，半径为，由题意得，所以，所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆，则，即，，则，所以动圆圆心的轨迹方程为.【变式6-2】（2022秋·高二校考课时练习）已知圆与圆，圆与圆均相切，则圆的圆心的轨迹中包含了哪条曲线（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】B【解析】由圆可得，圆心，半径；由圆可得，圆心，半径.又，且，所以两圆内含，又.设圆的半径为.由题意结合图象可得，圆应与圆外切，与圆内切.则有，所以，根据椭圆的定义可得，圆的圆心的轨迹为椭圆.故选：B.【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为.【答案】【解析】由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．∵线段的垂直平分线交于点，如图，∴，∴，∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，∴，，，∴其轨迹方程为．故答案为：．【变式6-4】（2023·全国·高二专题练习）如图所示，已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程.【答案】【解析】延长，与的延长线交于点，连接，由是的外角的角平分线，且，在中，且为线段的中点又为线段的中点，由三角形的中位线：，根据椭圆的定义得：，则，点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，点的轨迹方程：.考点7求椭圆离心率的值【例7】（2023秋·江苏盐城·高二校考开学考试）已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知：，则直线，即，与圆相切，，即，，，椭圆的离心率.故选：A.【变式7-1】（2023秋·江苏淮安·高二校考阶段练习）设是椭圆E：的左、右焦点，过点且斜率为的直线交椭圆于点P，若，则椭圆E的离心率为【答案】【解析】因过点斜率为的直线交椭圆于点，则有，，因此，在中，，令椭圆半焦距为c，于是得，，由椭圆定义得：，，所以椭圆的离心率是.【变式7-2】（2023秋·吉林四平·高二统考期中）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，易知，则，，又，所以.故选：C【变式7-3】（2023·全国·高二专题练习）已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设椭圆左焦点为，连接，，，设，，结合椭圆对称性得，由椭圆定义得，，则.因为，，则四边形为平行四边形，则，而，故，则，即，整理得，在中，，即，即，∴，故.故选：A【变式7-4】（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆的一个焦点为，点是椭圆上的一个动点，的最小值为，且存在点，使得（点为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，要使（点为坐标原点）为正三角形，不妨设点为右焦点，则存在，即，将代入椭圆的方程得将代入上式得，化简得，则，代入，得，所以，代入，可得，所以.故选：D.考点8求椭圆离心率的取值范围【例8】（2023·全国·高二专题练习）椭圆和圆，（为椭圆的半焦距），对任意的恒有四个交点，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意对于恒成立，∴，由得，，，，又，即，整理得，又，∴．故选：B．【变式8-1】（2023秋·陕西西安·高二校考阶段练习）已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，，当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值．设点关于直线的对称点为，则，解得，，则，当时，椭圆有最大离心率，此时，．故选：B．【变式8-2】（2022秋·河南商丘·高二校考阶段练习）已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题设，圆与椭圆在上下顶点处相切，椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，如下图，若且，要所作的圆的两条切线的夹角最小，只需最大，所以，当与左右顶点重合时，此时最小；靠近上下顶点时无限接近；在椭圆上存在一点，使得所作的圆的两条切线的夹角为，所以，保证时，即，由题意及图知：，故，而，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：A【变式8-3】（2022秋·江西上饶·高二阶段练习）设､分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆上的一点，若的最大值为，则椭圆的离心率的取值范围是【答案】.【解析】由题意可知：，则（当且仅当，也即时等号成立）所以，则，又因为椭圆的离心率，所以.【变式8-4】（2023秋·高二单元测试）若椭圆上存在一点M，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为.【答案】【解析】方法一：设点M的坐标是，则.∵，，∴，.∵，∴，即.又点M在椭圆上，即，∴，即，∴，即，又，∴，故椭圆的离心率e的取值范围是.方法二：设点M的坐标是，由方法一可得消去，得，∵，∴，由②得，此式恒成立.由①得，即，∴，则.又，∴.综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是.