2024年黑龙江哈尔滨市中考数学真题卷及答案解析

试题PAGE1试题2024年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）﹣的相反数为（）A．﹣ B． C．﹣ D．2．（3分）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2020年11月10日，中国万米载人潜水器“奋斗者号”在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达10909m．将10909用科学记数法表示为（）A．1.0909×104 B．10.909×103 C．109.09×102 D．0.10909×1054．（3分）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A． B． C． D．5．（3分）方程的解是（）A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x＝7 D．x＝16．（3分）二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．（3分）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（）A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC的长为（）A．6 B．3 C．5 D．99．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，若∠B＝50°，则∠DAC＝（）A．20° B．50° C．30° D．80°10．（3分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，当x＝9min时，y＝（）A．36L B．38L C．40L D．42L二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．（3分）把多项式2a2﹣18分解因式的结果是．13．（3分）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA＝40°，则∠AOB＝度．14．（3分）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其它差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是．15．（3分）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U＝V．16．（3分）不等式组的解集是．17．（3分）若90°圆心角所对的弧长是3πcm，则此弧所在圆的半径是．18．（3分）定义新运算：a※b＝ab+b2，则（2m）※m的运算结果是．19．（3分）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°，则AC的长为．20．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG＝∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE＝，则DF的长为．三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°．22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），连接AD，BC，画出线段CD，AD，BC；（2）在方格纸中，画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形AED（点E在小正方形的顶点上），且∠BAE为钝角，AD，BC交于点O，连接OE，画出线段OE，直接写出的值．23．（8分）威杰中学开展以“我最喜欢的研学地点”为主题的调查活动，围绕“在科技馆、规划馆、博物馆、航天馆四个研学地点中，你最喜欢哪一个地点？（必选且只选一个地点）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢航天馆的学生人数占所调查人数的20%，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）通过计算补全条形统计图；（3）若威杰中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢科技馆的学生共有多少名．24．（8分）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．25．（10分）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；（2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？26．（10分）在⊙O中弦AB，CD相交于点E，AE＝CE，连接AC，BD．（1）如图1，求证：AC∥BD；（2）如图2，连接EO并延长交BD于点F，求证：∠BEF＝∠DEF；（3）如图3，在（2）的条件下，作OM⊥CD于点M，连接AD，点G在BF上，连接EG，点H在弧AD上，连接BH交AD于点T，交EG于点Q，连接TE，若DE﹣CM＝OE，＝，∠DGE＝2∠BAD，FG＝2，AC＝8，求TQ的长．27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点O（0，0），与x轴正半轴交于点A，点A坐标（3，0）．（1）求b．c的值；（2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA，PO，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，t＝﹣2，点D在OA上，DF⊥OA，交PA于点C，CF＝CD，点E在第二象限，连接EC，EC⊥CD，连接ED，过点E作ED的垂线，交过点F且平行AC的直线于点G，连接DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交EC的延长线于点B，交DG的延长线于点R，CM＝RB，连接RE并延长交抛物线于点N，RA＝RN，点T在△ADM内，连接AT，CT，∠ATC＝135°，DH⊥AT，交AT的延长线于点H，HT＝2DH，求直线CT的解析式．

