现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性

第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性非线性系统------------>线性系统

线性化处理第三章线性控制系统式的能控性和能观测性３.１能控性的概念３.２线性定常系统的能控性判据３.３线性定常系统的能观测性３.４离散系统的能控性与能观测性３.５时变系统的能控性与能观测性３.６能控规范型和能观测规范型３.７系统的能控性与能观测性的对偶原理３.8线性系统的结构分解３.9传递函数矩阵的实现３.10传递函数中零极点对消与能控性与能观测性的关系第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性3.1问题的提出--能控性的概念

经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出能控性和能观测性的概念。

第三章线性控制系统式的能控性和能观测性现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的，即用状态方程和输出方程来描述系统。状态方程描述输入u(t)引起状态x(t)的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出y(t)的变化。由此可知，状态空间描述从本质上提示了系统输入输出关系与内部结构的内在联系，这为深入研究系统内部结构提供了可能性。更为重要的是60年代初期卡尔曼提出了能控性和能观测性概念。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性能控性(Controllability)和能观性(Observability)正是定性地分别描述输入u(t)对状态x(t)的控制能力，输出y(t)对状态x(t)的反映能力。所谓能控性，是指外加控制作用u(t)对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。所谓能观测性，是指由系统的量测输出向量y(t)识别状态向量x(t)的测辨能力，它回答了能否通过y(t)的量测值来识别x(t)的问题。当给定了初始状态x(t0)以及控制作用u(t)后，系统在任何时刻的状态x(t)就唯一地确定下来。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性对于给定的系统，当外加控制及作用点确定之后，有些状态分量能受外加控制作用u(t)的控制，有些状态向量可能不受u(t)的控制。能受u(t)控制的状态称为能控状态，不受u(t)控制的状态称不能控状态。同样，对于给定的系统，有些状态能够通过输出y(t)确定下来，有些状态不能通过y(t)确定下来。能够通过y(t)而确定下来的状态称为能观状态，不能通过y(t)而确定下来的状态称为不能观状态。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入U(t)对系统内部状态X(t)的控制能力，另一种是控制输入U(t)对系统输出y(t)的控制能力。但是一般没有特别指明时，指的都是状态的能控。“输入能否控制状态的变化”——能控性“状态的变化能否由输出反映出来”——能观性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性能控性和能观测性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。在最优控制问题中，其任务是寻找输入u(t)

，使状态达到预期的轨线。就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入u(t)

，当然就无法实现最优控制。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。可是状态x(t)的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的y(t)中估计出状态x(t)

；如果输出y(t)不能完全反映系统的状态x(t)

，那么就无法实现对状态的估计。状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。判别系统的能控性和能观测性的主要依据就是状态空间表达式。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性

分析：上述动态方程写成方程组形式：【例】（1）第三章线性控制系统式的能控性和能观测性22u第三章线性控制系统式的能控性和能观测性从状态方程来看，输入u不能控制状态变量x1，所以状态变量x1是不能控的；从输出方程看，输出y不能反映状态变量x2

，所以状态变量x2是不能观测的。即状态变量x1不能控、可观测；状态变量x2能控、不可观测。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性（2）

分析：上述动态方程写成方程组形式：第三章线性控制系统式的能控性和能观测性由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状态变量x2的变化，所以系统是可观测的。即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、可观测。2u第三章线性控制系统式的能控性和能观测性3）

分析该系统的能控性及能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性

从状态方程看，输入u能对状态变量x1、x2施加影响，似乎该系统的所有状态变量都是能控的；从输出方程看，输出y能反映状态变量x1、x2的变化，似乎系统是可观测的。实际上，这个系统的两个状态变量既不是完全能控的，也不是完全可观测的。分析：上述动态方程写成方程组形式：第三章线性控制系统式的能控性和能观测性（1）状态的能控性——定义定义若存在输入信号，能在有限时间内，将系统的任意一个初始状态转移到终端状态，那么，称该系统的状态变量在时刻是完全能控的，或简称系统在时刻t0

是能控的。否则，系统就是不完全能控的，或简称不能控的。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性（2）输出能控性——定义若系统存在一个输入信号在有限时间内，能将输出量转到任意给定的输出则称系统在时刻是输出能控的。