方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，∵椭圆上存在一点M，使，∴，则，（最大时，M为短轴端点）∴，即，又，∴，故椭圆的离心率e的取值范围为.考点9直线与椭圆位置关系判断【例9】（2023秋·高二课时练习）直线与椭圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】由椭圆的方程，可得，即椭圆的短轴的右顶点为，所以直线与椭圆相切.故选：B.【变式9-1】（2023·全国·高二专题练习）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【答案】C【解析】联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离.故选：C【变式9-2】（2023·全国·高二专题练习）直线：与椭圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相交【答案】A【解析】方法1：∵，即：，∴直线l恒过定点，又∵椭圆,∴，∴定点M在椭圆内，∴直线l与椭圆相交.方法2：∴恒成立，∴直线l与椭圆相交.故选：A.【变式9-3】（2022·高二课时练习）已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系（）A．相交B．相离C．相切D．不确定【答案】A【解析】由，则，则直线，恒过定点，由，则点，在椭圆1内部，∴直线与椭圆相交．故选：A【变式9-4】（2023·全国·高二专题练习）已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去得①，因为直线与椭圆有公共点，所以方程①有实数根，则，得.故选：B．考点10直线与椭圆相切应用【例10】（2022·高二课时练习）若直线与椭圆相切，则斜率的值是（）A．B．C．±D．±【答案】C【解析】因为直线与椭圆相切，所以已知直线与椭圆有且只有一个交点，所以联立方程消去并整理，得，所以，解得：.故选：C【变式10-1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，过点作椭圆的切线，则切线方程为.【答案】或【解析】因为，P在外部，1.当斜率不存在时，易知为椭圆一切线；2.当斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为，代入中并整理得，因为直线与椭圆相切，则，解得，此时切线方程为；所以切线方程为或.【变式10-2】（2024·全国·高三专题练习）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如下图所示：根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，联立，消去整理可得，，因为，解得，所以，椭圆在点处的切线方程为，因此，点到直线的距离的最大值为,联立，可得点的坐标为.故选：B.【变式10-3】（2022·高二课时练习）已知是椭圆：，直线l：，点P是椭圆上一点，则使得点P到直线l的距离为的点P的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】设直线：与椭圆相切，联立，得，整理得，则该方程有且只有一个解，由，得或，所以的方程为或，易知直线与直线l的距离为，直线与直线l的距离为，所以在直线l的右侧有两个符合条件的P点，在直线l的左侧不存在符合条件的P点，故符合条件的点P有2个．故选：C．【变式10-4】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设与直线平行的直线：，联立，消可得，，解得，所以所求直线为或，直线与直线的距离为.直线与直线的距离为.所以椭圆C上的点到直线l距离的最大值为故选：C考点11椭圆的中点弦与点差法【例11】（2023秋·宁夏银川·高二校考期中）若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】若直线轴，则点、关于轴对称，则直线的中点在轴，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设点、，则，所以，，两式作差可得，即，即，可得直线的斜率为，所以，直线的方程为，即.故选：B.【变式11-1】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，代入椭圆的方程可得，．两式相减可得：．由，，代入上式可得：＝0，化为．又，，联立解得．∴椭圆的方程为：．故选：C．【变式11-2】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为.【答案】【解析】已知椭圆的弦被点平分，设这条弦的两个端点分别为、，则，得，由于点、均在椭圆上，则，两式相减得，可得，即，所以直线的斜率为，因此，这条弦所在直线的方程为，即.【变式11-3】（2022秋·浙江嘉兴·高二校考期中）过点的直线与椭圆相交于，两点，若点恰好为线段的中点，则直线的斜率为.【答案】【解析】设，，则直线的斜率，点恰好为线段的中点，所以有，，因为直线与椭圆相交于，两点，所以，两式相减可得，，即，故，故，所以直线的斜率为.【变式11-4】（2023·江苏·高二专题练习）求所有斜率为1的直线被椭圆所截得线段的中点的轨迹．【答案】点的轨迹是直线在椭圆内的部分【解析】如图，设直线被椭圆所截得的线段的两个端点、的横坐标为、，线段中点为．联立直线方程和椭圆方程得方程组，消去，并整理得．当判别式，即时，上述方程有两个不同的实数解，即直线与椭圆的相交线段存在．因为，，从而，这就是中点的轨迹的参数方程（其中）．