湖南省岳阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

湖南省岳阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．3x2−5x=6 B．1x−2=0 2．已知两非零数x，y，且3x=2y，则下列结论一定正确的是（）A．x=2，y=3 B．x3=y23．反比例函数y=m−5x的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，那么A．m<0 B．m>0 C．m<5 D．m>54．古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）A．222石 B．224石 C．230石 D．232石5．某企业复工之后，举行了一个简单的技工比赛，参赛的五名选手在单位时间内加工零件的合格率分别为：94.3%，96.1%，94.3%，91.7%，93.5%.关于这组数据，下列说法正确的是（）A．平均数是93.96% B．方差是0C．中位数是93.5% D．众数是94.3%6．如图，已知∠DAB=∠CAE，那么添加一个条件后，依然无法判定ΔABC∽ΔADE（）A．∠AED=∠C B．∠D=∠B C．ABAD=AC7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若BC=6，AC=8，则tan∠ACD的值为（）A．35 B．45 C．438．图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为A．(28−2x)(16−2x)=80 B．(28−2×2x)(16−2x)=80C．(12×28−2x)(16−2x)=809．如图，A，B是反比例函数y＝9xA．9 B．10 C．11 D．1210．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，其中DE=55，且sin∠DFA=4A．80 B．64 C．36 D．18二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分）11．在△ABC中，（cosA﹣12）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝12．已知点A（－1，y1），B（－2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=−3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为13．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为.14．对某班期末成绩进行统计，已知80.5～90.5分这一组的频数是10，频率是0.25，那么该班级的人数是人．15．如图，A.B是双曲线y＝kx上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C.若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为16．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，且D、E分别为BA、BC边上靠近点B的三等分点，则下列结论正确的是．①DE：AC=1：3；②OD：OC=1三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解方程：|1−218．解一元二次方程：（1）x2（2）x219．如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC=10m，坝高20m，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°．求坝底AD的长度（结果精确到120．关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2+1=0（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1，x2满足x121．巴川中学STEAM创新教育学部为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：年级平均分中位数众数方差七年级8a91八年级88b1（1）根据以上信息可以求出：a＝▲，b＝▲，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；（3）若STEAM创新教育学部七、八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？22．如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD=∠CAE．（1）请你写一个适当的条件，使△ADE∽△ABC，则需添加的条件可以是▲或▲，并选择其中之一证明．（2）由（1）能否得出其他的相似三角形？如果能，请说明理由．23．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=4x(x>0)的图象交于A(m（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使kx+b<4x成立的（3）求△AOB得面积．24．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．（1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元（用含x的代数式表示）；（2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是；（3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？25．（1）【问题情境】如图1，小明把三角板EFG（∠GFE=30°）放置到矩形ABCD中，使得顶点E、F、G分别落在AD、CD、AB上，你发现线段ED与AG有什么数量关系？直接写出结论：（不用证明）．（2）【变式探究】如图2，小明把三角板EFG（∠GFE=30°）放置到矩形ABCD中，使得顶点E、F、G分别在AD、BC、AB边上，若GA=4，AE=6，求BG的长．（3）【拓展应用】如图3，小明把三角形EFG放置到平行四边形ABCD中，使得顶点E、F、G分别落在AD、BC、AB边上，若ABAD=45，AEAD

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、3x2−5x=6是一元二次方程，符合题意，A正确；

B、1x−2=0不是一元二次方程，不符合题意，B错误；

C、x2+y22．【答案】C【解析】【解答】解：A、∵二元一次方程有无数组解，∴不是x必须等于2，y必须等于3，A错误；

B、由3x=2y，可得x2=y3，B错误；

C、由3x=2y，可得xy=23，两边同时加1可得x+yy=53．【答案】C【解析】【解答】解：∵在每一支图像上，y都随x的增大而增大，

∴m-5<0，

∴m<5.

故答案为：C.

【分析】根据反比例函数的性质可判断图形经过第二、四象限，可得m-5<0，解出m的取值范围即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：由题有，2016石米中夹谷约为：2016×30270=224（石）.