第三章线性控制系统式的能控性和能观测性３.２线性定常连续系统的能控性一、线性定常连续系统状态能控性的定义定义3.1（状态能控性定义）：对于线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内，使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一终端状态x(tf)

，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性关于能控性定义的说明：（1）上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态，那么相平面上的P点是能控状态。假如能控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入u(t)，使得在有限时间间隔内，将此状态转移到状态空间中的任一指定状态，则该系统称为状态完全能控。PP3P1P2PnP40x1x2能控状态的图形说明第三章线性控制系统式的能控性和能观测性PP3P1P2PnP40x1x2能控状态的图形说明第三章线性控制系统式的能控性和能观测性二维系统状态转移过程如图所示系统能控。（2）在能控性定义中，把系统的初始状态取为状态空间中的任意有限点，而终端状态也规定为状态空间中的任意点，这种定义方式不便于写成解析形式。为了便于数学处理，而又不失一般性，我们把上面的能控性定义分两种情况叙述：第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性对于给定的线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在[t0,tf]有限时间间隔内，将系统由任意非零初始状态x(t0)转移到零状态x(tf)，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。①把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点，而终端目标规定为状态空间中的原点。于是原能控性定义可表述如下：任意初态零终态状态完全能控第三章线性控制系统式的能控性和能观测性②把系统的初始状态规定为状态空间的原点，即，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下：存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由零初始状态到任一指定的非零终端状态是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。对于给定的线性定常系统，如果转移，则称此系统任意初态零终态状态完全可达第三章线性控制系统式的能控性和能观测性，能否把任意初始对于线性定常系统，能控性和可达性是等价的；在以后对能控性的讨论中，均规定目标状态为状态空间中的原点，并且我们所关心的，只是是否存在某个分段连续的输入状态转移到零状态，并不要求算出具体的输入和状态轨线。注：线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的；离散系统、时变系统，严格地说两者是不等价的，有可能系统不完全可控却完全可达。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性二、线性定常连续系统状态能控性的判定直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性用能控标准型判断系统的能控性用对角标准型与约当标准型判断系统的能控性直接由传递函数判断系统的能控性只有少数简单的系统可以从结构图或信号流图直接判别系统的能控性与能观测性，如果系统结构、参数复杂，只能借助于数学方法进行分析与研究，才能得到正确的结论。线性定常连续系统状态能控性的判定方法第三章线性控制系统式的能控性和能观测性直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性定理：系统

状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵

满秩，即证：设系统为状态完全能控，则任意非零必为能控状态。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性其解为如果系统在上完全能控，则有

第三章线性控制系统式的能控性和能观测性令因u为r维向量，则也为r维向量。即第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性1）必要性已知系统完全能控，证明rankQc=n，由（1），（2）式可知，要使系统能控，即在的时间间隔内，使系统由任意给定的初始状态X(0)=X0

转移到状态空间原点的相应容许控制u(t)

存在，那么必须要求（2）式中的有一确定的解，这就要求能控性判别阵必须满足即：2）充分性：略。。。。。。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】已知某系统如下，试判断其是否能控。

解:

显然其秩为1，不满秩，故系统为不能控的。

第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】考察如下系统的能控性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性解：显然故系统的状态完全能控。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】试用能控性判据判断图3.1-1所示桥式电路的能控性图3.1-1电桥电路第三章线性控制系统式的能控性和能观测性。电路的状态方程如下：

解

选取状态变量：能控性矩阵为

S3

2=n，系统能控；反之当，即电桥处于平衡状态时，第三章线性控制系统式的能控性和能观测性

当时，rankS3系统不能控，显然，u不能控制x2。，第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】试用能控性判据判断图3.1-２所示并联网络的能控性图3.1-２并联网络第三章线性控制系统式的能控性和能观测性解：

网络的微分方程为

式中，

,状态方程为

实际上，设初始状态，u只能使，而不能将与分别转移到不同的数值，即不能同时控制住两个状态。当R1C1≠R2C2时，系统能控。当R1=R2,C1=C2，有R1C1=R2C2，，系统不能控；第三章线性控制系统式的能控性和能观测性于是第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】判断下列状态方程的能控性

解

显见S4矩阵的第二、三行元素绝对值相同，，系统不能控。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性故系统状态不完全能控。或由第三章线性控制系统式的能控性和能观测性2.用能控标准型判断系统的能控性