消去得，，由，及，可得，点的轨迹方程为，，即点的轨迹是直线在椭圆内的部分．考点12直线与椭圆相交弦长【例12】（2022秋·四川乐山·高二校考期中）过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由,得椭圆方程,左焦点为,过左焦点的直线为，代入椭圆方程得，解得或，，故选：D.【变式12-1】（2023秋·重庆沙坪坝·高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过且斜率为的直线交椭圆于，两点，求弦的长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意设椭圆的方程为（），则，解得，所以椭圆方程为.（2）依题意直线的方程为，设、，由，消去整理得，则，所以，，所以.【变式12-2】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.（1）求椭圆的方程；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得，解得,，，∴椭圆的方程为.（2）因为，所以设直线的方程为，，.联立得得，又直线与椭圆有两个不同的交点，所以，∴∴，∴故当，即直线过原点时，最大，最大值为.【变式12-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知椭圆C：与椭圆有相同的焦点，过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的弦长度为1．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若，求实数m的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得的焦点为，故椭圆C：的焦点为，则；令，则，故由过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的弦长度为1可得，联立，解得，故椭圆C的方程为；（2）将代入得，需满足，即；设，则，由得，即，解得，故，符合题意.【变式12-4】（2023秋·吉林长春·高二校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．（1）求椭圆的方程；（2）倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由椭圆的离心率为，即，可得，由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得，解得，，，所以椭圆的方程．（2）因为直线的倾斜角为，可设的方程，由方程组，整理得，可得，解得，设，，则，，又由，解得，满足，所以直线的一般式方程为或．1．（2023秋·江西·高二校考阶段练习）平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（）A．线段B．圆C．椭圆D．不存在【答案】A【解析】因为，表示点到两点的距离之和为2，又，则点的轨迹就是线段.故选：A2．（2023秋·河南·高二校考期中）已知椭圆C过点，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】若焦点在x轴上，则．由，得，所以，此时椭圆C的标准方程为．若焦点在y轴上，则．由，得，此时椭圆C的标准方程为．综上所述，椭圆C的标准方程为或．故选：D.3．（2023秋·江西抚州·高二校考阶段练习）已知椭圆，过作直线与交于两点，则的周长为（）A．24B．20C．16D．12【答案】A【解析】由椭圆方程可知，则，所以是椭圆的焦点，所以的周长为.故选:.4．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是，则，，直线的斜率.由，得，得，所以，故椭圆的离心率.故选：B.5．（2023秋·湖南株洲·高二校考阶段练习）设实数满足的最小值为（）A．B．C．D．前三个答案都不对【答案】A【解析】设，则在椭圆上，又，设，则为椭圆的右焦点，如图，设椭圆的左焦点为，则：，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，而，故的在最小值为，故选：A.6．（2023秋·吉林长春·高二校考阶段练习）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设直线与椭圆相切，联立方程，得①，因为直线与椭圆相切，所以，得，当时，与的距离最大，最大距离为，把代入①得，，得，代入，得，所以点的坐标为，故选：A7．（2023秋·江苏扬州·高二校考阶段练习）（多选）下列命题错误的是（）A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆B．若定点，满足，动点满足，则的轨迹是椭圆C．当时，曲线：表示椭圆D．若动点的坐标满足方程，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为【答案】AC【解析】对于A中，若定点，满足，动点满足，可得点的轨迹为以为端点的线段，所以A不正确；对于B中，若定点，满足，动点满足，由椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，所以B正确；对于C中，当时，曲线：，若时，即时，此时曲线表示圆，所以C不正确；对于D中，若动点的坐标满足方程，则点的轨迹是椭圆，其中，可得，所以焦点坐标为，所以D正确.故选：AC.8．（2023秋·江西吉安·高二校考阶段练习）（多选）中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”