函数与图象复习课件

函数与图象复习函数与图象是高中数学的重要内容。通过函数的概念，我们可以描述现实世界中的各种关系。函数的图象可以直观地展示函数的性质，例如单调性、奇偶性、周期性等。什么是函数？函数是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。函数接收输入，根据规则进行处理，并输出结果。对于每一个输入，函数只能对应一个输出。函数可以表示为映射关系。将输入映射到唯一的输出。函数的性质定义域函数定义域是所有自变量的集合，是函数能够接受的值的范围。函数的定义域决定了函数图像的横轴范围。值域函数值域是所有因变量的集合，是函数输出的值的范围。函数的值域决定了函数图像的纵轴范围。单调性函数的单调性描述了函数值随自变量变化的趋势。单调递增的函数图像向上倾斜，单调递减的函数图像向下倾斜。奇偶性奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。奇函数的图像和偶函数的图像具有不同的对称性。函数的表示1解析式使用数学表达式来表示函数，例如y=2x+1或f(x)=x²。2图像在坐标系中，将函数的对应点连接起来形成的曲线。3表格列出函数的自变量和因变量的值，可以直观地展示函数的对应关系。4文字描述使用语言文字来描述函数的规律，例如“y是x的两倍加1”。函数的运算1函数的加减法两个函数相加减得到新的函数，其定义域为两个函数定义域的交集。2函数的乘法两个函数相乘得到新的函数，其定义域为两个函数定义域的交集。3函数的除法两个函数相除得到新的函数，其定义域为两个函数定义域的交集，并且分母函数不能为零。4函数的复合将一个函数作为另一个函数的自变量，得到新的函数，其定义域需要满足复合条件。函数的分类按定义域分类函数可以根据定义域的类型进行分类，例如实数函数、复数函数、向量函数等。例如，定义在实数集上的函数称为实数函数。按值域分类函数也可以根据值域的类型进行分类，例如实值函数、复值函数、向量值函数等。例如，值域为实数集的函数称为实值函数。按表达式分类根据函数表达式中包含的运算类型，可以将函数分为代数函数、超越函数、分段函数等。按性质分类函数还可以根据其性质进行分类，例如单调函数、奇偶函数、周期函数、有界函数等。基本初等函数指数函数指数函数定义域为全体实数，值域为正实数。图像过点(0,1)，且随着自变量的增大，函数值单调递增。对数函数对数函数定义域为正实数，值域为全体实数。图像过点(1,0)，且随着自变量的增大，函数值单调递增。三角函数三角函数定义域为实数，值域为[-1,1]。图像具有周期性和对称性。多项式函数多项式函数定义域为全体实数，图像通常为连续曲线。指数函数和对数函数指数函数指数函数的基本形式为y=a^x(a>0且a≠1)，其中a为底数，x为指数。指数函数的图像是一个单调的曲线，当a>1时，图像单调递增；当0对数函数对数函数是指数函数的反函数，其基本形式为y=logax(a>0且a≠1)，其中a为底数，x为真数。对数函数的图像也是一个单调的曲线，当a>1时，图像单调递增；当0三角函数定义和表示三角函数是描述三角形边角关系的函数。常见的三角函数有正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)。单位圆单位圆是研究三角函数的重要工具，它将角度与三角函数值建立起对应关系。性质和应用三角函数具有周期性、对称性等重要性质，在物理、工程等领域有广泛应用。反三角函数定义反三角函数是三角函数的反函数，例如反余弦函数，其定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。性质反三角函数具有奇偶性、单调性、周期性等性质，可用于求解三角方程和三角不等式。应用反三角函数广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。复合函数函数的嵌套复合函数是指一个函数的输出作为另一个函数的输入。复合函数的表达式复合函数的表达式通常表示为f(g(x))，其中g(x)是内函数，f(x)是外函数。实际应用复合函数在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。反函数1定义如果函数y=f(x)的定义域和值域分别为D和R，那么对于R中的每一个值y，在D中恰好对应一个值x，使得y=f(x)，则称y=f(x)的反函数为x=f-1(y)。2性质反函数图像关于直线y=x对称；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；反函数的单调性与原函数相同。3求解求解反函数的步骤：交换x和y，然后解出y关于x的表达式，即得到反函数。函数的图像函数的图像是在平面直角坐标系中，以自变量为横坐标，因变量为纵坐标，描绘所有函数值对应的点所形成的图形。函数的图像可以直观地展现函数的变化规律，以及函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。函数图像在数学研究中扮演着重要的角色，通过图像可以更加深入地理解函数的性质和应用。函数图像的性质对称性对称性是指函数图像关于某一点或某直线对称。例如，偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称。单调性单调性是指函数图像在某个区间内是单调递增或单调递减的。例如，当函数的导数大于零时，函数图像在该区间内单调递增。极值函数的极值是指函数图像在某个局部范围内取得最大值或最小值。例如，函数的导数等于零，且导数在该点附近发生变化，则该点可能为极值点。渐近线渐近线是指函数图像当自变量趋于无穷大或某一个值时，无限接近于某一条直线或曲线。