在研究状态空间表达式的建立问题时，曾得到单输入-单输出定常系统的状态方程如下：

第三章线性控制系统式的能控性和能观测性其能控性矩阵为与该状态方程对应的能控性矩阵是一个右下三角阵，且其副对角线元素均为1，系统一定是能控的。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性3.用对角标准型与约当标准型判断系统的能控性设系统具有两两相异的特征值则系统完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线规范形式1）对角标准型:中，不包含元素全为0的行。当A为对角阵且含有相同元素时，上述判据不适用，应根据能控性矩阵的秩来判断。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】判断下列系统的能控性1）2）完全能控状态不完全能控X2

状态不能控3）状态不完全能控第三章线性控制系统式的能控性和能观测性3）4）5）状态完全能控状态不完全能控X2状态不能控状态完全能控第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】判别下列系统的状态能控性。

解：在应用定理判别准时，应注意到“特征值互不相同”这个条件，如果特征值不是互不相同的，即对角阵应根据能控性矩阵的秩判据来判断。对于本题：

，系统不能控。中含有相同元素时，上述判据不适用。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性设系统具有重特征值，则系统状态完全能控的充分必要条件是，经非奇异变换后的约当规范形式为

其中与每个约当小块的最后一行相应的所有元素不完全为零。２）约当标准型：第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】考察如下系统的能控性状态完全能控当A阵的相同特征值分布在两个或更多个约当块时，例如，以上判据不适用，能控性矩阵的秩来判断。或者有以下判别方法应根据2）约当规范型系统（有重特征值）可控性判别当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是：由其导出的约当规范型中，中与同一特征值的各约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是行线性无关的。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性3）约当型：若系统矩阵A为约当型，则系统能控的充要条件是：输入矩阵B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零；输入矩阵B中与每个约当块最后一行相对应的各行，没有一个行的元素全为零第三章线性控制系统式的能控性和能观测性1）2）状态不完全能控X2状态不能控状态完全能控状态完全能控第三章线性控制系统式的能控性和能观测性4）3）状态完全能控状态不能控第三章线性控制系统式的能控性和能观测性4.直接由传递函数判断系统的能控性状态能控的条件也可用输入和状态矢量间的传递函数或传递矩阵描述。状态能控性的充要条件是在输入和状态矢量间的传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不能控。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】考虑下列传递函数：在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子（s+2.5）(因此少了一阶)。由于有相约因子，所以该系统状态不能控。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。状态方程为由于能控性矩阵的秩为1，状态不能控。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性３.１能控性的概念３.２线性定常系统的能控性判据３.３线性定常系统的能观测性３.４离散系统的能控性与能观测性３.５时变系统的能控性与能观测性３.６能控规范型和可观测规范型３.７系统的能控性与能观测性的对偶原理３.8线性系统的结构分解３.9传递函数矩阵的实现３.10传递函数中零极点对消与能控性与能控观测性的关系第三章线性控制系统式的能控性和能观测性3.3线性定常连续系统的能观测性控制系统大多采用反馈控制形式。在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态变量组合而成。但并非所有系统的状态变量在物理上都能测取到，于是便提出能否通过对输出的测量获得全部状态变量的信息，这便是系统的能观测问题。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性一、线性定常连续系统状态能观测性的定义定义

系统方程为：若对任意给定的输入u(t)，总能在有限的时间段[t0,tf]内，根据系统观测y(t)，能唯一地确定时刻t0的状态X(t0)，那么称系统在t0时刻是状态可观测的。若系统在所讨论时间段内每一时刻都能观测，则称是完全能观测的。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性系统状态状态的任意形式的运动均可由输出完全反映。含义：能观测性是研究状态和输出量的关系，即通过输出量在有限时间内的量测，能否把系统的状态识别出来。状态能观测第三章线性控制系统式的能控性和能观测性说明：1）在定义中之所以把能观测性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定输入，利用状态方程的解

就可以求出各个瞬间状态。

2）能观性表示的是输出y(t)反映状态矢量x(t)的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发即可，即第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性二、线性定常连续系统能观测性的判别准则