5．【答案】D【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：91.7%，93.5%，94.3%，94.3%，96.1%.则中位数为：94.3%，故选项C错误；平均数是：91.7%+93.5%+94.3%+94.3%+96.1%5方差是反映一组数据的波动大小的一个量，因为数据有波动，所以方差不可能为0，故选项B错误；94.3%出现两次，出现次数最多，所以众数是94.3%，故选项D正确.故答案为：D.【分析】根据中位数、平均数、众数、方差的概念求解.6．【答案】D【解析】【解答】解：∵∠DAB=∠CAE，

∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，

∴∠DAE=∠BAC，

A、若∠AED=∠C，∵∠DAE=∠BAC，∴ΔABC∽ΔADE，能判定相似，A不符合题意；

B、若∠D=∠B，∵∠DAE=∠BAC，∴ΔABC∽ΔADE，能判定相似，B不符合题意；

C、若ABAD=ACAE，∵∠DAE=∠BAC，∴ΔABC∽ΔADE，能判定相似，C不符合题意；

D、若ADAB=DEBC，且∠DAE=∠BAC，不能判定ΔABC∽7．【答案】D【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，

∴CD是Rt△ABC中斜边AB边上的中线，

∴CD=AD=BD=12AB，

∴∠ACD=∠A，

∵BC=6，AC=8，

∴tan∠ACD=tan∠A=BCAC=68=38．【答案】D【解析】【解答】解：∵矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且盒子的高为xcm，

∴折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为12（28-2x）cm，

∵折成的长方体底面积为80cm2，

∴12(28−2x)(16−2x)=80.

故答案为：D.

9．【答案】D【解析】【解答】解：设FB与KA的延长线相交于点P，HM垂直平分EK，

∵A，B是反比例函数y＝9xA点向x轴，y轴作垂线段分别是AD、AK∴s矩形ODAK＝|k|＝9同理：s矩形OFBE＝9∵s矩形ODGE＝3∴s矩形DFBG＝s矩形EGAK＝9﹣3＝6∵HM垂直平分EK∴OE＝EH＝HK∴s矩形OFPK＝3s矩形OFBE＝3×9＝27且s矩形AGBP＝2s△ABP＝12即s△ABP＝6∴s△AOB＝S矩OFPK-S△AOK-S△OFB-S△ABP＝27﹣6﹣9＝12故答案为：D.【分析】首先根据反比例函数图象上的点与坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积等于|k|，利用阴影部分的面积为3，推导出线段比例关系，比例关系转化为求矩形OFPK的面积，用割补法可求△OAB的面积.10．【答案】A【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，∴∠DFC=∠C=90°，∴∠DFA+∠BFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴∠BEF+∠BFE=90°，∴∠DFA=∠BEF，∴sin∠BEF=∴设BF=4x，EF=5x，则BE=3x，CE=FE=5x，∴AD=BC=8x，∵sin∠DFA=∴DF=10x，∵∠DFC=∠C=90°，DE=55∴DF2+E∴解得：x=1，负值舍去，∴AD=8x=8，DC=DF=10x=10，∴矩形ABCD的面积=AD⋅CD=8×10=80．故答案为：A．

【分析】根据折叠的性质得到∠DFC=∠C=90°，由矩形的性质可得∠A=∠B=90°，利用同角的余角相等证得∠DFA=∠BEF，进而得到sin∠BEF=sin∠DFA=45，设BF=4x，则EF=5x11．【答案】75°【解析】【解答】解：∵（cosA﹣12）2+|tanB∴cosA﹣12＝0，tanB则cosA＝12，tanB∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为：75°．【分析】先根据非负数的性质确定cosA=1212．【答案】y【解析】【解答】分别将点A（－1，y1），B（－2，y2），C（3，y3）代入反比例函数解析式中，可得y即y故答案为：y3【分析】先求出y113．【答案】1000【解析】【解答】解：由题意得1000故答案为：1000(1−x)【分析】第一次降价后的单价是1000（1-x），第二次降价后的单价是1000（1-x）2，根据题意列出方程即可.14．【答案】40【解析】【解答】解：∵80.5～90.5分这一组的频数是10，频率是0.25，

∴该班级的人数为：10÷0.25=40人.

故答案为：40.

【分析】根据总人数=某小组的频数÷该小组的频率即可解答.15．【答案】8【解析】【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，∵D为OB的中点，∴CD是△OBE的中位线，即CD=12设A(x，kx)，则B(2x，k2x)，CD=k4x，AD=k∵△ADO的面积为1，∴12AD⋅OC=1，12(kx−k故答案为：83.