2024年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）﹣的相反数为（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．【解答】解：﹣的相反数是．故选：B．【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．2．（3分）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．图形既是轴对称图形又是中心对称图形形，故此选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．（3分）2020年11月10日，中国万米载人潜水器“奋斗者号”在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达10909m．将10909用科学记数法表示为（）A．1.0909×104 B．10.909×103 C．109.09×102 D．0.10909×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：10909用科学记数法可以表示：1.0909×104．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A． B． C． D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看，是一列两个相邻的正方形．故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．5．（3分）方程的解是（）A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x＝7 D．x＝1【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【解答】解：原方程去分母得：x+2＝3（x﹣4），整理得：x+2＝3x﹣12，解得：x＝7，检验：当x＝7时，（x+2）（x﹣4）≠0，故原方程的解为x＝7，故选：C．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．6．（3分）二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】依据题意，由y＝2（x+1）2+3，从而可以判断得解．【解答】解：由题意，∵y＝2（x+1）2+3，∴当x＝﹣1时，y取最小值为3．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．7．（3分）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（）A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚【分析】根据题意得第1，2，3个图形中棋子的个数，据此得到其余图形中棋子的总数与边数的关系即可．【解答】解：第1个图棋子个数为4；第2个图棋子个数为2×4＝8；第3个图棋子个数为3×4＝12；因此：第四个图的棋子个数为4×4＝16；第五个图棋子个数为5×4＝20．故选：B．【点评】本题考查图形的变化规律；找到棋子总数与正方形的边数4及每边上的棋子的个数的关系是解决本题的关键．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC的长为（）A．6 B．3 C．5 D．9【分析】根据平行线分线段成比例即可解答．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD，∴AD∥EF∥BC，∴，即，解得FC＝6，故选：A．【点评】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，若∠B＝50°，则∠DAC＝（）A．20° B．50° C．30° D．80°【分析】由题意，得到DM是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，得到DA＝DB，得到等腰三角形DAB的两底角相等，再利用等腰三角形ABC得到∠C的度数，从而得到结果．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∵分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，∴DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝50°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣50°＝30°．故选：C．【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形性质的应用，关键是由题意得到DM是线段AB的垂直平分线，从而得到等腰三角形，利用等边对等角，结合条件，得到结果．10．（3分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，当x＝9min时，y＝（）A．36L B．38L C．40L D．42L【分析】依据题意，先求出5≤x≤15时的函数关系式，然后将x＝9代入计算可以得解．【解答】解：设当5≤x≤15时的直线方程为：y＝kx+b（k≠0）．∵图象过（5，30）、（15，50），∴．∴．∴y＝2x+20．令x＝9，∴y＝2×9+20＝38．故选：B．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠5．【分析】根据反比例函数分母不为0求解即可．【解答】解：∵y＝，∴x﹣5≠0，故答案为：x≠5．【点评】本题考查了反比例函数自变量x的取值范围，掌握分母不为0是解题的关键．12．（3分）把多项式2a2﹣18分解因式的结果是2（a+3）（a﹣3）．【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：原式＝2（a2﹣9）＝2（a+3）（a﹣3），故答案为：2（a+3）（a﹣3）．【点评】本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．13．