2024-2025学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.4.1第2课时空间中直线平面的垂直课后提升训练含解析新人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量探讨直线、平面的位置关系第2课时空间中直线、平面的垂直课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)已知v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列说法中,正确的有()A.n1∥n2⇔α∥β B.n1⊥n2⇔α⊥βC.v∥n1⇔l∥α D.v⊥n1⇔l⊥α解析∵平面α,β不重合,∴平面α,β的法向量平行(垂直)等价于平面α,β平行(垂直),∴AB正确;直线l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α,∴CD都错误.故选AB.答案AB2.某直线l的一个方向向量为a=(2,2,-2),平面α的一个法向量为b=(1,1,-1),则()A.l⊥α B.l∥αC.l⊂α D.l⊥α或l∥α解析∵a=2b,∴a∥b,∴l⊥α.答案A3.(多选题)在菱形ABCD中,若PA是平面ABCD的法向量,则以下等式中肯定成立的是()A.PA·AB=0 B.PCC.PC·AB=0 D.PA解析∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又AC⊥BD,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∵PC⊂平面PAC,∴PC⊥BD.故ABD成立.答案ABD4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则(A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析建立分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则DA1=(1,0,1),AC=(-1,1,0),E13,0,13,F23,13,0,EF=13,13,-13,∴EF·DA1=0,EF·AC=0,∴EF⊥A1D,EF⊥AC.又BD1=(-1,答案B5.设平面α与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β与向量b=(2,3,1)垂直,则平面α与β的位置关系是.

解析a·b=0,所以α⊥β.答案垂直6.已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为.

解析由题意得PA=(-x,1,-z),AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),由PA⊥AB,得PA·AB由PA⊥AC,得PA·AC解得x=-1,z=2.答案(-1,0,2)7.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0).所以A1F=(-x,a,-a),C1E=(a,x-a因为A1F·C1E=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,所以A1F⊥C8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).易知CD=(-4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h).∵CD·AE=-8+8+0=0,CD∴CD⊥AE,CD⊥AP.∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.9.如图所示,△ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求证:平面DEA⊥平面ECA.证明建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).所以EA=(3,1,-2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,-1).分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则n解得y即3x2不妨取n1=(1,-3,0),n2=(3,1,2),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.所以平面DEA⊥平面ECA.实力提升练1.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,zA.337,-157,4 B.407,C.407,-2,4 D.4,407,解析∵AB⊥BC,∴AB·BC=0,即3+5-2z=又BP⊥平面ABC,∴BP⊥则(x-答案B2.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若点E,F分别为PB,AD的中点,则直线EF与平面PBC的位置关系是.

解析以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),E12,12,12,F12,0,0,∴EF=0,-12,-12,PB=(1,1,-1),PC=(0,-1,1),设平面PBC的一个法向量n=(x,y,z),则n·PB=0,n·PC=0,即x+y-z=0,-y+∵EF=-12n,∴EF∥n,∴EF⊥PBC答案垂直3.如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满意PQ⊥QD,则a的值等于.

解析以A为原点,建立如图所示坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),设Q(1,x,0),P(0,0,z),PQ=(1,x,-z),QD=(-1,a-x,0).由PQ·QD=0,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.当Δ=a2-4=0,即a=2时,点Q答案24.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.求证:(1)BC1⊥AB1;(2)BC1∥平面CA1D.证明如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AC=BC=BB1=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).(1)因为BC1=(0,-2,-2),AB1=(所以BC1·AB1=0因此BC1⊥AB1,故(2)由于CA1=(2,0,-2),CD若设BC1=xCA则得2x+即BC1=CA1-2CD,所以BC1,CA1,5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.解如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,P(0,1,a),则A1(1,0,1),B1(1,1,1),E12,1,0,C1(0,1,1),A1B1=(0,1,0),A1P设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则n令z1=1,得x1=a-1,∴n1=(a-1,0,1).设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则n令y2=1,得x2=-2,z2=-1,∴n2=(-2,1,-1).∵平面A1B1P⊥平面C1DE,∴n1⊥n2,即n1·n2=0.∴-2(a-1)+0+(-1)=0,∴a=12故P0,6.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD(1)求证:CD⊥平面PAC;(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明,若不存在,请说明理由.解因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.∠BAD=90°,所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).(1)证明:AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD=(-1,1,0),可得AP·CD=0,AC所以AP⊥CD,AC⊥CD.又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.(2)设侧棱PA的中点是E,则E0,0,12,BE=-1,0,12.设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则n因为CD=(-1,1,0),PD=(0,2,-1),所以-取x=1,则y=1,z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).所以n·BE=(1,1,2)·-1,0,12=0,所以n⊥BE.因为BE⊄平面PCD,所以BE∥平面PCD.综上所述,当点E为PA的中点时,BE∥平面PCD.素养培优练如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是()A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BDB.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BDC.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD解析以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,