【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，易得CD是△OBE的中位线，则CD=12BE，设A（x，kx），则B（2x，k2x），CD=k4x16．【答案】①【解析】【解答】解：∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴DE：AC=BD：∵DE∥AC，∴△ODE∽△OCA，∴OD：OC=DE：∵E分别为BC边上靠近点B的三等分点，∴BE：∴S△BDE：S∵△ODE∽△OCA，∴S△DOE：S故答案为：①．

【分析】①由DE∥AC，易得△BDE∽△BAC，根据D、E分别为BA、BC边上靠近点B的三等分点，即可得到DE：AC=BD：BA=1：3，由此可判定①正确；②由DE∥AC，易得△ODE∽△OCA，根据DE：AC=1：3可得OD：OC=1：3，由此可判定17．【答案】解：|1−===−2．【解析】【分析】先根据绝对值的性质、负整数指数幂的计算法则、特殊的三角函数值、零指数幂以及有理数的立方根分别计算出个数，再根据实数的混合运算法则计算即可.18．【答案】（1）解：移项得x2配方得x2+3x+9开方得x+3所以x1（2）解：(x+11)(x−9)=0，所以x1【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的一般步骤，先将原方程变为（a+b）2=c的形式，再直接开平方即可求解；

（2）利用十字相乘法将原方程因式分解即可求解.19．【答案】解：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，∴EF=BC=10米，∵BE=20米，斜坡AB的坡度i=1：∴AE=50米，∵CF=20米，斜坡CD的坡角为30°，∴DF=CF∴AD=AE+EF+FD=95米．【解析】【分析】作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，由AD∥BC，可得四边形BEFC是矩形，可得BE=CF=20米，再根据AB的坡度i=1：2.5，求出AE的长为50米，利用20．【答案】（1）解：根据题意得Δ=(2k−1)2−4(（2）解：x1+x2=2k−1，x1x整理得k2+2k=0，解得k1=0，k2=−2【解析】【分析】

（1）考查根的判别式，列不等式进行求解即可。

（2）根据根与系数的关系得出两根的和与积，再代入等式求出k值。21．【答案】（1）根据题意，得C组的人数为：25−6−12−5=2（人），根据中位数的定义第13个数据是中位数，恰好在B组中，故a=9（分）；∵A组所占的百分比最大，∴众数A组中，故b=10（分），补充统计图如下：故答案为：9，10．（2）解：七年级更好，理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好．（3）解：6+12+(44％+4％)×2525+25答：估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有480人．【解析】【分析】（1）先根据七年级抽取的总人数为25人计算出C组的人数，再根据中位数的的定义可知第13个数据是中位数，且刚好在B组中，即可求得a；观察扇形统计图可知A所占的百分比最大，据此可知众数为10，即可得到b；

（2）根据方差越小，这组数据越稳定即可判断；

（3）用总人数×本次知识竞赛中成绩为优秀的所占百分比即可求解.22．【答案】（1）解：使△ADE∽△ABC，则需添加的条件可以是：∠ADC=∠ABC或∠AED=∠ACB，理由：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，即∠DAE=∠CAB，又∵∠ADC=∠ABC，∴△ADE∽△ABC，（2）解：△ABD∽△ACE．理由：∵△ADE∽△ABC，∠BAC=∠DAE，∴ABAD=AC∴ABAC=AD∴△ABD∽△ACE．【解析】【分析】（1）由∠BAD=∠CAE可证得∠DAE=∠CAB，根据相似三角形的判定可知，再添加一组角相等即可；

（2）由△ADE∽△ABC可得ABAD=ACAE，变形可得23．【答案】（1）解：因为反比例函数y=4x(x>0)4=4解得：m=1．所以，点A的坐标为(1，同理可得，点B的坐标为(2，因为一次函数y=kx+b的图象过点A(1，4)，k+b=42k+b=2解得：k=−2b=6所以，一次函数解析式为y=−2x+6．（2）解：根据题意可知，kx+b<4x表示一次函数y=kx+b的图象在反比例函数y=4x(x>0)（3）解：如图所示，设直线AB与x轴，y轴分别交于点C，点D，可求得点C的坐标为(3，0)，点D的坐标为S△AOB【解析】【分析】（1）先根据反比例函数的解析式求出点A、点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可；

（2）根据点A、点B的坐标，结合函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可求解；

（3）先求出点C的坐标为(3，0)，点D的坐标为(0，24．【答案】（1）(28−x)（2）y=100+20x（3）解：根据题意得：(28−x)(100+20x)=4000，