4.1 数列的概念（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育4.1数列的概念（基础知识+基本题型）知识点一数列的概念1．数列及其有关概念（1）数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列.（2）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第项，….2．数列的表示数列的一般形式可以写成，，，…，，…，简记为，这里是正整数.提示（1）数列中的数是按一定顺序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就不是相同的数列.例如，数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是两个不同的数列.（2）数列的定义并没有规定数列中的数必须不同，因此同一个数在数列中可以重复出现.例如，1，－1，1，－1，1，…；与2，2，2，2，2，…. （3）数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号.我们还应注意到，这里与是不同的；表示数列，，，…，，…，而只表示这个数列的第项.这里是数列的简记符号，并不表示一个集合.拓展（1）数列的项与集合中的元素的区别：数列中的项具有确定性，有序性，可重复性，不具有互异性；集合中的元素具有确定性，无序性，互异性.（2）数列可以看成以正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，}）为定义域的函数.当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.反过来，对于函数，如果（1，2，3，…，，…）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，….知识点二数列的分类1．按项的个数分类类别含义举例有穷数列项数有限的数列1，2，3，…，无穷数列项数无限的数列－1，1，－1，1，…，－1，1，…2．按项的变化趋势分类类别含义举例递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列2，4，6，8，10，…，，…递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，，，，…，，…常数列各项都相等的数列7，7，7，7，…摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列－1，2，－3，4，－5，…拓展数列作为一类特殊的函数，其某些性质可借助函数性质的判断方法来判断.用，分别表示数列的第项和第项，数列的单调性可从下列几方面判断：（1）根据定义判断：若，则是递增数列；若，则是递减数列.（2）作商比较：前提条件是各项均为正数，即当时，若（或），则数列是递减（或递增）数列.（3）根据数列的图象判断：图象上升为递增数列，图象下降为递减数列.知识点三数列的通项公式如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.提示（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集{1，2，3，…，}为定义域的函数表达式.（2）如果给出了数列的通项公式，那么只要依次用.例如，1，－1，1，－1，1，…；与2，2，2，2，2，….（3）不是所有的数列都有通项公式.例如的不同近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式.（4）有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.例如，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成.知识点四数列的递推公式如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）（，）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.提示（1）不是所有的数列都有递推公式.（2）递推公式也是给出数列的一种重要形式.递推公式和通项公式都是关于项数的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换，就可以求出数列的各项.（3）递推公式通过赋值可以逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项或所需的项.（4）运用递推法给出数列，可以揭示数列的一些性质，但不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，如具有周期性的数列.拓展（1）通项公式与递推公式的区别与联系区别联系通项公式项是序号的函数式都可以确定数列递推公式已知（或前几项）及相邻（几）项间的关系式（2）数列的通项公式与递推公式的作用①数列的通项公式是给出数列的主要形式.如果已知数列的通项公式，那么只要用1，2，3，…代换公式中的，就可以求出这个数列的各项与指定项.另外，根据通项公式，结合函数的性质，可以进一步探讨数列的增减性，数列的项的最大值或最小值.②数列的递推公式是给出数列的另一重要形式.一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项.知识点五数列的前项与通项的关系数列的前项和，由此可知，当，且时，，所以，即；当时，，即为数列的首项．因此，如果已知数列的前项和的公式，那么这个数列是确定的，并且．◢警示◣（1）与的关系式的条件是，且，因为当时，无意义；（2）由求出，若当时，也适合“通项公式”，则数列的通项公式可用来表示；若当时，时，不适合“通项公式”，则数列的通项公式应用分段函数来表示，即．（3）若用求数列的通项公式，虽然不用分与两种情况讨论，但此时不包括数列的首项，所以仍需对验证，来确定通项公式是“可合写”还是“需分写”．考点一由数列的通项公式来求指定项例1根据数列的通项公式，分别写出其前4项与第10项.（1）；（2）.解：（1），，，，.（2）因为.所以，，，，.由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意1，2，3，….如果数列的通项公式较为复杂，那么应考虑先化简再求值.考点二数列的前几项求数列的通项公式例2写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数：（1）3，5，9，17，33，…；（2），，，，…；（3）5，55，555，5555，…；（4），－1，，，，…；（5）0，，，，….分析：先将数列中的数进行适当分解转化，再结合数列中各项的项数，将规律表示成式子即可.解：（1）数列的前几项可记为，，，，…，所以该数列的一个通项公式为（）.（2）数列的整数部分1，2，3，4，…，，…恰好是序号，分数部分，，，，…与序号的关系为，所以该数列的一个通项公式为（）.（3）将原数列改写为，，，，…，易知数列9，99，999，9999，…的一个通项公式为，所以该数列的一个通项公式为（）.（4）数列的偶数项为负数，奇数项为正数，故通项公式必含有因式.第2项－1改写成后，该数列各项分母依次为3，5，7，9，11，…，与序号的关系可记为.而各项分子依次为2，5，10，17，26，…，与序号的关系可记为，所以该数列的一个通项公式为（）.（5）因为，，，所以该数列的一个通项公式为（）.总结：根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律.解决这类问题一定要注意观察项与序号的关系和相邻项间的关系，具体可参考以下几个思路：（1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等，再找规律.（2）分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式.（3）对于正、负号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或（）来处理.（4）对于周期性出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式或者利用周期函数，如三角函数求通项公式.考点三由数列的递推公式求通项公式例3已知数列，，以后各项由（）给出.（1）写出数列的前5项；（2）求数列的通项公式.分析：（1）根据的值及递推公式，可以写出数列的前5项；（2）结合与的关系式，利用累加法可以求出通项公式.解：（1），，，，.（2）由，得，故（）.由数列的递推公式求通项公式是数列的重要题型之一，是高考考查的热点.累加法、累乘法和迭代法是解决这类问题的常用技巧.例4已知数列，，，写出数列的前5项，猜想，并加以证明.解：由，，得，，，，……猜想（）.证明如下：方法1（累乘法）：由，，得，故（）.方法2（迭代法）：由，得，，…，，，所以（）.由形如（）的数列的递推公式求通项公式时，通常用累乘法或迭代法，形成函数的运动变化的观点，不断地变换递推公式中的“下标”，最终可以利用首项或前几项使问题得以解决.考点四数列的函数性质例5已知函数，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是递减数列.分析：先建立关于的一元二次方程，通过解方程得到数列的通项公式，再证明，即可说明是递减数列.解：（1）因为，，所以，即，所以，解得