（3分）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA＝40°，则∠AOB＝50度．【分析】由直线l是圆O的切线，切点是点A，且点B在直线l上得AB⊥OA，则∠OAB＝90°，而∠OBA＝40°，根据直角三角形的两个锐角互余即可求出∠AOB的度数，得到问题的答案．【解答】解：∵直线l是圆O的切线，切点是点A，且点B在直线l上，∴AB⊥OA，∴∠OAB＝90°，∵∠OBA＝40°，∴∠AOB＝90°﹣∠OBA＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50．【点评】此题考查圆的切线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，根据切线的性质定理证明AB⊥OA是解题的关键．14．（3分）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其它差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是．【分析】从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果，再根据概率公式求解即可．【解答】解：∵从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果，∴从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．15．（3分）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U＝36V．【分析】根据题意，先列出反比例函数解析式I＝，根据函数图象过（9，4）代入计算出U值即可．【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，∴I＝．由图象可知，当R＝9时，I＝4，∴U＝I•R＝4×9＝36（v）．答：蓄电池的电压是36v．故答案为：36．【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．16．（3分）不等式组的解集是1＜x＜3．【分析】依据题意，根据解不等式组的一般方法，先分别解出不等式的解集再找出公共部分，从而可以判断得解．【解答】解：，由①得，x＞1，由②得，x＜3，∴原不等式组的解集为：1＜x＜3．故答案为：1＜x＜3．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．17．（3分）若90°圆心角所对的弧长是3πcm，则此弧所在圆的半径是6cm．【分析】根据弧长公式求解即可．【解答】解：∵l＝，∴r＝＝＝6（cm），故答案为：6cm．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l＝．18．（3分）定义新运算：a※b＝ab+b2，则（2m）※m的运算结果是3m2．【分析】根据新定义运算法则：（2m）※m＝2m•m+m2，再根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则计算即可．【解答】解：∵a※b＝ab+b2，∴（2m）※m＝2m•m+m2＝2m2+m2＝3m2．故答案为：3m2．【点评】本题考查了整式的混合运算以及有理数的混合运算，掌握新定义运算的法则是解题的关键．19．（3分）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°，则AC的长为2或．【分析】分若∠A＝90°，若∠C＝90°求解即可．【解答】解：若∠A＝90°，则AC＝＝2；若∠C＝90°，则AC＝AB＝．【点评】本题主要考查了三角函数的定义，解题关键是分类讨论．20．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG＝∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE＝，则DF的长为．【分析】连接CE，设EF＝x，证△DOE∽△CEG，得出成比例线段，求出EF，即可．【解答】解：连接CE，设EF＝x，在矩形ABCD中，OA＝OC＝OD＝OB，则∠OBC＝∠OCB，∠AOB＝∠COD＝∠OBC+∠OCB＝2∠DBC，∵E是DG中点，∴OE∥BC，∴∠DOE＝∠DBC＝，EF＝，∠G＝∠OED，∵∠DCG＝90°，∴DE＝CE＝EG，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠CEG＝∠EDC+∠ECD，∵∠CDG＝∠AOB，∴，∴∠CEG＝∠DOE，∴△DOE∽△CEG，∴，∵AO＝6EF＝OD，DE＝，∴，∴EF＝1，∴．【点评】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造相似三角形是关键．三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°．【分析】依据题意，先化简分式，然后化简x后代入计算可以得解．【解答】解：由题意，原式＝•﹣•＝﹣＝＝＝．又x＝2cos30°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣1，∴原式＝＝．【点评】本题主要考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），连接AD，BC，画出线段CD，AD，BC；（2）在方格纸中，画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形AED（点E在小正方形的顶点上），且∠BAE为钝角，AD，BC交于点O，连接OE，画出线段OE，直接写出的值．【分析】（1）在图形中直接作图即可；（2）每个小正方形的边长均为1个单位长度，结合平移，得到相应线段的长度，从而得到结果．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：得到．∵每个小正方形的边长均为1个单位长度，∴等腰直角三角形EAD中，AD＝＝，∵O是平行四边形ABDC对角线的交点，∴DO＝，在Rt△EOD中，ED＝＝，∴EO＝＝＝＝，∴．【点评】本题考查了平移变换，画图，涉及到平行四边形，等腰直角三角形的性质的应用，关键是能够利用小正方形格子的边长，求出OE，AD的长度，得到结果．23．