专题九 立体几何【中职专用】2025春季对口高考数学专题复习（河南适用）（解析版）

专题九立体几何【中职专用】2025春季对口高考数学专题复习（河南适用）1、（2023年河南对口高考）已知圆柱的底面半径为4，高为2，则圆柱的全面积为______．【答案】【分析】根据题意求出圆柱的底面积和侧面积，进而求解答案.【解析】根据圆柱的底面半径为4，高为2，则圆柱的底面面积，则圆柱的侧面积，故圆柱的全面积.故答案为:.2、（2023年河南对口高考）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面.【答案】证明见解析.【解析】证明：取中点，连，因为是中点，所以，因为在中，且，因为是中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.3、（2024年河南对口高考）一个圆柱的侧面积为，高为8，则该圆柱体的体积为_________【答案】【分析】根据圆柱的侧面积公式求出底面的半径，应用圆柱的体积公式求出结果.【解析】设圆柱底面的圆的半径为,母线为,则由题意可得,又,所以,所以,故答案为：4、（2024年河南对口高考）如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：．【答案】证明见解析【分析】通过三角形的中位线和正方体的特征证明平面，即可证明；【解析】证明：连接，，如图，因为，是正方形的对角线，所以，又分别是中点，所以，，又平面，平面，所以因为平面，平面，所以平面，又平面，所以.5、（2022年河南对口高考）在空间中，以下说法正确的是（）A.若，，则B.平行于同一平面的两条直线平行C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】D【解析】A选项，若，，则与不一定垂直，A不正确；B选项，平行于同一平面的两条直线不一定平行，B不正确；C选项，过直线外一点不一定有且只有一条直线与已知直线垂直；C不正确；D选项，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，D正确，故选：D.6、（2022年河南对口高考）圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥体积为__________.【答案】【解析】设轴截面的边长为，由三角形的面积公式可得：，，即圆锥的底面直径为12，则半径为6，圆锥的高为：，所以圆锥的体积为；，故答案为：.7、（2022年河南对口高考）如图1所示，是圆的一条直径，垂直于圆所在的平面，是圆上不同于、的任意一点，求证：平面平面.【答案】证明见解析【解析】证明：∵是圆的一条直径，是圆上不同于、的任意一点，∴是直角，即， 又垂直于圆所在的平面，∴ 从而平面，故平面平面. 8、（2021年河南对口高考）圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为.【答案】【解析】由题知圆柱的底面半径为1，高为2，所以，，故答案为：.9、（2021年河南对口高考）如图，已知直三棱柱中，侧面是边长为4的正方形，，，求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：在直三棱柱中，，∵，∴，∵，，，所以三边符合勾股定理，，因为，，∴，得证.10、（2020年河南对口）若长方体的长、宽、高分别为，，，则其对角线长为．【答案】【解析】根据长方体的体对角线长可知，该长方体的对角线长为：，故答案为：，11、（2020年河南对口高考）已知直四棱柱中，底面中，，，，且.求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：在底面中，，，∴，又∵，，所以，故，∵四棱柱为直棱柱，所以，又∵，，∴，∵，∴.12、（2019年河南对口高考）三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，侧棱垂直于底面，E,F分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（ ） B.C. D.【答案】C【解析】取中点M，连接EM，FM，则FM∥，则即为直线与所成角，，，，，所以，故选：C.13、（2019年河南对口高考）已知正三棱锥的侧棱和底面边长都为1，则它的体积为.【答案】【解析】正三棱锥的顶点在底面的投影为底面三角形的中心，底面三角形的高为：，三角形的重心分中线为2：1的关系，所以底面三角形重心到顶点的距离为，所以三棱锥的高为：，又因为底面三角形的面积为：，所以该正三棱锥的体积为：，故答案为：.14、（2019年河南对口高考）已知矩形，点为平面外一点，,且.求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：在矩形中，∵，，，，∴，∵，∴，∵，，，∴，又∵，∴.15、（2018年河南对口高考）下列命题中，错误的是（）A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D.若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面【答案】C【解析】若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线不一定互相平行，所以C选项错误，故选：C.16、（2018年河南对口高考）如图，在四棱锥中，是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点.（1）证明：∥平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：∵，分别是，的中点，∴，∵，，所以∥平面.（2）∵是的中点，∴点P到底面ABCD的高是点E到底面ABCD的高的2倍，，，所以.17、（2018年河南对口）若圆锥的底面面积为，母线长为2，则该圆锥的体积为.【答案】【解析】圆锥的底面面积为，则底面半径r=1，由勾股定理可得：，所以圆锥的体积为，故答案为：.18、（2017年河南对口高考）将一个球的体积扩大到原来的2倍，则它的半径为原来的_______倍.【答案】【解析】设原来球的半径为，现在球的半径为，由得，故答案为：.19、（2017年河南对口高考）如图，正方体的棱长为1.（1）求所成的角；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）∵，所以即为所成的角，因为，所以.（2）.20、（2017年河南对口）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】见解析【解析】证明：（1）连接交于点，连接，∵底面是菱形，∴为的中点，∵点为的中点，∴，∵平面，且平面，∴平面.（2）∵底面是菱形，∴，∵平面，∴，∵，∴平面，平面，∴.21、（2016年河南对口高考）将正方形沿对角线折成直二面角后，.【答案】【解析】设正方形对角线的焦点为O，边长为2，根据直二面角的性质知，折起后DB=2，又因为DA=DB=2，所以为等边三角形，故.故答案为：.22、（2016年河南对口高考）在空间中垂直于同一条直线的两条直线一定是（ ）A.平行 B．相交C．异面 D．前三种情况都有可能【答案】D【解析】在空间中垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能平行，也可能异面，故选：D.23、（2016年河南对口高考）在正方体CD111中（如下图所示，求证：直线.【答案】证明见解析【解析】证明：在正方体CD111中，∵，，，，∴.24、（2015年河南对口高考）垂直于同一个平面的两个平面（）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．前三种情况都有可能【答案】D【解析】垂直于同一个平面的两个平面有可能互相垂直，也有可能互相平行，也有可能相交，故选：D.25、（2015年河南对口）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（）A． B．2