1、能观测性判别准则Ⅰ

，

线性定常连续系统可观测的充分必要条件是由A、C构成的能观测性判别矩阵其状态完全满秩，即第三章线性控制系统式的能控性和能观测性证明：1）必要性：已知系统完全能观测，求证满秩。输出可表示为：第三章线性控制系统式的能控性和能观测性由上式可见，要使系统能观测，即在时间间隔内，根据观测得到的y(t)而唯一确定X0，则必须要求满秩2）充分性略。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】系统动力学方程为

试判断能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性解：故此系统不是状态完全能观测的。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】设系统方框如图所示，试判断其能控性与能观测性解：系统方程为向量形式：第三章线性控制系统式的能控性和能观测性故系统状态完全能观测。故系统状态不完全能控。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】判别下列系统的能观测性

∴系统可观。解：第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】判别下面系统的能观测性，（2）（1），第三章线性控制系统式的能控性和能观测性解：（1），系统是不可观测的。系统是不可观测的。

，，（2），第三章线性控制系统式的能控性和能观测性2、能观测性判别准则Ⅱ设线性定常连续系统，A阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型中的矩阵中不含元素全为零的列。特别说明：当为对角阵但含有相同元素时，上述判据不适用，可根据能观测性判别矩阵的秩来判别。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】判别能观测性，解：系统可观测。解：系统不可观测。（1），（2）第三章线性控制系统式的能控性和能观测性（3）（4）解：系统不可观测。解：系统可观测。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性3、能观测性判别准则Ⅲ设线性定常连续系统具有重特征值，且每一个特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的约当标准型，A阵

，中的矩阵约当小块首列相对应的那些列的中与每个元素不全为零。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】判别能观测性，（2），，可观测，

（1）可观测。（3）（4）可观测不可观测第三章线性控制系统式的能控性和能观测性（5）系统状态可观测（6）状态不完全可观测不可观测第三章线性控制系统式的能控性和能观测性4、可观测标准型一个可观测系统，当A、C阵不具有可观测标准型时，可选择适当的变换化为可观测标准型。动态方程中，A、C阵具有如下形式，称为可观测标准型：第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性5、由传递函数判断能观性线性定常单输入——单输出系统，状态完全能观测的充分必要条件，其状态——输出的传递函数无相消因子，即无零极点相消现象。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】证明下列系统是不能观测的。式中解：由于能观测性矩阵第三章线性控制系统式的能控性和能观测性注意到即，故该系统是不能观测的。

事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。由于又Y(s)和X1(s)之间的传递函数为故Y(s)与U(s)之间的传递函数为X1(s)和U(s)之间的传递函数为第三章线性控制系统式的能控性和能观测性注释:

当且仅当系统是状态能控和能观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。分子、分母多项式中的因子（s+1）可以约去。这意味着，该系统是不能观测的，或者说一些不为零的初始状态x(0)不能由y(t)的量测值确定。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】己知某系统的状态方程为求对应的传递函数，并判断能控性与能观性。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性解：写成矩阵形式，得第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性3.4离散系统的能控性与能观测性一、线性离散定常系统的能控性判据1、能控性定义：如果对任意初态X(0)=X0，可找到一个容许控制u(k)，经过有限个采样周期使X(k)=0，则称此状态是完全能控的。2、能控性判据：离散定常系统,状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵满秩即第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】设离散系统的状态方程为

试分析能否找到控制作用，将初始状态转移到零状态。解：利用递推法：第三章线性控制系统式的能控性和能观测性为检验该系统能否在第一步由x(0)转移到零状态，对上式令x(1)=0，若能够解出u(0)，则表示在第一步上就可以把给定初始状态转移到零状态，且控制作用为u(0)。为此，令x(1)=0，则有u(0)+3=0，即

u(0)=-3,表明对该系统若取u(0)=-3，能将在第一步上转移到零状态。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】设离散系统的状态方程为

试分析能否找到控制作用，将初始状态转移到零状态。解：利用递推法：若令X(1)=0，该方程解不出u(0)，不能在第一步由初始状态转移到零状态，需再递推一步。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性若令X(2)=0，该线性方程对u(0)、u(1)无解，说明该系统不能在第二步由初始状态转移到原状态，还需再递推一步。第三章线性控制系统式的能控性和能观测性第三章线性控制系统式的能控性和能观测性【例】试判别下面离散系统的能控性。

解：

所以系统是不能控的。第三章线性控制