高考物理(热点+题型全突破)专题4.6-竖直面内的圆周运动问题(含解析)

PAGEPAGE1专题4.6竖直面内的圆周运动问题1.轻绳模型绳或光滑圆轨道的内侧，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时均没有物体支撑着小球。下面讨论小球(质量为m)在竖直平面内做圆周运动(半径为R)通过最高点时的情况：(1)临界条件小球到达最高点时受到绳子的拉力恰好等于零，这时小球做圆周运动所需要的向心力仅由小球的重力来提供。根据牛顿第二定律得，mg＝meq\f(v\o\al(2,临界),R)，即v临界＝eq\r(Rg).这个速度可理解为小球恰好通过最高点或恰好通不过最高点时的速度，也可认为是小球通过最高点时的最小速度，通常叫临界速度。(2)小球能通过最高点的条件：当v>eq\r(Rg)时，小球能通过最高点，这时绳子对球有作用力，为拉力。当v＝eq\r(Rg)时，小球刚好能通过最高点，此时绳子对球不产生作用力。(3)小球不能通过最高点的条件：当v<eq\r(Rg)时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了轨道。（如图）2.轻杆模型杆和光滑管道，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时有物体支撑着小球。下面讨论小球(质量为m)在竖直平面内做圆周运动(半径为R)通过最高点时的情况：(1)临界条件由于硬杆的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度是：v临界＝0。此时，硬杆对物体的支持力恰等于小球的重力mg。(2)如上图所示的小球通过最高点时，硬杆对小球的弹力情况为：当v＝0时，硬杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN＝mg.当0<v<eq\r(Rg)时，杆对小球的支持力竖直向上，大小随速度的增加而减小，其取值范围为0<FN<mg.当v＝eq\r(Rg)时，FN＝0.这时小球的重力恰好提供小球做圆周运动的向心力。当v>eq\r(Rg)时，硬杆对小球有指向圆心(即方向向下)的拉力，其大小随速度的增大而增大。3.两种模型分析比较如下：轻绳模型轻杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg＝meq\f(v2,r)得v临＝eq\r(gr)由小球恰能做圆周运动即得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥eq\r(gr)，FN＋mg＝meq\f(v2,r)，绳、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点v＜eq\r(gr)，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0＜v＜eq\r(gr)时，－FN＋mg＝meq\f(v2,r)，FN背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝eq\r(gr)时，FN＝0(4)当v＞eq\r(gr)时，FN＋mg＝meq\f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大4.分析物体在竖直平面内做圆周运动时的易错易混点（1）绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能有支撑力，而杆可有支撑力。（2）对杆模型，在最高点有时不知是支撑力或拉力，此时可用假设法，然后根据结果的正负再确定。（3）解答竖直平面内的圆周运动时，首先要搞清楚是什么模型，对不同模型的临界条件分析受力，找到向心力的来源。5.竖直面内圆周运动的求解思路【典例探究】1.轻绳模型【典例1】如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球。现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L(1)求小球通过最高点A时的速度vA；(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力FT恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间细线断裂，求小球的落地点到C点的距离。【答案】：(1)eq\r(gL)(2)3L【解析】：(1)若小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有mg＝meq\f(v\o\al(2,A),L)解得vA＝eq\r(gL)。【典例2】为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为θ＝60°，长为L1＝2eq\r(3)m的倾斜轨道AB，通过微小圆弧与长为L2＝eq\f(\r(3),2)m的水平轨道BC相连，然后在C处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道D，如图所示。现将一个小球从距A点高为h＝0.9m的水平台面上以一定的初速度v0水平弹出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与AB和BC间的动摩擦因数均为μ＝eq\f(\r(3),3)。g取10m/s2，求：(1)小球初速度v0的大小；(2)小球滑过C点时的速率vC；(3)要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件。【答案】(1)eq\r(6)m/s(2)3eq\r(6)m/s(3)0＜R≤1.08m【解析】(1)小球做平抛运动到达A点，由平抛运动规律知竖直方向有：veq\o\al(2,y)＝2gh，即：vy＝3eq\r(2)m/s因为在A点的速度恰好沿AB方向，所以小球初速度：v0＝vytan30°＝eq\r(6)m/s(2)从水平抛出到C点的过程中，由动能定理得：mg(h＋L1sinθ)－μmgL1cosθ－μmgL2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得：vC＝3eq\r(3)小球刚好能通过最高点时，由牛顿第二定律有：mg＝meq\f(v2,R1)小球做圆周运动过程中，由动能定理有：－2mgR1＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)解得：R1＝eq\f(veq\o\al(2,C),5g)＝1.08m当小球刚好能到达与圆心等高时有：mgR2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)解得：R2＝eq\f(veq\o\al(2,C),2g)＝2.7m当圆轨道与AB相切时：R3＝L2tan60°＝1.5m，即圆轨道的半径不能超过1.5m综上所述，要使小球不离开轨道，R应该满足的条件是：0＜R≤1.08m。2.轻杆模型【典例3】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A．小球的质量为eq\f(aR,b)B．当地的重力加速度大小为eq\f(R,b)C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等【答案】：ACD【典例4】如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是()A.小球通过最高点时的最小速度vmin＝eq\r(g（R＋r）)B.小球通过最高点时的最小速度vmin＝0C.小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力【答案】BC【针对训练】1.如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则()A．在最高点小球的速度水平，小球既不超重也不失重B．小球经过与圆心等高的位置时，处于超重状态C．盒子在最低点时对小球弹力大小等于2mg，方向向上D．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2πeq\r(\f(R,g))【答案】CD【解析】在最高点小球的加速度为g，处于完全失重状态，A错误；小球经过与圆心等高的位置时，竖直加速度为零，既不超重也不失重，B错误；在最高点有mg＝mv2r解得该盒子做匀速圆周运动的速度v＝eq\r(gR)该盒子做匀速圆周运动的周期为T＝eq\f(2πR,v)＝2πeq\r(\f(R,g))选项D正确；在最低点时，盒子与小球之间的作用力和小球重力的合力提供小球运动的向心力，由F－mg＝mv2r，解得F＝2mg，选项C正确。2.(多选)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(g＝10m/s2)()A.2m/sB.4m/sC.6m/sD.8m/s【答案】ACD3.(多选)如图所示，长为l的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球，在O点的正下方与O点相距eq\f(l,2)的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子；把小球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，当细绳碰到钉子的瞬间，下列说法正确的是()A．小球的线速度不发生突变B．小球的角速度不发生突变C．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍D．绳子对小球的拉力突然增大到原来的2倍【答案】AC4.在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示。为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮的转动角速度不能超过()A.eq\f(M＋m,mr)gB.eq\r(\f(M＋m,mr)g)C.eq\r(\f(M－m,mr)g)D.eq\r(\f(Mg,mr))【答案】B【解析】当重物转动到最高点时，对电动机的向上的拉力最大，要使电动机不从地面上跳起，电动机对重物的拉力的最大值为FT＝Mg；对重物来说，随飞轮一起做圆周运动，它的向心力是重力和飞轮对重物的拉力FT′的合力，FT′和FT是一对作用力和反作用力。由牛顿第二定律，得FT′＋mg＝mω2r，代入数值，解得ω＝eq\r(\f(M＋m,mr)g).5.用长L＝0.6m的绳系着装有m＝0.5kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。G＝10m/s2。求：(1)最高点水不流出