（8分）威杰中学开展以“我最喜欢的研学地点”为主题的调查活动，围绕“在科技馆、规划馆、博物馆、航天馆四个研学地点中，你最喜欢哪一个地点？（必选且只选一个地点）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢航天馆的学生人数占所调查人数的20%，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）通过计算补全条形统计图；（3）若威杰中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢科技馆的学生共有多少名．【分析】（1）根据最喜欢航天馆的学生人数除以所占的百分比，即可求出调查总人数；（2）用总人数减去其它三个地点的人数，求出喜欢规划馆的人数，即可求出答案；（3）用全校总学生数乘样本中最喜欢科技馆的学生所占的百分比，即可求出答案．【解答】解：（1）8÷20%＝40（名），答：在这次调查中，一共抽取了40名学生；（2）喜欢规划馆的人数为：40﹣14﹣10﹣8＝8（名），补全条形统计图如下：（3）800×＝280（名），答：估计该中学最喜欢科技馆的学生共有280名．【点评】本题考查的是条形统计图以及用样本估计总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．24．（8分）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．【分析】（1）利用菱形的判定定理解答即可；（2）利用菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一的性质，等腰三角形的判定定理和等腰直角三角形的判定定理解答即可．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，在△ADO和△CBO中，，∴△ADO≌△CBO（AAS），∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：与线段CE相等的线段有：AE，DE，AG，CF．理由：由（1）知：四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，∴△ABC和△ADC为等边三角形，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，即CH为AD的垂直平分线，∴AE＝DE．同理：CE＝AE，∴AE＝DE＝EC．∵△ADC为等边三角形，CH⊥AD，∴∠ACH＝∠ACD＝30°，∵∠FEC＝75°，∴∠EFC＝180°﹣∠ACH＝∠FEC＝75°，∴∠EFC＝∠FEC，∴CF＝CE．∵△ABC和△ADC为等边三角形，∴∠BAC＝∠CAD＝60°，∵CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ECA＝120°，∴∠AEG＝∠AEC﹣∠FEC＝45°，∴△AGE为等腰直角三角形，∴AE＝AG，∴AG＝EC．【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，平行线的性质，全是三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等边三角形的判定与性质等腰三角形的三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．25．（10分）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；（2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？【分析】（1）设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，根据若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）该中学编织m个大号中国结，则编织（50﹣m）个小号中国结，根据两种中国结所用绳长不超过165米，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，由题意得：，解得：，答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米；（2）该中学编织m个大号中国结，则编织（50﹣m）个小号中国结，由题意得：4m+3（50﹣m）≤165，解得：m≤15，答：该中学最多编织15个大号中国结．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．26．（10分）在⊙O中弦AB，CD相交于点E，AE＝CE，连接AC，BD．（1）如图1，求证：AC∥BD；（2）如图2，连接EO并延长交BD于点F，求证：∠BEF＝∠DEF；（3）如图3，在（2）的条件下，作OM⊥CD于点M，连接AD，点G在BF上，连接EG，点H在弧AD上，连接BH交AD于点T，交EG于点Q，连接TE，若DE﹣CM＝OE，＝，∠DGE＝2∠BAD，FG＝2，AC＝8，求TQ的长．【分析】（1）可得出∠A＝∠C，∠C＝∠B，从而∠A＝∠B，从而AC∥BD；（2）连接OD，OB，可证得△DOE≌△BOE，从而得出∠BEF＝∠DEF；（3）作AD的垂直平分线，交AB于W，连接AH，作BV⊥CD于V，作QS⊥BD于S，可得出AW＝DW，∠DEF＝30°，△BED是等边三角形，进而证得△BDW≌△BEG，从而得出DW＝EG，BW＝DG，EW＝BG，同理可得，△ACE是等边三角形，AE＝AC＝8，设EW＝BG＝a，则AW＝a+8，BF＝BG+FG＝a+2，BE＝BD＝2BF＝2a+4，EF＝BE＝（a+2），根据DW＝AW得，3（a+2）2+4＝（a+8）2，从而求得a＝8，从而得出BD＝2a+4＝16，可证得点E、T、D、B共圆，从而得出∠BTD＝∠DEB＝60°，∠BTE＝∠BDE＝60°，∠AET＝∠ADB，∠ATE＝∠EBD＝60°，可证得△AHT≌△AET，∠HAT＝∠EAT，进而证得△ADH≌△ADE，从而得出DH＝DE＝BD＝16，解△BDC得出tan∠BCD＝＝，sin∠BCD＝，cos∠BCD＝，解△BQG，可求得QG＝6，进而证得△ATE≌△QTE，从而得出AT＝QT，解△ATE得出结果．