例如，当函数的极限存在时，函数图像可能存在水平渐近线。函数图像的平移1水平平移向左平移向右平移2垂直平移向上平移向下平移函数图像平移是指将函数图像沿坐标轴方向移动一定距离。水平平移是指将函数图像沿横轴方向移动，垂直平移是指将函数图像沿纵轴方向移动。函数图像的伸缩纵向伸缩将函数图像沿纵轴方向拉伸或压缩，得到新的函数图像。例如，y=f(x)的图像沿纵轴方向拉伸或压缩k倍，得到新的函数图像y=kf(x)。横向伸缩将函数图像沿横轴方向拉伸或压缩，得到新的函数图像。例如，y=f(x)的图像沿横轴方向拉伸或压缩k倍，得到新的函数图像y=f(x/k)。伸缩的组合将函数图像同时沿纵轴和横轴方向拉伸或压缩，得到新的函数图像。例如，y=f(x)的图像沿纵轴方向拉伸k倍，沿横轴方向压缩k倍，得到新的函数图像y=kf(x/k)。函数图像的对称1轴对称关于某一条直线对称2中心对称关于某一个点对称3奇偶性奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称函数图像的对称性是重要的性质之一，可以通过观察函数图像来判断。函数的极值和单调性11.极值的概念函数在某个区间上的最大值或最小值被称为函数的极值，极值点是函数取得极值时的自变量的值。22.单调性的概念函数在某个区间上，如果自变量的值增大时，函数的值也随之增大，则称函数在这个区间上是单调递增的。33.极值与单调性的关系函数的极值点通常出现在函数的单调性发生变化的地方，也就是导数为零或导数不存在的地方。44.求极值和单调性的方法求极值和单调性的方法主要包括求导数、判断导数的正负号、分析函数图像等。函数的周期性周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对于定义域内任意实数x，都有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)为周期函数。周期函数在一个周期内重复出现，图像形状完全相同。周期满足上述条件的最小正数T称为函数f(x)的周期，也称为最小正周期。周期函数的周期可以是任何非零实数，但不一定是正数。函数的奇偶性奇函数定义域关于原点对称，满足f(-x)=-f(x)。偶函数定义域关于原点对称，满足f(-x)=f(x)。判断方法将x替换为-x，观察函数表达式是否满足奇函数或偶函数的定义。函数的有界性有界函数函数值在某个区间内，始终保持在一定的范围之内，则称该函数在这个区间上有界。无界函数如果函数值在某个区间内，可以无限增大或无限减小，则称该函数在这个区间上无界。上界和下界函数值在某个区间内的最大值称为该函数的上界，最小值称为下界。有界性与图像有界函数的图像在一定区间内不会超出某个特定的范围，而无界函数的图像则没有这个限制。函数的渐近线水平渐近线当x趋向正无穷或负无穷时，函数的值无限接近于某个常数，该常数对应的直线称为水平渐近线。当x趋向正无穷或负无穷时，函数的值无限接近于某个常数，该常数对应的直线称为水平渐近线。垂直渐近线当x趋向某个特定值时，函数的值无限接近于正无穷或负无穷，该特定值对应的直线称为垂直渐近线。当x趋向某个特定值时，函数的值无限接近于正无穷或负无穷，该特定值对应的直线称为垂直渐近线。曲线与直线相交的性质1交点个数曲线与直线可能相交于一个点，多个点，或者不相交。2交点坐标交点坐标满足曲线和直线的方程。3斜率关系在交点处，曲线的切线斜率等于直线的斜率。4应用曲线与直线相交的性质可以用来求解方程组，确定函数的极值点等。函数的定积分面积定积分可以用来计算曲线与坐标轴围成的面积。体积定积分可以用来计算旋转体积。功定积分可以用来计算物体在力场中的功。概率定积分可以用来计算随机变量的概率。微分中值定理罗尔定理函数在闭区间上连续，开区间上可导，且两端点函数值相等，则存在一点使得导数为零。拉格朗日中值定理函数在闭区间上连续，开区间上可导，则存在一点使得导数等于该区间两端点函数值之差与区间长度之比。柯西中值定理两个函数在闭区间上连续，开区间上可导，则存在一点使得两函数在该点导数之比等于两函数在区间端点函数值之差之比。导数的应用物理学导数在物理学中有广泛应用，例如求解运动学问题，计算加速度和速度等。工程学导数在工程学中用于优化设计，例如找到最优尺寸和形状，提高效率和性能。经济学导数在经济学中用于分析经济变化，例如预测价格波动和评估投资回报率。导函数的几何意义切线斜率导数f'(x)在x点的值表示曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率。函数图像与导数的关系导数的几何意义导数在函数图像上的几何意义是切线的斜率。在函数图像上，每一点都有唯一的一条切线，切线的斜率就是该点的导数值。导数与函数单调性导数与函数的单调性密切相关。导数为正，则函数单调递增；导数为负，则函数单调递减。导数为零，则函数可能取得极值。导数与函数凹凸性导数的二阶导数可以用来判断函数的凹凸性。二阶导数为正，则函数图像向上凹；二阶导数为负，则函数图像向下凹。二阶导数为零，则函数图像可能存在拐点。曲线的凹凸性与拐点凹凸性函数图像的凹凸性是指函数图像在某个区间内是向上弯曲还是向下弯曲。拐点拐点是指函数图像的凹凸性发生变化的点，即从向上弯曲变为向下弯曲或从向下弯曲变为向上弯曲的点。判定可以通过判断函数二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如果二阶导数大于零则为凹，小于零则为凸，等于零则可能为拐点。应用凹凸性与拐点在函数图像的绘制、函数的极值、函数的单调性等方面都有重要的应用。常见初等函数的导数公式指数函数的导数公式指数函数的导数与其自身成正比，导数公式为：y'=