【解答】（1）证明：∵AE＝CE，∴∠A＝∠C，∵，∴∠C＝∠B，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD；（2）证明：如图1，连接OD，OB，由（1）知，AC∥BD，∠C＝∠EBD，∴∠EDB＝∠C＝∠EBD，∴DE＝BE，∵OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠BEF＝∠DEF；（3）解：如图2，作AD的垂直平分线，交AB于W，连接AH，作BV⊥CD于V，作QS⊥BD于S，∴AW＝DW，∴∠BAD＝∠ADW，∴∠BWD＝∠BAD+∠ADW＝2∠BAD，∵∠DGE＝2∠BAD，∴∠DWB＝∠DGE，∵OM⊥CD，∴DM＝CM，∵DE﹣CM＝OE，∴DE﹣CM＝DE﹣DM＝EM＝OE，∴∠DEF＝30°，由（2）知，∠BEF＝∠DEF＝30°，DE＝BE，∴∠DEB＝60°，∴△BED是等边三角形，∴DE＝BD，∠BDE＝∠EBD＝60°，∴△BDW≌△BEG（AAS），∴DW＝EG，BW＝DG，∴EW＝BG，同理可得，△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝8，设EW＝BG＝a，则AW＝a+8，BF＝BG+FG＝a+2，∴BE＝BD＝2BF＝2a+4，∴EF＝BE＝（a+2），∴DW2＝EG2＝EF2+FG2＝3（a+2）2+4，由DW＝AW得，3（a+2）2+4＝（a+8）2，∴a1＝6，a2＝﹣4（舍去），∴BD＝2a+4＝16，∵，∴∠ABH＝∠ADC，∠ADC＝∠ADH，∴点E、T、D、B共圆，∴∠BTD＝∠DEB＝60°，∠BTE＝∠BDE＝60°，∠AET＝∠ADB，∠ATE＝∠EBD＝60°，∵，∴∠ADB＝∠AHB，∴∠AHB＝∠AET，∵∠ATH＝∠BTD＝60°，∴∠ATH＝∠ATE，∵AT＝AT，∴△AHT≌△AET（AAS），∴∠HAT＝∠EAT，∵AD＝AD，∴△ADH≌△ADE（ASA），∴DH＝DE＝BD＝16，在Rt△BDV中，BD＝16，∠BDE＝60°，∴DV＝16•cos60°＝8，BV＝16•sin60°＝8，∴CV＝CD﹣DV＝24﹣8＝16，∴tan∠BCD＝＝，∴sin∠BCD＝，cos∠BCD＝，在Rt△EFG中，tan∠EGF＝，设QS＝4m，SG＝m，则BS＝BG+SG＝6+m，QG＝，在Rt△QBS中，tan∠DBH＝tan∠BHD＝tan∠BCD＝，∴，∴m＝，∴QG＝7m＝6，∴BG＝QG＝6，∴∠DBH＝∠BQG，∵∠EQT＝∠BQG，∠DBH＝∠BHD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠EQT，∵∠ATE＝∠BTE＝60°，ET＝ET，∴△ATE≌△QTE（ASA），∴AT＝QT，在Rt△AEN中，EN＝AE•sin∠BAD＝8×＝，AN＝AE•cos∠BAD＝8×＝，在Rt△ETN中，EN＝，∠TEN＝90°﹣∠ATE＝30°，∴NT＝＝，∴QT＝AT＝AN+NT＝．【点评】本题考查了圆周角定理，圆的弧、弦、圆周角之间的关系，确定圆的条件，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点O（0，0），与x轴正半轴交于点A，点A坐标（3，0）．（1）求b．c的值；（2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA，PO，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，t＝﹣2，点D在OA上，DF⊥OA，交PA于点C，CF＝CD，点E在第二象限，连接EC，EC⊥CD，连接ED，过点E作ED的垂线，交过点F且平行AC的直线于点G，连接DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交EC的延长线于点B，交DG的延长线于点R，CM＝RB，连接RE并延长交抛物线于点N，RA＝RN，点T在△ADM内，连接AT，CT，∠ATC＝135°，DH⊥AT，交AT的延长线于点H，HT＝2DH，求直线CT的解析式．【分析】（1）将点O和点A坐标代入抛物线的解析式，进而求得结果；（2）OA＝3，表示出处P点纵坐标，进而得出结果；（3）作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于S，延长BE，交SN于Q，可得出∠PAJ＝45°，进而得出△ACD是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，可推出点F、G、B共线，进而得出点G、E、D、B共圆，进而推出△DEG是等腰直角三角形，可证得△EGV≌△DEG，从而得出EV＝CD，CE＝GV，设CM＝x，WI＝a，从而得出WM＝CW＝x，RB＝3x，根据△MWI∽△RBI，可得出＝，从而得出BI＝3WI＝3a，从而表示出AB＝BC＝CW+WI+BI＝x+4a，根据△RBI∽△RAD得出，即得出，从而得出x＝2a，从而得出正方形的边长BC＝AB＝x+4a＝6a，RB＝3x＝6a，根据△GFD∽△GBR得出，从而BG＝BF＝2，进而得出GV＝BV＝BG＝2a，CE＝GV＝2a，BE＝BC+CE＝6a+2a＝8a，ER＝，进而得出CE＝EN＝2a，作IK⊥RN于K，根据S△RBE＝S△RBI+S△RIE得，从而得出IK＝3a，从而得出∠NRD＝∠ARD，进而证得△ARD≌△NRD（SAS），从而得出∠RND＝∠RAD＝90°，进而证得Rt△DCE≌Rt△DNE，从而DN＝CD＝6a，根据△EQN∽△NEO得出，从而得出NS＝3EQ，QN＝DS，设N（x，y），可得出NS＝3（3﹣8a﹣x），NQ＝（3﹣6a﹣x），进而得出3（3﹣8a﹣x）+（3﹣6a﹣x）＝6a，从而x＝3﹣，y＝NS＝3（3﹣8a﹣x）＝a，进而得出a，求得a＝，进而得出C（，）；延长DH，交CT于X，作DL⊥CT于L，交AH于Z，设CT交x轴于Y，可推出DH＝HZ，设HZ＝DH＝m，则XH＝DH＝2m，DZ＝DH＝，可证得△ADZ≌△CDX，从而CX＝DZ＝，DL＝XL＝，CL＝CX+XL＝＝，根据tan∠DCL＝＝得出DY＝，从而得出Y（2，0），进一步得出结果．【解答】解：（1）将点O（0，0）和点A（3，0）代入抛物线y＝x2+bx+c得，，∴，∴；（2）S＝yP＝＝；（3）如图1，作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于S，延长BE，交SN于Q，则∠Q＝∠NSD＝∠MWC＝∠MWB＝∠RBC＝90°，把t＝﹣2代入y＝得，y＝，∵AJ＝3